Sorgenfrey Gerade Die ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Te

Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Definition Bearbeiten

Die Sorgenfrey-Gerade ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge von allen halboffenen Intervallen als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle darstellbaren Mengen.

Bemerkungen Bearbeiten

Ersetzt man die halboffenen Intervalle durch , so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, ist offenbar ein Homöomorphismus.
Das Produkt heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener Mengen Bearbeiten

Alle Mengen der Form

sind offen. Daher sind die Mengen nicht nur offen, sondern wegen auch abgeschlossen, das heißt besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

Eigenschaften Bearbeiten

Die Sorgenfrey-Gerade hat folgende Eigenschaften:

ist ein perfekt normaler Raum.
hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
ist total unzusammenhängend.
ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf .
ist separabel ( liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen bilden eine Umgebungsbasis von ), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

Literatur Bearbeiten

Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.
Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer, New York u. a. 1978, ISBN 0-387-90312-7.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 28, 2023, 16:58 pm

Die Sorgenfrey Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Beispiele offener Mengen 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenDie Sorgenfrey Gerade R displaystyle R nbsp ist derjenige topologische Raum der auf der Menge R displaystyle mathbb R nbsp von allen halboffenen Intervallen a b displaystyle a b nbsp als Basis erzeugt wird das heisst die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle a b displaystyle a b nbsp darstellbaren Mengen Bemerkungen BearbeitenErsetzt man die halboffenen Intervalle a b displaystyle a b nbsp durch a b displaystyle a b nbsp so kann man eine analoge Konstruktion durchfuhren Man erhalt einen zur Sorgenfrey Geraden homoomorphen Raum x x displaystyle x mapsto x nbsp ist offenbar ein Homoomorphismus Das Produkt R 2 R R displaystyle R 2 R times R nbsp heisst Sorgenfrey Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie Beispiele offener Mengen BearbeitenAlle Mengen der Form a n 0 a n a displaystyle infty a bigcup n 0 infty a n a nbsp a n 0 a a n displaystyle a infty bigcup n 0 infty a a n nbsp sind offen Daher sind die Mengen a b displaystyle a b nbsp nicht nur offen sondern wegen a b R a b displaystyle a b mathbb R setminus infty a cup b infty nbsp auch abgeschlossen das heisst R displaystyle R nbsp besitzt eine Basis aus offen abgeschlossenen Mengen Jedes bezuglich der euklidischen Topologie offene Intervall a b displaystyle a b nbsp ist auch offen bezuglich der Topologie der Sorgenfrey Geraden denn a b n 1 a 1 n b displaystyle a b bigcup n 1 infty left a frac 1 n b right nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Sorgenfrey Gerade R displaystyle R nbsp hat folgende Eigenschaften R displaystyle R nbsp ist ein perfekt normaler Raum R displaystyle R nbsp hat die Lebesgue sche Uberdeckungsdimension 0 R displaystyle R nbsp ist total unzusammenhangend R displaystyle R nbsp ist nicht diskret denn eine einelementige Menge enthalt keine Basismenge Die Topologie der Sorgenfrey Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle R nbsp ist separabel Q displaystyle mathbb Q nbsp liegt dicht denn jede Basismenge enthalt eine rationale Zahl genugt dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom die Mengen a a 1 n displaystyle textstyle left a a frac 1 n right nbsp bilden eine Umgebungsbasis von a R displaystyle a in R nbsp aber nicht dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom R displaystyle R nbsp ist nicht metrisierbar denn fur metrische Raume folgt aus der Separabilitat das zweite Abzahlbarkeitsaxiom R displaystyle R nbsp ist parakompakt aber weder s kompakt noch lokalkompakt Literatur BearbeitenJohann Cigler Hans Christian Reichel Topologie Eine Grundvorlesung BI Hochschultaschenbucher Band 121 Bibliographisches Institut Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 00121 6 Lynn Arthur Steen J Arthur Seebach Counterexamples in Topology 2 Auflage Springer New York u a 1978 ISBN 0 387 90312 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sorgenfrey Gerade amp oldid 219614084