Total unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen und die leere Menge zusammenhängend. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.
Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cantor-Menge. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf.
Definition Bearbeiten
Ein topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.
Beispiele Bearbeiten
- Diskrete Räume, nulldimensionale Räume, total separierte Räume sowie extremal unzusammenhängende Räume sind total unzusammenhängend.
- mit der Teilraumtopologie von ist total unzusammenhängend. Ist nämlich eine Teilmenge mit mindestens zwei Elementen, so gibt es zwischen diesen eine irrationale Zahl . Der Teilraum ist dann die Vereinigung der beiden relativ offenen Mengen und und daher nicht zusammenhängend.
- mit der Teilraumtopologie von ist total unzusammenhängend.
- Die Cantor-Menge ist ein total unzusammenhängender kompakter Hausdorffraum.
- Der Baire-Raum.
- Die Sorgenfrey-Gerade und die Sorgenfrey-Ebene sind total unzusammenhängend.
- Proendliche Gruppen sind gerade die total unzusammenhängenden kompakten topologischen Gruppen.
Eigenschaften Bearbeiten
- Unterräume und Produkte total unzusammenhängender Räume sind wieder total unzusammenhängend.
- Jede stetige Abbildung von einem zusammenhängenden Raum in einen total unzusammenhängenden Raum ist konstant, denn das Bild ist wieder zusammenhängend und daher einelementig.
Anwendungen Bearbeiten
Boolesche Algebren Bearbeiten
Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder Booleschen Algebra einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorrfraum , so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von ist. Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch Boolesche Räume.
C*-Algebren Bearbeiten
Jede kommutative C*-Algebra ist nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum . Es gilt:
- Eine kommutative, separable C*-Algebra ist genau dann AF-C*-Algebra, wenn total unzusammenhängend ist.
p-adische Zahlen Bearbeiten
Die ganzen p-adischen Zahlen zu einer Primzahl sind bekanntlich als Reihen der Form mit darstellbar. Damit kann man mit identifizieren, was zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen ein σ-kompakter, lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Philip J. Higgins: An Introduction to Topological Groups (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 15). Cambridge University Press, London u. a. 1974 (recte 1975), ISBN 0-521-20527-1, Kapitel II.7, Satz 9.
- Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra. Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 18, Theorem 6, Theorem 7.
- Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.2.5.