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Pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit Eine pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit oder semi riemannsche Mannigfaltigkeit ist

Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit oder semi-riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt aus der (pseudo-)riemannschen Geometrie. Sie ist eine Verallgemeinerung der schon früher definierten riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde von Albert Einstein für seine allgemeine Relativitätstheorie eingeführt. Benannt ist sie nach Bernhard Riemann, dem Begründer der riemannschen Geometrie. Ein Spezialfall der pseudo-riemannschen sind einsteinsche Mannigfaltigkeiten.

Definition Bearbeiten

Mit wird im Folgenden der Tangentialraum an einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bezeichnet. Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einer für jeden Punkt definierten Funktion . Diese Funktion ist tensoriell, symmetrisch und nicht ausgeartet, das heißt für alle Tangentialvektoren und Funktionen gilt

  1. (tensoriell d. h. bilinear),
  2. (symmetrisch),
  3. falls für gilt, dass für alle , so folgt .

Außerdem ist differenzierbar abhängig von . Die Funktion ist also ein differenzierbares Tensorfeld und heißt pseudo-riemannsche Metrik oder metrischer Tensor.

Signatur Bearbeiten

Wie jeder gewöhnlichen Bilinearform kann man auch der pseudo-riemannschen Metrik eine Signatur zuordnen. Diese ist aufgrund des Trägheitssatzes von Sylvester unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems auf der Mannigfaltigkeit und damit auch unabhängig von der Wahl des Punktes . Wie bei der Determinante gibt es zu gegebener „Physik“ zahlreiche äquivalente Ausdrücke. Aber da nicht ausgeartet ist, ist der dritte Eintrag in der Signatur immer null und die Determinante von ist immer ungleich null. Vierdimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Signatur (3,1,0) (beziehungsweise meist (1,3,0)) heißen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Diese spielen eine wichtige Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Pseudo-riemannsche Geometrie Bearbeiten

Im Unterschied zu pseudo-riemannschen Metriken sind die riemannschen Metriken positiv definit, was eine stärkere Forderung als „nicht ausgeartet“ ist. Einige Resultate aus der riemannschen Geometrie lassen sich auch auf pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten über­tragen. So gilt zum Beispiel der Hauptsatz der riemannschen Geometrie auch für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es existiert also für jede pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ein eindeutiger Levi-Civita-Zusammenhang. Jedoch im Gegensatz zur riemannschen Geometrie kann man nicht zu jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Metrik mit vorgegebener Signatur finden. Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen riemannscher und pseudo-riemannscher Geometrie ist das Fehlen eines Äquivalents für den Satz von Hopf-Rinow in der pseudo-riemannschen Geometrie. Im Allgemeinen sind hier metrische Vollständigkeit und geodätische Vollständigkeit nicht miteinander verknüpft. Durch die Signatur der Metrik ergeben sich außerdem Probleme für die Stetigkeit der Abstandsfunktion. So kann die Abstandsfunktion für Lorentzmannigfaltigkeiten die Eigenschaft aufweisen, nicht oberhalbstetig zu sein.

Definitionsvariante Bearbeiten

Abweichend von der obigen Definition unterscheidet Serge Lang semi-riemannsche von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten und verlangt für erstere zusätzlich, dass positiv semidefinit sei, das heißt für alle .

Lorentzsche Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit ist ein wichtiger Spezialfall einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit, bei der die Signatur der Metrik (+1, (-1)(n-1 mal)) oder (äquivalent, (-1 +1(n-1 mal)) ist (siehe Vorzeichenkonvention). Solche Metriken werden lorentzsche Metriken genannt. Sie sind nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz benannt.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Erklärung zu den Notationen und versus und :

    Wenn die Tangentialräume als für alle disjunkt verstanden werden, dann kann man eine alternative Notation anstelle von wie folgt einführen:

    Für alle ist dann und damit für jeden Punkt die Einschränkung , abgekürzt identisch mit , d. h . Auf diese Weise kann man das ursprüngliche aus dem alternativen zurückgewinnen.

    Man kann nun die Mannigfaltigkeit alternativ durch kennzeichnen und (etwas ungenau) statt als Metrik bezeichnen. Da man im normalen Gebrauch nicht beide Bezeichnungen gleichzeitig benötigt, schreibt man , wenn eigentlich (in der hier benutzten ad hoc Notation) gemeint ist, und entsprechend statt , sowie für kurz statt . Der Vorteil ist, dass man bei vorausgesetzter Disjunktheit der Tangentialräume bei der Metrik den Punkt ohne Verlust der Eindeutigkeit weglassen kann.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Serge Lang: Differential and Riemannian manifolds. 3. Auflage. Springer Science+Business Media, New York 1995, ISBN 0-387-94338-2, S. 30 (Graduate Texts in Mathematics. Band 160, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry („Geometria Riemannia“). 2. Aufl. Birkhäuser, Boston 1993, ISBN 0-8176-3490-8.
  • Peter Petersen: Riemannian geometry (Graduate Texts in Mathematics; Bd. 171). 2. Aufl. Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-29403-1.
  • John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (Pure and Applied Mathematics; Bd. 202). 2. Aufl. Marcel Dekker Books, New York 1996, ISBN 0-8247-9324-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit oder semi riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt aus der pseudo wbr riemannschen Geometrie Sie ist eine Verallgemeinerung der schon fruher definierten riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde von Albert Einstein fur seine allgemeine Relativitatstheorie eingefuhrt Benannt ist sie nach Bernhard Riemann dem Begrunder der riemannschen Geometrie Ein Spezialfall der pseudo riemannschen sind einsteinsche Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Signatur 3 Pseudo riemannsche Geometrie 4 Definitionsvariante 5 Lorentzsche Mannigfaltigkeit 6 Anmerkungen 7 Einzelnachweise 8 LiteraturDefinition BearbeitenMit T p M displaystyle T p M nbsp wird im Folgenden der Tangentialraum an einem Punkt p displaystyle p nbsp einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp bezeichnet Eine pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp zusammen mit einer fur jeden Punkt p M displaystyle p in M nbsp definierten Funktion g p T p M T p M R displaystyle g p colon T p M times T p M to mathbb R nbsp A 1 Diese Funktion ist tensoriell symmetrisch und nicht ausgeartet das heisst fur alle Tangentialvektoren u v w T p M displaystyle u v w in T p M nbsp und Funktionen a b C M displaystyle a b in C infty M nbsp gilt g p a p u b p v w a p g p u w b p g p v w displaystyle g p a p u b p v w a p g p u w b p g p v w nbsp tensoriell d h bilinear g p u v g p v u displaystyle g p u v g p v u nbsp symmetrisch falls fur u T p M displaystyle u in T p M nbsp gilt dass g p u v 0 displaystyle g p u v 0 nbsp fur alle v T p M displaystyle v in T p M nbsp so folgt u 0 displaystyle u mathbf 0 nbsp Ausserdem ist g p displaystyle g p nbsp differenzierbar abhangig von p displaystyle p nbsp Die Funktion g displaystyle g nbsp ist also ein differenzierbares Tensorfeld und heisst pseudo riemannsche Metrik oder metrischer Tensor Signatur BearbeitenWie jeder 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Geometrie lassen sich auch auf pseudo riemannsche Mannigfaltigkeiten uber tragen So gilt zum Beispiel der Hauptsatz der riemannschen Geometrie auch fur pseudo riemannsche Mannigfaltigkeiten Es existiert also fur jede pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit ein eindeutiger Levi Civita Zusammenhang Jedoch im Gegensatz zur riemannschen Geometrie kann man nicht zu jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Metrik mit vorgegebener Signatur finden Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen riemannscher und pseudo riemannscher Geometrie ist das Fehlen eines Aquivalents fur den Satz von Hopf Rinow in der pseudo riemannschen Geometrie Im Allgemeinen sind hier metrische Vollstandigkeit und geodatische Vollstandigkeit nicht miteinander verknupft Durch die Signatur der Metrik ergeben sich ausserdem Probleme fur die Stetigkeit der Abstandsfunktion So kann die Abstandsfunktion fur Lorentzmannigfaltigkeiten die Eigenschaft aufweisen nicht oberhalbstetig zu sein Definitionsvariante BearbeitenAbweichend von der obigen Definition unterscheidet Serge Lang semi riemannsche von pseudo riemannschen Mannigfaltigkeiten und verlangt fur erstere zusatzlich dass g p displaystyle g p nbsp positiv semidefinit sei das heisst g p X X 0 displaystyle g p X X geq 0 nbsp fur alle X T p M displaystyle X in T p M nbsp 1 Lorentzsche Mannigfaltigkeit Bearbeiten Hauptartikel Lorentzsche Mannigfaltigkeit Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit ist ein wichtiger Spezialfall einer pseudo riemannschen Mannigfaltigkeit bei der die Signatur der Metrik 1 1 n 1 mal oder aquivalent 1 1 n 1 mal ist siehe Vorzeichenkonvention Solche Metriken werden lorentzsche Metriken genannt Sie sind nach dem niederlandischen Physiker Hendrik Lorentz benannt Anmerkungen Bearbeiten Erklarung zu den Notationen g p displaystyle g p nbsp und g p u v displaystyle g p u v nbsp versus g p displaystyle g p nbsp und g u v displaystyle g u v nbsp wbr Wenn die Tangentialraume T p M displaystyle T p M nbsp als fur alle p M 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g T p M times T p M nbsp abgekurzt g p T p M T p M R displaystyle mathsf g p colon T p M times T p M rightarrow mathbb R nbsp identisch mit g p T p M T p M R displaystyle g p colon T p M times T p M rightarrow mathbb R nbsp d h g p g p displaystyle mathsf g p g p nbsp Auf diese Weise kann man das ursprungliche g displaystyle g nbsp aus dem alternativen g displaystyle mathsf g nbsp zuruckgewinnen Man kann nun die Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp alternativ durch M g displaystyle M mathsf g nbsp kennzeichnen und etwas ungenau g displaystyle mathsf g nbsp statt g displaystyle g nbsp als Metrik bezeichnen Da man im normalen Gebrauch nicht beide Bezeichnungen gleichzeitig benotigt schreibt man g displaystyle g nbsp wenn eigentlich g displaystyle mathsf g nbsp in der hier benutzten ad hoc Notation gemeint ist und entsprechend g p displaystyle g p nbsp statt g p displaystyle g p nbsp sowie fur u v M displaystyle u v in M nbsp kurz g u v displaystyle g u v nbsp statt g p u v displaystyle g p u v nbsp Der Vorteil ist dass man bei vorausgesetzter Disjunktheit der Tangentialraume bei der Metrik den Punkt p displaystyle p nbsp ohne Verlust der Eindeutigkeit weglassen kann Einzelnachweise Bearbeiten Serge Lang Differential and Riemannian manifolds 3 Auflage Springer Science Business Media New York 1995 ISBN 0 387 94338 2 S 30 Graduate Texts in Mathematics Band 160 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Geometria Riemannia 2 Aufl Birkhauser Boston 1993 ISBN 0 8176 3490 8 Peter Petersen Riemannian geometry Graduate Texts in Mathematics Bd 171 2 Aufl Springer Verlag New York 2006 ISBN 0 387 29403 1 John K Beem Paul E Ehrlich Kevin L Easley Global Lorentzian Geometry Pure and Applied Mathematics Bd 202 2 Aufl Marcel Dekker Books New York 1996 ISBN 0 8247 9324 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit amp oldid 230581936