Fortsetzung Mathematik Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik der insbesondere in der Analys

Fortsetzung (Mathematik)

Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere in der Analysis und der Topologie verwendet wird. Unter einer Fortsetzung einer Abbildung versteht man eine weitere Abbildung, die auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs mit der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Von besonderem Interesse ist es, ob es Fortsetzungen zu stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt, die ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind.

Definition Bearbeiten

Seien und Mengen. Eine Abbildung heißt Fortsetzung der Abbildung genau dann, wenn eine Teilmenge von ist und für alle gilt.

Stetige Fortsetzung Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Seien und topologische Räume, ein Teilraum von und eine stetige Abbildung. Eine Abbildung heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von , falls stetig ist und für alle gilt.

Beispiele Bearbeiten

Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz , welche lautet

Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer stetig behebbaren Definitionslücke.

Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz . Denn gemäß der Regel von de L’Hospital gilt , und damit ist

eine stetige Fortsetzung von

Die Funktion , definiert durch , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich , besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum , da der Grenzwert nicht existiert.
Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier-Transformation betrachtet. Dies ist eine Abbildung auf dem Schwartz-Raum. Der Schwartz-Raum liegt dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen und die Fourier-Transformation kann eindeutig stetig auf fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Fortsetzungssatz von Tietze Bearbeiten

Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die normalen topologischen Räume, in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des Lemmas von Urysohn verstanden werden. Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das Fortsetzungslemma.

Lipschitz-stetige Funktionen Bearbeiten

Stetige Abbildungen , wobei , können die stärkere Eigenschaft der Lipschitz-Stetigkeit haben. Daher stellt sich die Frage, ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wählen kann, dass die Lipschitz-Stetigkeit erhalten bleibt. Der Satz von Kirszbraun sagt aus, dass dies sogar mit Erhaltung der Lipschitz-Konstanten möglich ist. Das Lemma von McShane dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus.

Periodische Fortsetzung Bearbeiten

Eine andere Möglichkeit eine Funktion systematisch fortzusetzen ist die periodische Fortsetzung. Dabei wird eine auf einem beschränkten Intervall definierte Funktion so fortgesetzt, dass sich ihre Funktionswerte außerhalb des Ausgangsintervalls mit festem Abstand zyklisch wiederholen. Eine solche Funktion wird periodisch genannt.

Einschränkung Bearbeiten

Das zur Fortsetzung von Funktionen gegenteilige Konzept ist die Einschränkung des Definitionsbereichs einer Abbildung.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

Fortsetzung einer Abbildung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1: A bis Eif. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2000, ISBN 3-8274-0303-0.
Dušan Repovš, Pavel Vladimirovič Semenov: Continuous selections of multivalued mappings. In: Mathematics and its Applications. Band 455. Kluwer Academic, Dordrecht u. a. 1998, ISBN 0-7923-5277-7, S. 23–24.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 10:11 am

Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik der insbesondere in der Analysis und der Topologie verwendet wird Unter einer Fortsetzung einer Abbildung versteht man eine weitere Abbildung die auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs mit der gegebenen Abbildung ubereinstimmt Von besonderem Interesse ist es ob es Fortsetzungen zu stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt die ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Stetige Fortsetzung 2 1 Definition 2 2 Beispiele 2 3 Fortsetzungssatz von Tietze 2 4 Lipschitz stetige Funktionen 3 Periodische Fortsetzung 4 Einschrankung 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien X Y displaystyle X Y nbsp und A displaystyle A nbsp Mengen Eine Abbildung f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp heisst Fortsetzung der Abbildung g A Y displaystyle g colon A to Y nbsp genau dann wenn A displaystyle A nbsp eine Teilmenge von X displaystyle X nbsp ist und g x f x displaystyle g x f x nbsp fur alle x A displaystyle x in A nbsp gilt 1 Stetige Fortsetzung BearbeitenDefinition Bearbeiten Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp topologische Raume A X displaystyle A subset X nbsp ein Teilraum von X displaystyle X nbsp und g A Y displaystyle g colon A to Y nbsp eine stetige Abbildung Eine Abbildung f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp heisst analog zu obiger Definition stetige Fortsetzung von g displaystyle g nbsp falls f displaystyle f nbsp stetig ist und g x f x displaystyle g x f x nbsp fur alle x A displaystyle x in A nbsp gilt 2 Beispiele Bearbeiten Die Funktion g R 0 R displaystyle g colon mathbb R setminus 0 to mathbb R nbsp definiert durch x x x 5 x displaystyle x mapsto tfrac x x 5x nbsp ist stetig auf ihrem Definitionsbereich R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp welche lautetf x x x 5 x f u r x R 0 1 f u r x 0 displaystyle f x begin cases frac x x 5x amp mathrm f ddot u r x in mathbb R setminus 0 1 amp mathrm f ddot u r x 0 end cases nbsp dd Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer stetig behebbaren Definitionslucke Die Funktion g R 0 R displaystyle g colon mathbb R setminus 0 to mathbb R nbsp definiert durch x 1 x sin x displaystyle x mapsto tfrac 1 x sin x nbsp ist stetig auf ihrem Definitionsbereich R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp Denn gemass der Regel von de L Hospital gilt lim x 0 1 x sin x 1 displaystyle textstyle lim x to 0 tfrac 1 x sin x 1 nbsp und damit istf x 1 x sin x f u r x R 0 1 f u r x 0 displaystyle f x begin cases frac 1 x sin x amp mathrm f ddot u r x in mathbb R setminus 0 1 amp mathrm f ddot u r x 0 end cases nbsp dd eine stetige Fortsetzung von g displaystyle g nbsp Die Funktion g R 0 R displaystyle g colon mathbb R setminus 0 to mathbb R nbsp definiert durch x sin 1 x displaystyle x mapsto sin tfrac 1 x nbsp ist stetig auf ihrem Definitionsbereich R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum R displaystyle mathbb R nbsp da der Grenzwert lim x 0 sin 1 x displaystyle textstyle lim x to 0 sin tfrac 1 x nbsp nicht existiert Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier Transformation betrachtet Dies ist eine Abbildung F S S displaystyle mathcal F colon mathcal S to mathcal S nbsp auf dem Schwartz Raum Der Schwartz Raum liegt dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L 2 displaystyle L 2 nbsp und die Fourier Transformation kann eindeutig stetig auf L 2 displaystyle L 2 nbsp fortgesetzt werden Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die ubliche Integraldarstellung die sie auf dem Schwartz Raum hat Fortsetzungssatz von Tietze Bearbeiten Hauptartikel Fortsetzungssatz von Tietze Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Raume in denen stetige Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen immer stetig fortgesetzt werden konnen Es sind genau die normalen topologischen Raume in denen das immer moglich ist Der Satz kann als Verallgemeinerung des Lemmas von Urysohn verstanden werden Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das Fortsetzungslemma Lipschitz stetige Funktionen Bearbeiten Stetige Abbildungen U R m displaystyle U rightarrow mathbb R m nbsp wobei U R n displaystyle U subset mathbb R n nbsp konnen die starkere Eigenschaft der Lipschitz Stetigkeit haben Daher stellt sich die Frage ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wahlen kann dass die Lipschitz Stetigkeit erhalten bleibt Der Satz von Kirszbraun sagt aus dass dies sogar mit Erhaltung der Lipschitz Konstanten moglich ist Das Lemma von McShane dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus Periodische Fortsetzung Bearbeiten Hauptartikel Periodische Fortsetzung Eine andere Moglichkeit eine Funktion systematisch fortzusetzen ist die periodische Fortsetzung Dabei wird eine auf einem beschrankten Intervall definierte Funktion so fortgesetzt dass sich ihre Funktionswerte ausserhalb des Ausgangsintervalls mit festem Abstand zyklisch wiederholen Eine solche Funktion wird periodisch genannt Einschrankung Bearbeiten Hauptartikel Einschrankung Das zur Fortsetzung von Funktionen gegenteilige Konzept ist die Einschrankung des Definitionsbereichs einer Abbildung Siehe auch BearbeitenAnalytische Fortsetzung Fortsetzungssatz von DugundjiEinzelnachweise Bearbeiten Fortsetzung einer Abbildung In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik Band 1 A bis Eif Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2000 ISBN 3 8274 0303 0 Dusan Repovs Pavel Vladimirovic Semenov Continuous selections of multivalued mappings In Mathematics and its Applications Band 455 Kluwer Academic Dordrecht u a 1998 ISBN 0 7923 5277 7 S 23 24 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fortsetzung Mathematik amp 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