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Zusammenhangskomponente der Eins Die ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen der in Mathematik und Phy

Zusammenhangskomponente der Eins

Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

Definition Bearbeiten

Sei eine topologische Gruppe mit neutralem Element . Dann bezeichnet die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von , die das neutrale Element enthält.

Eigenschaften Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Armand Borel: Linear algebraic groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 126. Springer-Verlag, New York, 1991. ISBN 0-387-97370-2
  • Lew Pontrjagin: Topological groups. Translated from the second Russian edition by Arlen Brown Gordon and Breach Science Publishers, Inc., New York-London-Paris, 1966.
  • Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Igor Schafarewitsch: Basic algebraic geometry. Translated from the Russian by K. A. Hirsch. Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 213, 1974. Springer Study Edition. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

Weblinks Bearbeiten

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Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie Gruppen Anwendung findet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine topologische Gruppe mit neutralem Element 1 G displaystyle 1 in G nbsp Dann bezeichnet G 0 displaystyle G 0 nbsp die Zusammenhangskomponente der Eins also diejenige Zusammenhangskomponente von G displaystyle G nbsp die das neutrale Element enthalt Eigenschaften BearbeitenG 0 displaystyle G 0 nbsp ist eine abgeschlossene Teilmenge von G displaystyle G nbsp G 0 displaystyle G 0 nbsp ist eine charakteristische Untergruppe von G displaystyle G nbsp und insbesondere ein Normalteiler Die Faktorgruppe G G 0 displaystyle G G 0 nbsp ist eine total unzusammenhangende Hausdorffsche topologische Gruppe Sie wird als Komponentengruppe von G displaystyle G nbsp bezeichnet ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von G displaystyle G nbsp Wenn G displaystyle G nbsp lokal wegzusammenhangend zum Beispiel eine Lie Gruppe ist dann ist G 0 displaystyle G 0 nbsp offen Wenn G 0 displaystyle G 0 nbsp offen ist dann ist G G 0 displaystyle G G 0 nbsp diskret Wenn G displaystyle G nbsp eine algebraische Gruppe ist dann ist G G 0 displaystyle G G 0 nbsp endlich Beispiele BearbeitenFur die allgemeine lineare Gruppe G G L n R displaystyle G GL n mathbb R nbsp ist G 0 G L n R displaystyle G 0 GL n mathbb R nbsp die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante Die Komponentengruppe G G 0 displaystyle G G 0 nbsp ist isomorph zur zyklischen Gruppe Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Fur G G L n C displaystyle G GL n mathbb C nbsp ist G 0 G displaystyle G 0 G nbsp Fur eine total unzusammenhangende Gruppe G displaystyle G nbsp ist G 0 1 displaystyle G 0 left 1 right nbsp Literatur BearbeitenArmand Borel Linear algebraic groups Second edition Graduate Texts in Mathematics 126 Springer Verlag New York 1991 ISBN 0 387 97370 2 Lew Pontrjagin Topological groups Translated from the second Russian edition by Arlen Brown Gordon and Breach Science Publishers Inc New York London Paris 1966 Sigurdur Helgason Differential geometry Lie groups and symmetric spaces Corrected reprint of the 1978 original Graduate Studies in Mathematics 34 American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2848 7 Igor Schafarewitsch Basic algebraic geometry Translated from the Russian by K A Hirsch Revised printing of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol 213 1974 Springer Study Edition Springer Verlag Berlin New York 1977 Weblinks BearbeitenConnected component of the identity Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zusammenhangskomponente der Eins amp oldid 199097954