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Fortsetzungssatz von Dugundji Der engl Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula ist ein mathematischer

Fortsetzungssatz von Dugundji

Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie und der Theorie der topologischen Vektorräume. Er geht auf eine wissenschaftliche Publikation des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951 zurück und ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung darstellt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen:

Einordnung des Satzes Bearbeiten

Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich der zugrundeliegenden stetigen Abbildung ein aus Intervallen von zusammengesetzter Produktraum, etwa ein , ist. Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums ein metrischer Raum zugrunde gelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten Bearbeiten

  • James Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, Nr. 3, 1951, ISSN 0030-8730, S. 353–367 (projecteuclid.org MR0044116 [PDF]).

Monografien Bearbeiten

  • Czesław Bessaga, Aleksander Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology (= Monografie Matematyczne. Band 58). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, ISSN 0077-0507 (MR0478168).
  • Karol Borsuk: Theory of Retracts (= Monografie Matematyczne. Band 44). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1967 (MR0216473).
  • James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Inc., Boston, MA 1973.
  • Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed Point Theory (= Springer Monographs in Mathematics). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-00173-5 (MR1987179).
  • Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2 (MR0974296).
  • Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Weblink Bearbeiten

  • Originalarbeit von Dugundji

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 353 ff.
  2. Bessaga, Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology. 1975, S. 57 ff.
  3. Granas, Dugundji: Fixed Point Theory. 2003, S. 163–164.
  4. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
  5. Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. 1951, S. 353–367, hier S. 357.
  6. Borsuk: Theory of Retracts. 1967, S. 77–78.
  7. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 54, 56
  8. Dugundji: Topology. 1973, S. 189.
  9. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.
  10. Mayer: Algebraische Topologie. 1989, S. 56.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Fortsetzungssatz von Dugundji engl Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula ist ein mathematischer Lehrsatz der angesiedelt ist im Ubergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie und der Theorie der topologischen Vektorraume Er geht auf eine wissenschaftliche Publikation des US amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951 zuruck 1 2 3 und ist direkt verknupft mit dem Satz von Tietze Urysohn uber die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Raume von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung 4 darstellt Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Einordnung des Satzes 3 Literatur 3 1 Originalarbeiten 3 2 Monografien 4 Weblink 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich wie folgt formulieren 5 6 7 Gegeben seien ein metrischer Raum X displaystyle X nbsp und darin eine abgeschlossene Teilmenge A X displaystyle A subseteq X nbsp sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum L displaystyle L nbsp Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung f A L displaystyle f colon A rightarrow L nbsp eine stetige Fortsetzung auf X displaystyle X nbsp also eine stetige Abbildung F X L displaystyle F colon X rightarrow L nbsp mit F A f displaystyle F A f nbsp welche so beschaffen ist dass der Bildbereich F X displaystyle F X nbsp von der konvexen Hulle von f A displaystyle f A nbsp umfasst wird In etwas abgewandelter aber gleichwertiger Form lasst sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen 8 Gegeben seien ein metrischer Raum X displaystyle X nbsp und darin eine abgeschlossene Teilmenge A X displaystyle A subseteq X nbsp sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum L displaystyle L nbsp und darin eine konvexe Teilmenge K L displaystyle K subseteq L nbsp Weiterhin sei f A K displaystyle f colon A rightarrow K nbsp eine stetige Abbildung Dann besitzt f displaystyle f nbsp eine stetige Fortsetzung F X K displaystyle F colon X rightarrow K nbsp Einordnung des Satzes BearbeitenDer Tietze Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert fur normale topologische Raume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall dass der Wertebereich K displaystyle K nbsp der zugrundeliegenden stetigen Abbildung f A K displaystyle f colon A rightarrow K nbsp ein aus Intervallen von R displaystyle mathbb R nbsp zusammengesetzter Produktraum etwa ein R n displaystyle mathbb R n nbsp ist 9 Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage die jedoch erst dadurch moglich wird dass statt eines normalen topologischen Raums X displaystyle X nbsp ein metrischer Raum X displaystyle X nbsp zugrunde gelegt wird Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft 10 Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Bearbeiten James Dugundji An extension of Tietze s theorem In Pacific Journal of Mathematics Band 1 Nr 3 1951 ISSN 0030 8730 S 353 367 projecteuclid org MR0044116 PDF Monografien Bearbeiten Czeslaw Bessaga Aleksander Pelczynski Selected Topics in Infinite dimensional Topology Monografie Matematyczne Band 58 Panstwowe Wydawnictwo Naukowe 1975 ISSN 0077 0507 MR0478168 Karol Borsuk Theory of Retracts Monografie Matematyczne Band 44 Panstwowe Wydawnictwo Naukowe Warschau 1967 MR0216473 James Dugundji Topology 8 Auflage Allyn and Bacon Inc Boston MA 1973 Andrzej Granas James Dugundji Fixed Point Theory Springer Monographs in Mathematics Springer New York NY u a 2003 ISBN 0 387 00173 5 MR1987179 Karl Heinz Mayer Algebraische Topologie Birkhauser Basel u a 1989 ISBN 3 7643 2229 2 MR0974296 Horst Schubert Topologie Mathematische Leitfaden 4 Auflage B G Teubner Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Weblink BearbeitenOriginalarbeit von DugundjiEinzelnachweise Bearbeiten Dugundji An extension of Tietze s theorem 1951 S 353 367 hier S 353 ff Bessaga Pelczynski Selected Topics in Infinite dimensional Topology 1975 S 57 ff Granas Dugundji Fixed Point Theory 2003 S 163 164 Mayer Algebraische Topologie 1989 S 56 Dugundji An extension of Tietze s theorem 1951 S 353 367 hier S 357 Borsuk Theory of Retracts 1967 S 77 78 Mayer Algebraische Topologie 1989 S 54 56 Dugundji Topology 1973 S 189 Schubert Topologie 1975 S 83 Mayer Algebraische Topologie 1989 S 56 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fortsetzungssatz von Dugundji amp oldid 235425583