Der metrische Tensor auch Metriktensor oder Masstensor dient dazu mathematische Raume insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit einem Mass fur Abstande und Winkel auszustatten Dieses Mass muss nicht notwendig alle Bedingungen erfullen die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden im Minkowski Raum der Speziellen Relativitatstheorie gelten diese Bedingungen nur fur Abstande die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind Fur die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitatstheorie bedeutsam ist dass der metrische Tensor anders als eine uber inneres Produkt und Norm definierte Metrik vom Ort abhangen kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Bedeutung 2 Koordinatendarstellung 3 Lange von Kurven 3 1 Linienelement 4 Induzierter Metriktensor 5 Beispiele 5 1 Euklidischer Raum 5 2 Minkowski Raum spezielle Relativitatstheorie 6 LiteraturDefinition und Bedeutung BearbeitenDer metrische Tensor g displaystyle g nbsp uber einem affinen Punktraum A displaystyle A nbsp mit reellem Verschiebungsvektorraum V displaystyle V nbsp ist eine Abbildung von A displaystyle A nbsp in den Raum der Skalarprodukte auf V displaystyle V nbsp Das heisst fur jeden Punkt P A displaystyle P in A nbsp ist g P V V R displaystyle g P colon V times V to mathbb R nbsp eine positiv definite symmetrische Bilinearform In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet dass g P displaystyle g P nbsp fur einige oder alle Punkte P displaystyle P nbsp nur positiv semidefinit ist d h die Forderung der Definitheit g P x x gt 0 displaystyle g P left vec x vec x right gt 0 nbsp fur alle 0 x V displaystyle 0 neq vec x in V nbsp wird abgeschwacht zu g P x x 0 displaystyle g P left vec x vec x right geq 0 nbsp fur alle x V displaystyle vec x in V nbsp Ein solcher Tensor g displaystyle g nbsp heisst dann pseudometrischer Tensor Ein metrischer Tensor definiert eine vom Punkt P displaystyle P nbsp abhangige Lange Norm x P displaystyle vec x P nbsp auf dem Vektorraum V displaystyle V nbsp x P g P x x displaystyle vec x P sqrt g P left vec x vec x right nbsp Analog zum Standardskalarprodukt ist der Winkel 8 0 p displaystyle theta in 0 pi nbsp im Punkt P displaystyle P nbsp zwischen zwei Vektoren x y V displaystyle vec x vec y in V nbsp definiert durch cos 8 g P x y g P x x g P y y displaystyle cos theta frac g P vec x vec y sqrt g P vec x vec x sqrt g P vec y vec y nbsp Koordinatendarstellung BearbeitenWenn ein lokales Koordinatensystem x i displaystyle x i nbsp auf V displaystyle V nbsp mit Basis e i displaystyle e i nbsp aus V displaystyle V nbsp gewahlt wird schreibt man die Komponenten von g displaystyle g nbsp als g i j P g P e i e j displaystyle g ij P g P e i e j nbsp Unter Verwendung der einsteinschen Summenkonvention ist dann fur die Vektoren x x i e i displaystyle vec x x i vec e i nbsp und y y i e i displaystyle vec y y i vec e i nbsp g P x y g i j P x i y j displaystyle g P left vec x vec y right g ij P x i y j nbsp Im Sinne der Kategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant da unter affin linearen injektiven Abbildungen f A V B W displaystyle varphi colon A V to B W nbsp naturlicherweise aus einem metrischen Tensor auf B W displaystyle B W nbsp ein metrischer Tensor auf A V displaystyle A V nbsp konstruiert werden kann f g P x y g f P f x f y displaystyle varphi g P vec x vec y g bigl varphi P bigr Bigl varphi vec x varphi vec y Bigr nbsp In der Physik wird der metrische Tensor oder besser seine Koordinatendarstellung g i j displaystyle g ij nbsp als kovariant bezeichnet da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren Ist ein Koordinatenwechsel als x k A k i x i displaystyle x k A k i tilde x i nbsp bzw x i A 1 i k x k displaystyle tilde x i A 1 i k x k nbsp gegeben so transformieren sich Basisvektoren als e i A k i e k A T i k e k displaystyle tilde e i A k i e k A T i k e k nbsp und es gilt fur den metrischen Tensor g i j g P e i e j A T i k A T j l g k l displaystyle tilde g ij g P tilde e i tilde e j A T i k A T j l g kl nbsp Lange von Kurven BearbeitenIst eine differenzierbare Kurve g a b A displaystyle gamma colon a b to A nbsp im affinen Punktraum gegeben so hat diese in jedem Zeitpunkt t displaystyle t nbsp einen Tangentialvektor x t g t d d t g t displaystyle vec x t dot gamma t frac mathrm d mathrm d t gamma t nbsp Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Lange L a b g a b g g t x t x t d t a b g t g t d t displaystyle L a b gamma int a b sqrt g bigl gamma t bigr Bigl vec x t vec x t Bigr mathrm d t int a b dot gamma t gamma t mathrm d t nbsp zuordnen Linienelement Bearbeiten Der Ausdruck d s 2 g i j d x i d x j displaystyle mathrm d s 2 g ij mathrm d x i mathrm d x j nbsp wieder unter der Verwendung der Summenkonvention heisst Linienelement Substituiert man gemass der Kettenregel d x i d x i d t d t displaystyle mathrm d x i frac mathrm d x i mathrm d t mathrm d t nbsp und d x j d x j d t d t displaystyle mathrm d x j frac mathrm d x j mathrm d t mathrm d t nbsp so ergibt sich d s 2 g i j d x i d t d x j d t d t 2 displaystyle mathrm d s 2 g ij frac mathrm d x i mathrm d t frac mathrm d x j mathrm d t mathrm d t 2 nbsp d s displaystyle mathrm d s nbsp ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer Kurvenlange Induzierter Metriktensor BearbeitenHat man eine p displaystyle p nbsp dimensionale Untermannigfaltigkeit eines riemannschen Raumes mit der Metrik g i j displaystyle g ij nbsp die mittels der Parameterdarstellung q i q i t 1 t 2 t p i 1 n displaystyle q i q i t 1 t 2 dots t p qquad i 1 dots n nbsp gegeben ist wird eine Metrik a a b displaystyle a alpha beta nbsp induziert Die t a displaystyle t alpha nbsp nennt man induzierte Koordinaten Betrachtet man eine Kurve t a t a t a t b a 1 p displaystyle t alpha t alpha t qquad a leq t leq b qquad alpha 1 dots p nbsp auf dieser Teilmannigfaltigkeit so erhalt man fur die Bogenlange gemass der Kettenregel s a b g i j d q i d t d q j d t d t a b g i j q i t a d t a d t q j t b d t b d t d t a b g i j q i t a q j t b d t a d t d t b d t d t displaystyle s int a b sqrt g ij frac mathrm d q i mathrm d t frac mathrm d q j mathrm d t mathrm d t int a b sqrt g ij frac partial q i partial t alpha frac mathrm d t alpha mathrm d t frac partial q j partial t beta frac mathrm d t beta mathrm d t mathrm d t int a b sqrt g ij frac partial q i partial t alpha frac partial q j partial t beta frac mathrm d t alpha mathrm d t frac mathrm d t beta mathrm d t mathrm d t nbsp Die Grosse a a b g i j q i t a q j t b displaystyle a alpha beta g ij frac partial q i partial t alpha frac partial q j partial t beta nbsp ist der induzierte Metriktensor Mit diesem ergibt sich die Kurvenlange schliesslich als s a b a a b d t a d t d t b d t d t displaystyle s int a b sqrt a alpha beta frac mathrm d t alpha mathrm d t frac mathrm d t beta mathrm d t mathrm d t nbsp Beispiele BearbeitenEuklidischer Raum Bearbeiten In einem euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix g i j d i j displaystyle g ij delta ij nbsp gegeben Im euklidischen Raum ist namlich das Skalarprodukt x y i 1 n x i y i displaystyle textstyle langle x y rangle sum i 1 n x i y i nbsp gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen Also gilt fur diesen in lokalen Koordinaten g i j e i e j d i j displaystyle g ij langle e i e j rangle delta ij nbsp wobei e 1 e n displaystyle e 1 dots e n nbsp die Vektoren der Standardbasis sind Fur beliebige Vektoren x x i e i displaystyle x x i e i nbsp und y y j e j displaystyle y y j e j nbsp des euklidischen Raums gilt g i j x i y j d i j x i y j i 1 n x i y i displaystyle g ij x i y j delta ij x i y j sum i 1 n x i y i nbsp Hier wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet Fur die Kurvenlange L a b d x 2 displaystyle L int a b sqrt left mathrm d x right 2 nbsp und den Winkel cos 8 u v u v displaystyle cos theta frac mathbf u mathbf v mathbf u cdot mathbf v nbsp erhalt man die ublichen Formeln der Vektoranalysis Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi Matrix J displaystyle J nbsp der Einbettung als g J T J displaystyle g J T J nbsp In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt In Polarkoordinaten x 1 x 2 r 8 displaystyle x 1 x 2 r theta nbsp g 1 0 0 r 2 displaystyle g begin bmatrix 1 amp 0 0 amp r 2 end bmatrix nbsp bzw d s 2 d r 2 r 2 d 8 2 displaystyle mathrm d s 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 nbsp dd In Zylinderkoordinaten x 1 x 2 x 3 r f z displaystyle x 1 x 2 x 3 r varphi z nbsp g 1 0 0 0 r 2 0 0 0 1 displaystyle g begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp r 2 amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix nbsp bzw d s 2 d r 2 r 2 d f 2 d z 2 displaystyle mathrm d s 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d varphi 2 mathrm d z 2 nbsp dd In Kugelkoordinaten x 1 x 2 x 3 r 8 f displaystyle x 1 x 2 x 3 r theta varphi nbsp g 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r sin 8 2 displaystyle g begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp r 2 amp 0 0 amp 0 amp r sin theta 2 end bmatrix nbsp bzw d s 2 d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle mathrm d s 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 r 2 sin 2 theta mathrm d varphi 2 nbsp dd Herleitung fur Kugelkoordinaten displaystyle quad longrightarrow nbsp wbr Die Koordinatentransformation fur die Kugelkoordinaten lautet als Vektorgleichung r x y z r sin 8 cos f r sin 8 sin f r cos 8 displaystyle vec r begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix r sin theta cos varphi r sin theta sin varphi r cos theta end pmatrix nbsp Die lokalen Basisvektoren b 1 b 2 displaystyle vec b 1 vec b 2 nbsp und b 3 displaystyle vec b 3 nbsp verlaufen tangential zu den Koordinatenlinien und ergeben sich somit aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den Koordinaten r 8 displaystyle r theta nbsp und f displaystyle varphi nbsp Also gilt b 1 r r sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 b 2 r 8 r cos 8 cos f r cos 8 sin f r sin 8 b 3 r f r sin 8 sin f r sin 8 cos f 0 displaystyle vec b 1 frac partial vec r partial r begin pmatrix sin theta cos varphi sin theta sin varphi cos theta end pmatrix quad vec b 2 frac partial vec r partial theta begin pmatrix r cos theta cos varphi r cos theta sin varphi r sin theta end pmatrix quad vec b 3 frac partial vec r partial varphi begin pmatrix r sin theta sin varphi r sin theta cos varphi 0 end pmatrix nbsp Die Komponenten des metrischen Tensors g g i j displaystyle g g ij nbsp sind die Skalarprodukte dieser Basisvektoren g i j b i b j i j 1 2 3 displaystyle g ij vec b i vec b j quad i j in 1 2 3 nbsp Die Rechnung ergibt g 11 1 g 22 r 2 u n d g 33 r 2 sin 2 8 displaystyle g 11 1 quad g 22 r 2 quad und quad g 33 r 2 sin 2 theta nbsp Die ubrigen Skalarprodukte sind null Dies bedeutet dass die Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen die Kugelkoordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem Fur das Linienelement ergibt sich somit d s 2 d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle mathrm d s 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 r 2 sin 2 theta mathrm d varphi 2 nbsp Die Herleitungen fur die anderen Koordinatensysteme verlaufen entsprechend Minkowski Raum spezielle Relativitatstheorie Bearbeiten Hauptartikel Minkowski Raum Der flache Minkowski Raum der speziellen Relativitatstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum Zeit ohne Gravitation Raumliche Abstande und Zeitspannen hangen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen gleichformig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt konnen sie verschiedene Werte annehmen Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand der raumliche und zeitliche Abstande zusammenfasst Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus raumlichem Abstand d r displaystyle mathrm d mathbf r nbsp und Zeitspanne d t displaystyle mathrm d t nbsp als d s 2 c 2 d t 2 d r 2 displaystyle mathrm d s 2 c 2 left mathrm d t right 2 left mathrm d mathbf r right 2 nbsp Im Minkowski Raum wird der kontravariante Orts Vierervektor definiert durch x m x 0 x 1 x 2 x 3 c t x y z displaystyle x mu x 0 x 1 x 2 x 3 ct x y z nbsp Der metrische Tensor lautet in einer Konvention die vor allem in der Quantenfeldtheorie verwendet wird Signatur 2 also h m n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 diag 1 1 1 1 displaystyle eta mu nu begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end bmatrix equiv operatorname diag 1 1 1 1 nbsp In einer Konvention die hauptsachlich in der Allgemeinen Relativitatstheorie benutzt wird Signatur 2 also schreibt man h m n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 diag 1 1 1 1 displaystyle eta mu nu begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end bmatrix equiv operatorname diag 1 1 1 1 nbsp Dabei ist allerdings zu beachten dass es sich hierbei trotz der allgemein verwendeten Bezeichnung weder um einen metrischen noch um einen pseudometrischen Tensor handelt weil er nicht positiv semi definit ist was sofort aus der Signatur hervorgeht Das heisst h n m displaystyle eta nu mu nbsp stellt lediglich eine symmetrische Bilinearform bezuglich einer bestimmten Basis dar keine positiv semi definite symmetrische Bilinearform In der Allgemeinen Relativitatstheorie ist der metrische Tensor ortsabhangig und bildet daher ein Tensorfeld da die Krummung der Raumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist Literatur BearbeitenRainer Oloff Geometrie der Raumzeit Eine mathematische Einfuhrung in die Relativitatstheorie Springer Verlag 2013 ISBN 3 322 94260 0 Chris Isham Modern Differential Geometry for Physicists Allied Publishers 2002 ISBN 81 7764 316 9 W Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 Springer Vieweg ISBN 978 3 658 25271 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Metrischer Tensor amp oldid 219247593
