Der Tragheitssatz von Sylvester oder sylvestersche Tragheitssatz ist ein Theorem aus der linearen Algebra welches besagt dass Koeffizientenmatrizen von Bilinearformen bestimmte Eigenschaften aufweisen die invariant unter einem Basiswechsel sind Es liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur Der Satz ist benannt nach dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Bemerkungen 3 Signatur 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAussage des Satzes BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform s V V C displaystyle s colon V times V rightarrow mathbb C nbsp Der Ausartungsraum V 0 displaystyle V 0 nbsp von V displaystyle V nbsp ist definiert als V 0 v V w V s v w 0 displaystyle V 0 v in V forall w in V s v w 0 nbsp Der sylvestersche Tragheitssatz besagt nun dass eine direkte Summe V V V V 0 displaystyle V V oplus V oplus V 0 nbsp mit s v v gt 0 displaystyle s v v gt 0 nbsp fur alle v V 0 displaystyle v in V setminus 0 qquad nbsp unds v v lt 0 displaystyle qquad s v v lt 0 nbsp fur alle v V 0 displaystyle v in V setminus 0 nbsp existiert Insbesondere existiert also eine Basis von V displaystyle V nbsp so dass die Darstellungsmatrix A displaystyle A nbsp der hermiteschen Sesquilinearform s displaystyle s nbsp die Diagonalgestalt A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp ldots amp 0 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp ddots amp 0 amp amp amp amp amp amp vdots 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp amp amp amp amp 0 0 amp amp 0 amp 1 amp 0 amp amp amp amp 0 vdots amp amp amp 0 amp ddots amp 0 amp amp amp vdots 0 amp amp amp amp 0 amp 1 amp 0 amp amp 0 0 amp amp amp amp amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 vdots amp amp amp amp amp amp 0 amp ddots amp 0 0 amp ldots amp 0 amp 0 amp ldots amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp hat Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Eintrage 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp alle anderen Koeffizienten sind 0 displaystyle 0 nbsp 1 Bemerkungen BearbeitenSeien A R n n displaystyle A in mathbb R n times n nbsp eine symmetrische Matrix und S G L n R displaystyle S in GL n mathbb R nbsp eine invertierbare Matrix So folgt aus dem Satz dass A displaystyle A nbsp und S T A S displaystyle S T AS nbsp mit Vielfachheit gezahlt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben Dies ist nicht trivial denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation S 1 A S displaystyle S 1 AS nbsp invariant nicht jedoch unter S T A S displaystyle S T AS nbsp Der Tragheitssatz ist fur hermitesche Bilinearformen nicht gultig Signatur Bearbeiten Hauptartikel Signatur lineare Algebra Die Raume V displaystyle V nbsp V displaystyle V nbsp und V 0 displaystyle V 0 nbsp seien wie im ersten Abschnitt definiert Dann folgt aus dem Tragheitssatz dass die Zahlen r s dim V r s dim V und r 0 s dim V 0 displaystyle begin aligned r s amp dim V r s amp dim V text und r 0 s amp dim V 0 end aligned nbsp Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform s V V C displaystyle s colon V times V rightarrow mathbb C nbsp sind Insbesondere ist r s max dim W W V Untervektorraum und w W 0 s w w gt 0 displaystyle r s max dim W W subseteq V text Untervektorraum und forall w in W setminus 0 s w w gt 0 nbsp Die analoge Aussage gilt auch fur r s displaystyle r s nbsp Ausserdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit r s r s r 0 s dim V displaystyle r s r s r 0 s dim V nbsp Das Tripel s s r s r s r 0 s displaystyle sigma s left r s r s r 0 s right nbsp heisst Tragheitsindex oder Sylvester Signatur von s displaystyle s nbsp Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra 14 durchgesehene Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03217 0 Einzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Lineare Algebra 3 Auflage Springer Berlin u a 2006 ISBN 3 540 29884 3 S 278 281 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tragheitssatz von Sylvester amp oldid 235860863
