Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.
Definition
Ist die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade derjenige topologische Raum, der auf der Menge von allen halboffenen Intervallen als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle darstellbaren Mengen.
Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form als Basis erzeugt.
Beispiele offener Mengen
Da die Mengen in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für . Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.
Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn
.
Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist daher echt feiner als die euklidische Topologie.
Eigenschaften
Die Sorgenfrey-Ebene hat folgende Eigenschaften:
- ist als Produkt eines vollständig regulären Raumes vollständig regulär.
- ist total unzusammenhängend.
- hat die lebesguesche Überdeckungsdimension .
- ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf .
- ist separabel ( liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen bilden eine Umgebungsbasis von ), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
- ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
- ist kein normaler Raum (siehe unten).
Gegenbeispiele
Die Menge trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt gilt , wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.
Insbesondere ist mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.
als Teilmenge von ist abgeschlossen, da schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von ist dann jede Teilmenge von abgeschlossen in . Setzt man , so sind und zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen. ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.
Literatur
- Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.
- Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.
Einzelnachweise
- Olga Sipacheva: The Covering Dimension of the Sorgenfrey Plane, Cornell University 2021, arXiv2110.08867.pdf