Satz von Hopf Rinow Der ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie Er besagt dass bei riemannschen Mannigf

Satz von Hopf-Rinow

Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodätischen Vollständigkeit und der Vollständigkeit im Sinne von metrischen Räumen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heißt dann vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schüler Willi Rinow.

Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Eine zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit heißt geodätisch vollständig, falls für alle die Exponentialabbildung für alle definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt und jeden Tangentialvektor ist die Geodäte mit und auf ganz definiert.

Satz von Hopf und Rinow Bearbeiten

Sei eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

Die Mannigfaltigkeit ist geodätisch vollständig.
Es existiert ein so dass für alle definiert ist.
Die Mannigfaltigkeit ist vollständig als metrischer Raum.
Die Heine-Borel-Eigenschaft gilt. Das heißt, jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt.

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.

Für alle existiert eine Geodäte , welche die Punkte und auf kürzestem Weg verbindet.

Die Abstandsfunktion ist hierbei definiert als das Infimum über die Bogenlängen aller stückweise differenzierbaren Kurven mit und ; das heißt, es gilt

Diese Abstandsfunktion macht zu einem metrischen Raum.

Korollare Bearbeiten

Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt, dass alle kompakten, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeiten (geodätisch) vollständig sind.
Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe folgt, dass die Exponentialabbildung surjektiv ist.
Alle geschlossenen Untermannigfaltigkeiten einer vollständigen, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeit sind vollständig

Beispiele Bearbeiten

Die Sphäre , der euklidische Raum und der hyperbolische Raum sind vollständig.
Der metrische Raum mit der euklidischen Metrik induziert durch das Standardskalarprodukt ist nicht vollständig. Wählt man nämlich einen Punkt , so gibt es zu dem Punkt keine kürzeste Verbindung in .

Literatur Bearbeiten

H. Hopf, W. Rinow: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. Commentarii Mathematici Helvetici. 3: 209–225, 1931.
J. Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 21:54 pm

Der Satz von Hopf Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie Er besagt dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geodatischen Vollstandigkeit und der Vollstandigkeit im Sinne von metrischen Raumen zusammenfallen Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft heisst dann vollstandige riemannsche Mannigfaltigkeit Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Schuler Willi Rinow Inhaltsverzeichnis 1 Geodatisch vollstandige Mannigfaltigkeit 2 Satz von Hopf und Rinow 3 Korollare 4 Beispiele 5 LiteraturGeodatisch vollstandige Mannigfaltigkeit BearbeitenEine zusammenhangende Riemann sche Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp heisst geodatisch vollstandig falls fur alle p M displaystyle p in M nbsp die Exponentialabbildung exp p displaystyle exp p nbsp fur alle v T p M displaystyle v in T p M nbsp definiert ist Das heisst fur jeden Punkt p M displaystyle p in M nbsp und jeden Tangentialvektor v T p M displaystyle v in T p M nbsp ist die Geodate g displaystyle gamma nbsp mit g 0 p displaystyle gamma 0 p nbsp und g 0 v displaystyle dot gamma 0 v nbsp auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp definiert Satz von Hopf und Rinow BearbeitenSei M g displaystyle M g nbsp eine endlichdimensionale zusammenhangende Riemann sche Mannigfaltigkeit Dann sind die folgenden Eigenschaften aquivalent Die Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist geodatisch vollstandig Es existiert ein p M displaystyle p in M nbsp so dass exp p displaystyle exp p nbsp fur alle v T p M displaystyle v in T p M nbsp definiert ist Die Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist vollstandig als metrischer Raum Die Heine Borel Eigenschaft gilt Das heisst jede abgeschlossene und beschrankte Teilmenge ist kompakt Aus diesen vier aquivalenten Aussagen lasst sich eine weitere folgern Fur alle p q M displaystyle p q in M nbsp existiert eine Geodate g displaystyle gamma nbsp welche die Punkte p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp auf kurzestem Weg verbindet Die Abstandsfunktion d p q displaystyle d p q nbsp ist hierbei definiert als das Infimum uber die Bogenlangen aller stuckweise differenzierbaren Kurven g displaystyle gamma nbsp mit g a p displaystyle gamma a p nbsp und g b q displaystyle gamma b q nbsp das heisst es gilt d p q inf g a b g g t d g t d t d g t d t d t displaystyle d p q inf gamma int a b sqrt g gamma t left frac d gamma t dt frac d gamma t dt right d t nbsp Diese Abstandsfunktion macht M displaystyle M nbsp zu einem metrischen Raum Korollare BearbeitenAus dem Satz von Hopf Rinow folgt dass alle kompakten zusammenhangenden Riemann schen Mannigfaltigkeiten geodatisch vollstandig sind Fur eine kompakte zusammenhangende Lie Gruppe folgt dass die Exponentialabbildung exp G g G displaystyle exp G colon mathfrak g to operatorname G nbsp surjektiv ist Alle geschlossenen Untermannigfaltigkeiten einer vollstandigen zusammenhangenden Riemann schen Mannigfaltigkeit sind vollstandigBeispiele BearbeitenDie Sphare S n displaystyle mathbb S n nbsp der euklidische Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp und der hyperbolische Raum H n displaystyle mathbb H n nbsp sind vollstandig Der metrische Raum M R 2 0 displaystyle M mathbb R 2 setminus 0 nbsp mit der euklidischen Metrik induziert durch das Standardskalarprodukt ist nicht vollstandig Wahlt man namlich einen Punkt p x 1 x 2 M displaystyle p x 1 x 2 in M nbsp so gibt es zu dem Punkt q x 1 x 2 M displaystyle q x 1 x 2 in M nbsp keine kurzeste Verbindung in M displaystyle M nbsp Literatur BearbeitenH Hopf W Rinow Uber den Begriff der vollstandigen differentialgeometrischen Flache Commentarii Mathematici Helvetici 3 209 225 1931 J Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis Springer Verlag Berlin 2002 ISBN 3 540 42627 2 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston 1992 ISBN 0 8176 3490 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hopf Rinow amp oldid 202601133