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Einschränkung In der Mathematik wird der Begriff auch Restriktion meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs ei

Einschränkung

In der Mathematik wird der Begriff Einschränkung (auch Restriktion) meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet.

Auch für Relationen ist es möglich, die Einschränkung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten.

Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o. B. d. A.) benutzt. Diese hat mit den hier erläuterten mathematischen Begriffen nichts zu tun.

Einschränkung einer Funktion Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ist eine beliebige Funktion und eine Teilmenge der Definitionsmenge , dann versteht man unter der Einschränkung (oder Restriktion) von auf diejenige Funktion , deren Werte auf mit den Werten von übereinstimmen. Fasst man die Funktion als rechtseindeutige, linkstotale Relation auf, dann reproduziert diese Definition die der Vorbeschränkung . Mit Hilfe der Inklusionsabbildung lässt sich die Einschränkung kurz als Verkettung von Funktionen schreiben:

In der Situation nennt man auch eine Fortsetzung von . Ein Beispiel hierfür ist die stetige Fortsetzung.

Beispiel Bearbeiten

sei die Menge der reellen Zahlen und mit die Quadratfunktion. ist nicht injektiv, die Einschränkung auf das Intervall der nichtnegativen reellen Zahlen hingegen schon. Wenn man auch noch die Zielmenge auf die Bildmenge einschränkt, erhält man die bijektive Quadratfunktion mit , die also eine Umkehrfunktion hat, nämlich die Quadratwurzelfunktion.

Verträglichkeitsregeln Bearbeiten

Die Vereinigung der (Graphen der) Einschränkungen einer Funktion auf eine Menge und eine Menge ist gleich der Einschränkung auf die Vereinigung dieser beiden Mengen. Gleiches gilt für den Schnitt:

Analoges gilt für andere Mengenoperationen, auch für unendliche Vereinigung und Schnitt. Daraus folgt: Sind die beiden Mengen und disjunkt, so sind es auch die (Graphen der) eingeschränkten Funktionen und .

Einschränkung einer Relation Bearbeiten

Zweistellige Relationen Bearbeiten

Sei eine zweistellige Relation aus dem Vorbereich in den Nachbereich und seien Mengen, dann heißt

die Vorbeschränkung von in und

die Nachbeschränkung von in . In der Praxis wird dabei meist und gelten, obwohl das keine Voraussetzung sein muss.

Legt man die alternative ausführliche Definition von Relationen mit    zugrunde, dann stellt sich die Vorbeschränkung von auf eine Menge dar als

und die Nachbeschränkung auf eine Menge als

Solange die Definitions- bzw. Wertebereiche nicht eingeschränkt werden ( bzw. ), sind die Vor- bzw. Nachbeschränkungen im Wesentlichen gleich der ursprünglichen Relation (insbesondere im Fall der Gleichheit ).

Homogene zweistellige Relationen Bearbeiten

Bei homogenen zweistelligen Relationen auf der Menge (d. h. ) spricht man von einer totalen Einschränkung (oder einfach Einschränkung), wenn diese Relation gleichzeitig in dieselbe Menge vor- und nachbeschränkt wird:

Auf die Reihenfolge, in der Vor- und Nachbeschränkung angewendet werden, kommt es nicht an.
Insbesondere gilt: Ist eine homogene zweistellige Relation auf der Menge und eine Teilmenge von dann ist die Relation auf die Einschränkung von auf wenn für alle und aus gilt:

n-stellige Relationen Bearbeiten

Prinzipiell lässt sich die obige Definition auf beliebige -stellige Relationen erweitern. Für eine -stellige homogene Relationen auf einer Menge (d. h. ) ist die (totale) Einschränkung gegeben durch

Insbesondere gilt analog zu Obigem: Sind eine homogene -stellige Relation auf einer Menge (d. h. ) und eine Teilmenge von , dann ist die -stellige Relation auf die Einschränkung von auf wenn für alle -gliedrigen Sequenzen aus gilt:

Beispiel Bearbeiten

Die Kleiner-Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist eine Einschränkung der Kleiner-Relation auf der Menge der rationalen Zahlen.

Einschränkung einer Darstellung Bearbeiten

Eine lineare Darstellung einer Gruppe auf einem Vektorraum ist ein Homomorphismus von in die allgemeine lineare Gruppe . Unter einer Einschränkung können zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden.

  • Falls ein invarianter Unterraum ist, dann erhält man eine eingeschränkte Darstellung .
  • Falls eine Untergruppe ist, dann ist eine Darstellung von , die mit (für Restriktion) bezeichnet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man auch nur oder auch kurz Man verwendet auch die Schreibweise bzw. für die Einschränkung einer Darstellung (auf) von auf

Literatur Bearbeiten

  • Dieter Klaua: Mengenlehre. De-Gruyter-Lehrbuch. de Gruyter, Berlin / New York 1979, ISBN 3-11-007726-4. Der Autor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation, verwendet dann aber das Zeichen anstelle von . Im Artikel hier ist jedoch durchgängig und (Graph von ) benutzt.
  • Willard van Orman Quine: Set Theory And Its Logic. Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, USA 1963, ISBN 0-674-80207-1. S. 359 (HC) / 380 (PB).
    Willard van Orman Quine: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung). Band 10). Vieweg+Teubner Verlag, 1973, ISBN 3-528-08294-1, S. 264. Der Autor benutzt griechische Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung von Mengen im Allgemeinen (wie hier und ) und Relationen im Besonderen. Die Seitenangaben beziehen sich auf die deutsche Übersetzung.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. ↑ Gelegentlich wird in der Mengenlehre eine abweichende Notation verwendet: und ebenso für Abbildungen (Funktionen) Beispiele siehe Proofwiki: Restriction, Proofwiki: Restriction/Mapping und Martin Ziegler: Vorlesung über Mengenlehre, Universität Freiburg, 1992–2014, Seite 7. Man beachte, dass diese Notation mit dem Harpunensymbol in unterschiedlicher Weise gebraucht wird und teilweise konträr zu der von W. v. O. Quine und D. Klaua ist!
  2. D. Klaua: Mengenlehre. S. 66, Definition 8 (a), Teil 1, Teil 2, Teil 3.
  3. W. v. O. Quine: Mengenlehre und ihre Logik. Seite 47, 9.16 f.
  4. Dabei sind der Definitions- und Wertebereich der Relation ; ist der Existenzquantor, gelesen: Es gibt (mindestens) ein …
  5. D. Klaua: Mengenlehre. S. 66, Definition 8 (a), Teil 4.
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In der Mathematik wird der Begriff Einschrankung auch Restriktion meist fur die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet Auch fur Relationen ist es moglich die Einschrankung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung ohne Beschrankung der Allgemeinheit o B d A benutzt Diese hat mit den hier erlauterten mathematischen Begriffen nichts zu tun Inhaltsverzeichnis 1 Einschrankung einer Funktion 1 1 Definition 1 2 Beispiel 1 3 Vertraglichkeitsregeln 2 Einschrankung einer Relation 2 1 Zweistellige Relationen 2 2 Homogene zweistellige Relationen 2 3 n stellige Relationen 2 4 Beispiel 3 Einschrankung einer Darstellung 4 Literatur 5 Einzelnachweise und AnmerkungenEinschrankung einer Funktion BearbeitenDefinition Bearbeiten Ist f A B displaystyle f colon A to B nbsp eine beliebige Funktion und X A displaystyle X subseteq A nbsp eine Teilmenge der Definitionsmenge A displaystyle A nbsp dann versteht man unter der Einschrankung oder Restriktion f X displaystyle f X nbsp von f displaystyle f nbsp auf X displaystyle X nbsp diejenige Funktion g X B displaystyle g colon X to B nbsp deren Werte auf X displaystyle X nbsp mit den Werten von f displaystyle f nbsp ubereinstimmen Fasst man die Funktion f displaystyle f nbsp als rechtseindeutige linkstotale Relation auf dann reproduziert diese Definition die der Vorbeschrankung displaystyle upharpoonleft nbsp Mit Hilfe der Inklusionsabbildung i X A x x displaystyle i colon X to A x mapsto x nbsp lasst sich die Einschrankung kurz als Verkettung von Funktionen schreiben f X f i displaystyle f X f circ i nbsp In der Situation g f X displaystyle g f X nbsp nennt man f displaystyle f nbsp auch eine Fortsetzung von g displaystyle g nbsp 1 Ein Beispiel hierfur ist die stetige Fortsetzung Beispiel Bearbeiten R displaystyle mathbb R nbsp sei die Menge der reellen Zahlen und f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp mit f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp die Quadratfunktion f displaystyle f nbsp ist nicht injektiv die Einschrankung f S displaystyle f S nbsp auf das Intervall S 0 displaystyle S 0 infty nbsp der nichtnegativen reellen Zahlen hingegen schon Wenn man auch noch die Zielmenge R displaystyle mathbb R nbsp auf die Bildmenge f S S displaystyle f S S nbsp einschrankt erhalt man die bijektive Quadratfunktion g S S displaystyle g colon S to S nbsp mit g x x 2 displaystyle g x x 2 nbsp die also eine Umkehrfunktion hat namlich die Quadratwurzelfunktion Vertraglichkeitsregeln Bearbeiten Die Vereinigung der Graphen der Einschrankungen einer Funktion f displaystyle f nbsp auf eine Menge X 1 displaystyle X 1 nbsp und eine Menge X 2 displaystyle X 2 nbsp ist gleich der Einschrankung auf die Vereinigung dieser beiden Mengen Gleiches gilt fur den Schnitt f X 1 f X 2 f X 1 X 2 displaystyle f X 1 cup f X 2 f X 1 cup X 2 nbsp f X 1 f X 2 f X 1 X 2 displaystyle f X 1 cap f X 2 f X 1 cap X 2 nbsp Analoges gilt fur andere Mengenoperationen auch fur unendliche Vereinigung und Schnitt Daraus folgt Sind die beiden Mengen X 1 displaystyle X 1 nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp disjunkt so sind es auch die Graphen der eingeschrankten Funktionen f X 1 displaystyle f X 1 nbsp und f X 2 displaystyle f X 2 nbsp Einschrankung einer Relation BearbeitenZweistellige Relationen Bearbeiten Sei R A B displaystyle R subseteq A times B nbsp eine zweistellige Relation aus dem Vorbereich A displaystyle A nbsp in den Nachbereich B displaystyle B nbsp und seien X Y displaystyle X Y nbsp Mengen dann heisst 1 R X R X R X W b R a b R a X displaystyle R upharpoonleft X equiv R X R cap X times Wb R a b in R mid a in X nbsp die Vorbeschrankung von R displaystyle R nbsp in X displaystyle X nbsp und R Y R D b R Y a b R b Y displaystyle R upharpoonright Y R cap Db R times Y a b in R mid b in Y nbsp die Nachbeschrankung von R displaystyle R nbsp in Y displaystyle Y nbsp 2 3 4 In der Praxis wird dabei meist X A displaystyle X subseteq A nbsp und Y B displaystyle Y subseteq B nbsp gelten obwohl das keine Voraussetzung sein muss Legt man die alternative ausfuhrliche Definition von Relationen R G R A B displaystyle R G R A B nbsp mit G R displaystyle G R equiv nbsp Graph R displaystyle operatorname Graph R nbsp A B displaystyle subseteq A times B nbsp zugrunde dann stellt sich die Vorbeschrankung von R displaystyle R nbsp auf eine Menge X displaystyle X nbsp dar als R X R X G R X W b R A X B displaystyle R upharpoonleft X equiv R X G R cap X times Wb R A cap X B nbsp und die Nachbeschrankung auf eine Menge Y displaystyle Y nbsp als R Y G R D b R Y A B Y displaystyle R upharpoonright Y G R cap Db R times Y A B cap Y nbsp Solange die Definitions bzw Wertebereiche nicht eingeschrankt werden X D b R displaystyle X supseteq Db R nbsp bzw Y W b R displaystyle Y supseteq Wb R nbsp sind die Vor bzw Nachbeschrankungen im Wesentlichen gleich der ursprunglichen Relation insbesondere im Fall der Gleichheit X D b R Y W b R displaystyle X Db R Y Wb R nbsp Homogene zweistellige Relationen Bearbeiten Bei homogenen zweistelligen Relationen R displaystyle R nbsp auf der Menge A displaystyle A nbsp d h R A A displaystyle R subseteq A times A nbsp spricht man von einer totalen Einschrankung oder einfach Einschrankung wenn diese Relation gleichzeitig in dieselbe Menge vor und nachbeschrankt wird R X R X R X X R X X a b R a X b X displaystyle R uparrow X equiv R X R upharpoonleft X upharpoonright X R cap X times X a b in R mid a in X land b in X nbsp 5 Auf die Reihenfolge in der Vor und Nachbeschrankung angewendet werden kommt es nicht an Insbesondere gilt Ist R displaystyle R nbsp eine homogene zweistellige Relation auf der Menge A displaystyle A nbsp und X displaystyle X nbsp eine Teilmenge von A displaystyle A nbsp dann ist die Relation S displaystyle S nbsp auf X displaystyle X nbsp die Einschrankung von R displaystyle R nbsp auf X displaystyle X nbsp wenn fur alle a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp aus X displaystyle X nbsp gilt a S b a R b displaystyle a S b Leftrightarrow a R b nbsp n stellige Relationen Bearbeiten Prinzipiell lasst sich die obige Definition auf beliebige n displaystyle n nbsp stellige Relationen erweitern Fur eine n displaystyle n nbsp stellige homogene Relationen R displaystyle R nbsp auf einer Menge A displaystyle A nbsp d h R A n displaystyle R subseteq A n nbsp ist die totale Einschrankung gegeben durch R X R X n displaystyle R uparrow X R cap X n nbsp Insbesondere gilt analog zu Obigem Sind R displaystyle R nbsp eine homogene n displaystyle n nbsp stellige Relation auf einer Menge A displaystyle A nbsp d h R A n displaystyle R subseteq A n nbsp und X displaystyle X nbsp eine Teilmenge von A displaystyle A nbsp dann ist die n displaystyle n nbsp stellige Relation S displaystyle S nbsp auf X displaystyle X nbsp die Einschrankung von R displaystyle R nbsp auf X displaystyle X nbsp wenn fur alle n displaystyle n nbsp gliedrigen Sequenzen a 1 a n displaystyle a 1 dotsc a n nbsp aus X displaystyle X nbsp gilt a 1 a n S a 1 a n R displaystyle a 1 dotsc a n in S Leftrightarrow a 1 dotsc a n in R nbsp Beispiel Bearbeiten Die Kleiner Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist eine Einschrankung der Kleiner Relation auf der Menge der rationalen Zahlen Einschrankung einer Darstellung BearbeitenEine lineare Darstellung einer Gruppe G displaystyle G nbsp auf einem Vektorraum V displaystyle V nbsp ist ein Homomorphismus r displaystyle rho nbsp von G displaystyle G nbsp in die allgemeine lineare Gruppe GL V displaystyle operatorname GL V nbsp Unter einer Einschrankung konnen zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden Falls U V displaystyle U subset V nbsp ein invarianter Unterraum ist dann erhalt man eine eingeschrankte Darstellung G G L U displaystyle G to GL U nbsp Falls H G displaystyle H subset G nbsp eine Untergruppe ist dann ist r H displaystyle rho H nbsp eine Darstellung von H displaystyle H nbsp die mit Res H G r displaystyle operatorname Res H G rho nbsp fur Restriktion bezeichnet wird Falls keine Verwechslungsgefahr besteht schreibt man auch nur Res r displaystyle operatorname Res rho nbsp oder auch kurz Res r displaystyle operatorname Res rho nbsp Man verwendet auch die Schreibweise Res H V displaystyle operatorname Res H V nbsp bzw Res V displaystyle operatorname Res V nbsp fur die Einschrankung einer Darstellung auf V displaystyle V nbsp von G displaystyle G nbsp auf H displaystyle H nbsp Literatur BearbeitenDieter Klaua Mengenlehre De Gruyter Lehrbuch de Gruyter Berlin New York 1979 ISBN 3 11 007726 4 Der Autor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation verwendet dann aber das Zeichen F displaystyle F nbsp anstelle von R displaystyle R nbsp Im Artikel hier ist jedoch durchgangig R displaystyle R nbsp und G R displaystyle G R nbsp Graph von R displaystyle R nbsp benutzt Willard van Orman Quine Set Theory And Its Logic Belknap Press of Harvard University Press Cambridge USA 1963 ISBN 0 674 80207 1 S 359 HC 380 PB Willard van Orman Quine Mengenlehre und ihre Logik Logik und Grundlagen der Mathematik deutsche Ubersetzung Band 10 Vieweg Teubner Verlag 1973 ISBN 3 528 08294 1 S 264 Der Autor benutzt griechische Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung von Mengen im Allgemeinen wie hier X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp und Relationen im Besonderen Die Seitenangaben beziehen sich auf die deutsche Ubersetzung Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten a b Gelegentlich wird in der Mengenlehre eine abweichende Notation verwendet R X Y R X Y displaystyle R upharpoonright X times Y R cap X times Y nbsp R X R X x y R x X displaystyle R upharpoonright X equiv R X x y in R mid x in X nbsp und ebenso fur Abbildungen Funktionen f X Y f X Y displaystyle f upharpoonright X times Y f cap X times Y nbsp f X f X x y f x X displaystyle f upharpoonright X equiv f X x y in f mid x in X nbsp Beispiele siehe Proofwiki Restriction Proofwiki Restriction Mapping und Martin Ziegler Vorlesung uber Mengenlehre Universitat Freiburg 1992 2014 Seite 7 Man beachte dass diese Notation mit dem Harpunensymbol in unterschiedlicher Weise gebraucht wird und teilweise kontrar zu der von W v O Quine und D Klaua ist D Klaua Mengenlehre S 66 Definition 8 a Teil 1 Teil 2 Teil 3 W v O Quine Mengenlehre und ihre Logik Seite 47 9 16 f Dabei sind D b R a A b B a b R W b R b B a A a b R displaystyle Db R a in A mid exists b in B colon a b in R Wb R b in B mid exists a in A colon a b in R nbsp der Definitions und Wertebereich der Relation R displaystyle R nbsp displaystyle exists nbsp ist der Existenzquantor gelesen Es gibt mindestens ein D Klaua Mengenlehre S 66 Definition 8 a Teil 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einschrankung amp oldid 227517489