www.wikidata.de-de.nina.az

Hyperbolische Isometrie In der Mathematik sind hyperbolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner

Hyperbolische Isometrie

In der Mathematik sind hyperbolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition Bearbeiten

Es sei ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

ist eine hyperbolische Isometrie, wenn sie keinen Fixpunkt hat, es aber eine unter invariante Geodäte gibt.

Insbesondere hat eine hyperbolische Isometrie zwei Fixpunkte im Unendlichen.

Beispiel Bearbeiten

Sei das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und eine durch

mit gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass eine Isometrie ist und die Geodäte durch und invariant lässt. Es ist also eine hyperbolische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen beschrieben werden. Im Fall der hyperbolischen Ebene ist die durch eine Matrix beschriebene Isometrie genau dann hyperbolisch, wenn für die Spur von die Ungleichung

gilt. Im Fall ist diese Bedingung hinreichend, aber nicht notwendig für eine hyperbolische Isometrie. Das obige Beispiel entspricht der Matrix .

Äquivalente Charakterisierung Bearbeiten

Für eine Isometrie sei definiert durch

Die Isometrie ist genau dann hyperbolisch, wenn es ein mit

gibt und dieses Infimum positiv ist.

Die Menge

ist dann eine Vereinigung von invarianten Geodäten.

Loxodromische Isometrien Bearbeiten

Falls der hyperbolische Raum mit ist, dann werden die oben definierten hyperbolischen Isometrien auch als loxodromische Isometrien bezeichnet. Als hyperbolische Isometrien bezeichnet man dann nur diejenigen loxodromischen Isometrien, die als Transvektionen entlang einer invarianten Geodäten wirken, also keine Drehung um diese Geodäte bewirken.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
  • Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind hyperbolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT 0 Raume von Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Aquivalente Charakterisierung 4 Loxodromische Isometrien 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein vollstandiger CAT 0 Raum zum Beispiel ein hyperbolischer Raum Eine Isometrie f X X displaystyle f colon X to X nbsp ist eine hyperbolische Isometrie wenn sie keinen Fixpunkt hat es aber eine unter f displaystyle f nbsp invariante Geodate gibt Insbesondere hat eine hyperbolische Isometrie zwei Fixpunkte im Unendlichen Beispiel BearbeitenSei X H 2 z C Im z gt 0 displaystyle X mathbf H 2 left z in mathbb C colon operatorname Im z gt 0 right nbsp das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und f X X displaystyle f colon X to X nbsp eine durch f z l z displaystyle f z lambda z nbsp mit l gt 1 displaystyle lambda gt 1 nbsp gegebene Abbildung Man kann uberprufen dass f displaystyle f nbsp eine Isometrie ist und die Geodate durch 0 displaystyle 0 nbsp und displaystyle infty nbsp invariant lasst Es ist also eine hyperbolische Isometrie Allgemeiner konnen Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen A S L 2 R displaystyle A in SL 2 mathbb R nbsp und Isometrien des 3 dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen A S L 2 C displaystyle A in SL 2 mathbb C nbsp beschrieben werden Im Fall der hyperbolischen Ebene ist die durch eine Matrix A S L 2 R displaystyle A in SL 2 mathbb R nbsp beschriebene Isometrie genau dann hyperbolisch wenn fur die Spur von A displaystyle A nbsp die Ungleichung Sp A gt 2 displaystyle mid operatorname Sp A mid gt 2 nbsp gilt Im Fall A S L 2 C displaystyle A in SL 2 mathbb C nbsp ist diese Bedingung hinreichend aber nicht notwendig fur eine hyperbolische Isometrie Das obige Beispiel entspricht der Matrix l 0 0 1 l displaystyle left begin matrix sqrt lambda amp 0 0 amp frac 1 sqrt lambda end matrix right nbsp Aquivalente Charakterisierung BearbeitenFur eine Isometrie f X X displaystyle f colon X to X nbsp sei d f X R 0 displaystyle d f colon X to mathbb R geq 0 nbsp definiert durch d f x d f x x displaystyle d f x d f x x nbsp Die Isometrie ist genau dann hyperbolisch wenn es ein x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp mit d f x 0 inf d f x x X displaystyle d f x 0 inf left d f x colon x in X right nbsp gibt und dieses Infimum positiv ist Die Menge Min f z X d f z inf d f x x X X displaystyle operatorname Min f left z in X colon d f z inf left d f x colon x in X right right subset X nbsp ist dann eine Vereinigung von invarianten Geodaten Loxodromische Isometrien BearbeitenFalls X H n displaystyle X mathbb H n nbsp der hyperbolische Raum mit n 3 displaystyle n geq 3 nbsp ist dann werden die oben definierten hyperbolischen Isometrien auch als loxodromische Isometrien bezeichnet Als hyperbolische Isometrien bezeichnet man dann nur diejenigen loxodromischen Isometrien die als Transvektionen entlang einer invarianten Geodaten wirken also keine Drehung um diese Geodate bewirken Siehe auch BearbeitenElliptische Isometrie Parabolische IsometrieLiteratur BearbeitenMartin Bridson Andre Haefliger Metric spaces of non positive curvature Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319 Springer Verlag Berlin 1999 ISBN 3 540 64324 9 Francis Bonahon Low dimensional geometry From Euclidean surfaces to hyperbolic knots Student Mathematical Library 49 IAS Park City Mathematical Subseries American Mathematical Society Providence RI Institute for Advanced Study IAS Princeton NJ 2009 ISBN 978 0 8218 4816 6Weblinks BearbeitenChang Isometries of the hyperbolic plane Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbolische Isometrie amp oldid 231777363 Loxodromische Isometrien