Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine (1821–1881) und Émile Borel (1871–1956) benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.
Aussage Bearbeiten
Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.
Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen anwenden.
Anmerkung und Gegenbeispiele Bearbeiten
Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.
Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge . Sie ist definiert durch
In dieser Metrik ist jede Teilmenge von abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.
Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.
Verallgemeinerung Bearbeiten
Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind. Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.
Weblinks Bearbeiten
- Heine Borel (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)