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Lemma von Urysohn Das auch Urysohnsches Lemma genannt ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet de

Lemma von Urysohn

Das Lemma von Urysohn (auch Urysohnsches Lemma genannt) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der Allgemeinen Topologie.

Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde von diesem 1925 veröffentlicht. Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass viele der wichtigsten topologischen Räume wie die metrischen Räume und die kompakten Hausdorff-Räume die in dem Lemma vorausgesetzte Normalitätseigenschaft besitzen.

Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis kommt das Urysohnsche Lemma in entscheidender Weise zum Tragen.

Formulierung des Lemmas Bearbeiten

Das Lemma sagt folgendes aus:

mit für alle und für alle .

Anmerkungen Bearbeiten

1) Das Lemma von Urysohn sagt nichts aus über die Werte der stetigen Funktion außerhalb der abgeschlossenen Teilmengen und , sondern allein, dass und gilt. Im Falle, dass zu disjunkten abgeschlossenen und stets ein stetiges mit und zu finden ist, nennt man einen perfekt normalen Raum.

2) Für metrische Räume ist eine stetige Funktion der obigen Art sofort anzugeben. Dazu definiert man zu zwei gegebenen disjunkten abgeschlossenen Teilmengen und von die Funktion wie folgt:

Dabei ist der Abstand von zu   , also

Die Funktion ist stetig – sogar gleichmäßig stetig – und dabei gilt:

Metrische Räume sind demnach immer perfekt normal.

Kernaussage des Lemmas Bearbeiten

Der Kern des Lemmas von Urysohn liegt in der folgenden Aussage:

Schließlich sei für   folgende Zuordnung definiert:
Dann ist durch diese Zuordnung eine stetige Funktion gegeben.

Literatur Bearbeiten

  • G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.
  • John L. Kelley: General topology. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand).
  • C. Wayne Patty: Foundations of Topology. PWS-Kent Publishing, Boston 1993, ISBN 0-534-93264-9.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • Egbert Harzheim; Helmut Ratschek: Einführung in die Allgemeine Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06355-4 (MR0380697).
  • John L. Kelley: General topology. Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-90125-6.
  • Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
  • Paul Urysohn: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. In: Math. Ann. Band 94, 1925, S. 262–295.
  • Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Urysohn's lemma – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bei H. Schubert, S. 79, wird die Herleitung des Lemmas als bemerkenswerte Konstruktion bezeichnet. Bei Jameson, S. 111, steht dazu: Urysohn’s 'lemma' is undoubtedly one of the best theorems in General Topology.
  2. Urysohn. In: Mathematische Annalen. Band 94, S. 262 ff.
  3. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 80.
  4. S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.
  5. G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 112.
  6. H. Schubert: Topologie. 1975, S. 78.
  7. S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.
  8. G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 111–112.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Lemma von Urysohn auch Urysohnsches Lemma genannt ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der Allgemeinen Topologie 1 Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde von diesem 1925 veroffentlicht 2 Es wird vielfach benutzt um stetige Funktionen mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren Seine breite Anwendungsmoglichkeit basiert darauf dass viele der wichtigsten topologischen Raume wie die metrischen Raume und die kompakten Hausdorff Raume die in dem Lemma vorausgesetzte Normalitatseigenschaft besitzen Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar Bei dessen Beweis kommt das Urysohnsche Lemma in entscheidender Weise zum Tragen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Lemmas 2 Anmerkungen 3 Kernaussage des Lemmas 4 Literatur 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseFormulierung des Lemmas BearbeitenDas Lemma sagt folgendes aus 3 Sei X displaystyle X nbsp ein normaler Raum d h ein topologischer Raum mit der Eigenschaft dass je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X displaystyle X nbsp disjunkte Umgebungen besitzen und seien zwei derartige disjunkte abgeschlossene Teilmengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp vorgegeben Dann existiert dazu eine stetige Funktionf X 0 1 displaystyle f colon X rightarrow 0 1 nbsp dd mit f a 0 displaystyle f a 0 nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und f b 1 displaystyle f b 1 nbsp fur alle b B displaystyle b in B nbsp Anmerkungen Bearbeiten1 Das Lemma von Urysohn sagt nichts aus uber die Werte der stetigen Funktion f displaystyle f nbsp ausserhalb der abgeschlossenen Teilmengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp sondern allein dass A f 1 0 displaystyle A subseteq f 1 0 nbsp und B f 1 1 displaystyle B subseteq f 1 1 nbsp gilt Im Falle dass zu disjunkten abgeschlossenen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp stets ein stetiges f X 0 1 displaystyle f colon X rightarrow 0 1 nbsp mit A f 1 0 displaystyle A f 1 0 nbsp und B f 1 1 displaystyle B f 1 1 nbsp zu finden ist nennt man X displaystyle X nbsp einen perfekt normalen Raum 4 2 Fur metrische Raume ist eine stetige Funktion f displaystyle f nbsp der obigen Art sofort anzugeben Dazu definiert man zu zwei gegebenen disjunkten abgeschlossenen Teilmengen A displaystyle A neq emptyset nbsp und B displaystyle B neq emptyset nbsp von X displaystyle X nbsp die Funktion f displaystyle f nbsp wie folgt 5 x f x d x A d x A d x B displaystyle x mapsto f x frac d x A d x A d x B nbsp x X displaystyle x in X nbsp Dabei ist d x Y displaystyle d x Y nbsp der Abstand von x X displaystyle x in X nbsp zu Y X displaystyle Y subseteq X nbsp Y displaystyle Y neq emptyset nbsp also d x Y inf d x y y Y displaystyle d x Y operatorname inf d x y y in Y nbsp Die Funktion x d x Y displaystyle x mapsto d x Y nbsp ist stetig sogar gleichmassig stetig und dabei gilt 6 d x Y 0 x Y displaystyle d x Y 0 iff x in overline Y nbsp Metrische Raume sind demnach immer perfekt normal 7 Kernaussage des Lemmas BearbeitenDer Kern des Lemmas von Urysohn liegt in der folgenden Aussage 8 Sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und sei D R displaystyle D subseteq mathbb R nbsp eine dichte Teilmenge von R displaystyle mathbb R nbsp Darin gegeben sei eine Mengenfamilie F d d D displaystyle F d d in D nbsp bestehend aus offenen Teilmengen F d X displaystyle F d subseteq X nbsp d D displaystyle d in D nbsp welche folgenden Bedingungen genuge Fur d 1 d 2 D displaystyle d 1 d 2 in D nbsp und d 1 lt d 2 displaystyle d 1 lt d 2 nbsp sei stets F d 1 F d 2 displaystyle overline F d 1 subseteq F d 2 nbsp d D F d displaystyle bigcap d in D F d emptyset nbsp d D F d X displaystyle bigcup d in D F d X nbsp dd Schliesslich sei fur x X displaystyle x in X nbsp folgende Zuordnung definiert x f x inf d D x F d displaystyle x mapsto f x operatorname inf d in D x in F d nbsp dd Dann ist durch diese Zuordnung eine stetige Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp gegeben Literatur BearbeitenG J O Jameson Topology and normed spaces Chapman and Hall London 1974 ISBN 0 412 12880 2 John L Kelley General topology Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1975 ISBN 3 540 90125 6 Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand C Wayne Patty Foundations of Topology PWS Kent Publishing Boston 1993 ISBN 0 534 93264 9 Boto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2001 ISBN 3 540 67790 9 Willi Rinow Lehrbuch der Topologie Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1975 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 Lutz Fuhrer Allgemeine Topologie mit Anwendungen Vieweg Braunschweig 1977 ISBN 3 528 03059 3 Egbert Harzheim Helmut Ratschek Einfuhrung in die Allgemeine Topologie Die Mathematik Einfuhrungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1978 ISBN 3 534 06355 4 MR0380697 John 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Jameson Topology and normed spaces 1974 S 112 H Schubert Topologie 1975 S 78 S Willard General Topology 1970 S 105 G J O Jameson Topology and normed spaces 1974 S 111 112 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Urysohn amp oldid 202980928