Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit oder Lorentzmannigfaltigkeit (nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik mit Signatur (1,3,0), auch als (-,+,+,+) notiert. Sie ist ein Spezialfall einer (n+1)-dimensionalen pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik-Signatur (1,n,0) ≡ (-,+,+,+,...) mit n ≥ 1, die manchmal (im weiteren Sinn) ebenfalls als lorentzsche Mannigfaltigkeit bezeichnet werden. Lorentzmannigfaltigkeiten sind für die allgemeine Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da dort die Raumzeit als vierdimensionale lorentzsche Mannigfaltigkeit modelliert wird.
Punktrelationen und Gliederung der Mannigfaltigkeit Bearbeiten
Sei ein Raum-Zeit-Punkt (Ereignis) aus der Raumzeit und der Tangentialraum (einen Minkowski-Vektorraum) an im Punkt .
Da die lorentzsche Metrik als Pseudoskalarprodukt im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren an die Mannigfaltigkeit auf:
- zeitartige Vektoren mit ,
- raumartige Vektoren mit ,
- lichtartige Vektoren mit .
Lichtartige Vektoren werden wegen auch Nullvektoren genannt (im weiteren Sinne, englisch null vectors – im engeren Sinn ist das nur bzw. , en. zero vector).
Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit ) werden auch kausale Vektoren genannt.
Wege bzw. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an den Weg bzw. die Kurve auf der gesamten Länge zur entsprechenden Kategorien gehören.
Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes ist die Menge aller Punkte die von aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit bezeichnet. Die kausale Zukunft ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit und .
Lorentzsche Länge Bearbeiten
Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve mit Parameterdarstellung (Weg) ist
ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.
Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.
Lorentzscher Abstand Bearbeiten
Als lorentzscher Abstand zwischen zwei Punkten und von wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von nach gewählt, wenn in liegt, ansonsten definiert man .
Anmerkungen Bearbeiten
- Man beachte in diesem Zusammenhang, dass wegen Nicht-Entartung gilt: Ist für die Bedingung für alle erfüllt, dann ist
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Christopher Stover: Lorentzian Manifold, auf Wolfram MathWorld