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Kommutatorgruppe In der Mathematik bezeichnet die oder Kommutator Untergruppe zu einer Gruppe G displaystyle G diejenige

Kommutatorgruppe

In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren in der Gruppe erzeugt wird:

Die Kommutatorgruppe wird auch mit und mit (oder ) bezeichnet und abgeleitete Gruppe (von ) genannt.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren keine Gruppe, die Phrase „erzeugt von“ in der Definition (gleichbedeutend mit den spitzen Klammern in der Formel) kann also nicht weggelassen werden.

Die Ordnung der Kommutatorgruppe ist ein Maß, wie weit eine Gruppe von der Kommutativität entfernt ist. Eine Gruppe ist genau dann kommutativ (abelsch), wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element, genannt , besteht. In diesem Falle gilt nämlich für alle . Im Gegensatz dazu heißen Gruppen, bei denen die Kommutatorgruppe die ganze Gruppe umfasst, perfekte Gruppen.

Eigenschaften Bearbeiten

Es gelten die Gleichungen

Für jeden Homomorphismus ist .

Da die Menge der Kommutatoren unter jedem Automorphismus von auf sich abgebildet wird, ist die Kommutatorgruppe eine charakteristische Untergruppe von und damit auch ein Normalteiler der Gruppe.

Die Faktorgruppe ist stets abelsch, sie wird als Abelisierung der Gruppe bezeichnet. Für jeden Normalteiler gilt:

Das heißt, die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler, für den die Faktorgruppe abelsch ist.

Beispiele Bearbeiten

Es sei die symmetrische Gruppe und die alternierende Gruppe. Dann gilt:

Höhere Kommutatorgruppen Bearbeiten

Das Bilden der Kommutatorgruppe lässt sich iterieren, man bezeichnet die -te Kommutatorgruppe (oder auch die -te abgeleitete Gruppe) mit . Die rekursive Definition lautet:

Eine Gruppe heißt auflösbar genau dann, wenn eine absteigende Kette von Subnormalteilern

existiert, so dass die Faktorgruppen abelsch sind. Die Konstruktion der iterierten Kommutatorgruppe liefert ein Kriterium für die Auflösbarkeit von :

Entweder ist die bei fortgesetzter Kommutatorbildung entstehende absteigende Reihe von Untergruppen oder eine Verfeinerung dieser Reihe äquivalent zu jeder solchen Subnormalreihe oder einer Verfeinerung derselben.

Der Zusammenhang zwischen den beiden äquivalenten Definitionen der Auflösbarkeit, über fortgesetzte Kommutatorenbildung einerseits und über eine Subnormalreihe andererseits, sowie der Begriff der Subnormalreihe selbst werden ausführlicher im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert.

Beispiel Bearbeiten

Die symmetrische Gruppe bzw. die alternierende Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn . Für sieht man das sofort mit obigem Beispiel ein. Für gilt:

Für wird die Kette der iterierten Kommutatorgruppen stationär bei , also ist dann weder noch auflösbar.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Dr. Ludwig Baumgartner Gruppentheorie Sammlung Göschen Band 837/837a S. 99
  2. Robert M. Guralnick: Commutators and commutator subgroups ADVANCES IN MATHEMATICS 45, 319-330 (1982)
  3. In der über freien Gruppe ist kein Kommutator.
    Beweis: Angenommen, es gäbe mit
    dann wäre das Wort
    durch geschickte Wahl der Variablen in das leere Wort „überführbar“. Überführungen können hintereinander ausgeführt und auch rückgängig gemacht werden (Anwendungen der Kürzungsregeln sowieso, und das Zurückdrehen einer Einsetzung muss halt eine korrekte Einsetzung ergeben), so dass „überführbar“ eine Äquivalenzrelation ist.
    Nun ist durch die Wahl überführbar in das Wort welches aber nicht in das leere Wort überführt werden kann.

Literatur Bearbeiten

  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe oder Kommutator Untergruppe zu einer Gruppe G displaystyle G diejenige Untergruppe die von den Kommutatoren a b a b a 1 b 1 displaystyle a b aba 1 b 1 in der Gruppe G displaystyle G erzeugt wird K G a b a b G displaystyle K G left langle left a b mid a b in G right right rangle Die Kommutatorgruppe wird auch mit G G displaystyle G G und mit G displaystyle G oder G 1 displaystyle G 1 bezeichnet und abgeleitete Gruppe von G displaystyle G genannt Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren a b a b G displaystyle left a b mid a b in G right keine Gruppe die Phrase erzeugt von in der Definition gleichbedeutend mit den spitzen Klammern displaystyle left langle right rangle in der Formel kann also nicht weggelassen werden 1 2 3 Die Ordnung der Kommutatorgruppe ist ein Mass wie weit eine Gruppe von der Kommutativitat entfernt ist Eine Gruppe ist genau dann kommutativ abelsch wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element genannt e displaystyle e besteht In diesem Falle gilt namlich a b e displaystyle a b e fur alle a b G displaystyle a b in G Im Gegensatz dazu heissen Gruppen bei denen die Kommutatorgruppe die ganze Gruppe umfasst perfekte Gruppen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Beispiele 3 Hohere Kommutatorgruppen 3 1 Beispiel 4 Einzelnachweise 5 Literatur 6 Siehe auchEigenschaften BearbeitenEs gelten die Gleichungen a b a b b a displaystyle ab a b ba nbsp a b 1 b a displaystyle a b 1 b a nbsp a b s a s b s displaystyle a b s a s b s nbsp mit a s s 1 a s displaystyle a s s 1 as nbsp als der Konjugierten von a displaystyle a nbsp unter s displaystyle s nbsp Fur jeden Homomorphismus f G H displaystyle f colon G to H nbsp ist f a b f a f b displaystyle f a b f a f b nbsp Da die Menge der Kommutatoren unter jedem Automorphismus von G displaystyle G nbsp auf sich abgebildet wird ist die Kommutatorgruppe eine charakteristische Untergruppe von G displaystyle G nbsp und damit auch ein Normalteiler der Gruppe Die Faktorgruppe G K G displaystyle G K G nbsp ist stets abelsch sie wird als Abelisierung der Gruppe bezeichnet Fur jeden Normalteiler N displaystyle N nbsp gilt G N displaystyle G N nbsp ist genau dann abelsch wenn K G N displaystyle K G subseteq N nbsp Das heisst die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler fur den die Faktorgruppe abelsch ist Beispiele BearbeitenEs sei S n displaystyle S n nbsp die symmetrische Gruppe und A n displaystyle A n nbsp die alternierende Gruppe Dann gilt K S n A n displaystyle K S n A n nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp K A n A n displaystyle K A n A n nbsp fur n 5 displaystyle n geq 5 nbsp K A 4 V displaystyle K A 4 V nbsp wobei V displaystyle V nbsp die Kleinsche Vierergruppe bezeichnet K A 3 K A 2 e displaystyle K A 3 K A 2 e nbsp Hohere Kommutatorgruppen BearbeitenDas Bilden der Kommutatorgruppe lasst sich iterieren man bezeichnet die n displaystyle n nbsp te Kommutatorgruppe oder auch die n displaystyle n nbsp te abgeleitete Gruppe mit G n K n G displaystyle G n K n G nbsp Die rekursive Definition lautet G 0 K 0 G G displaystyle G 0 K 0 G G nbsp G n 1 G n K n 1 G K K n G displaystyle G n 1 G n K n 1 G K left K n G right nbsp Eine Gruppe G displaystyle G nbsp heisst auflosbar genau dann wenn eine absteigende Kette von Subnormalteilern G G 0 G 1 G n e displaystyle G G 0 triangleright G 1 triangleright ldots triangleright G n e nbsp Subnormalreihe existiert so dass die Faktorgruppen G k G k 1 displaystyle G k G k 1 nbsp abelsch sind Die Konstruktion der iterierten Kommutatorgruppe liefert ein Kriterium fur die Auflosbarkeit von G displaystyle G nbsp G displaystyle G nbsp ist genau dann auflosbar wenn es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt mit G n e displaystyle G n e nbsp Entweder ist die bei fortgesetzter Kommutatorbildung entstehende absteigende Reihe von Untergruppen oder eine Verfeinerung dieser Reihe aquivalent zu jeder solchen Subnormalreihe oder einer Verfeinerung derselben Der Zusammenhang zwischen den beiden aquivalenten Definitionen der Auflosbarkeit uber fortgesetzte Kommutatorenbildung einerseits und uber eine Subnormalreihe andererseits sowie der Begriff der Subnormalreihe selbst werden ausfuhrlicher im Artikel Reihe Gruppentheorie erlautert Beispiel Bearbeiten Die symmetrische Gruppe S n displaystyle S n nbsp bzw die alternierende Gruppe A n displaystyle A n nbsp ist genau dann auflosbar wenn n lt 5 displaystyle n lt 5 nbsp Fur n 2 3 displaystyle n in 2 3 nbsp sieht man das sofort mit obigem Beispiel ein Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp gilt K S 4 A 4 displaystyle K S 4 A 4 nbsp K A 4 V displaystyle K A 4 V nbsp K V e displaystyle K V e nbsp da V displaystyle V nbsp abelsch ist Fur n 5 displaystyle n geq 5 nbsp wird die Kette der iterierten Kommutatorgruppen stationar bei A n e displaystyle A n neq e nbsp also ist dann weder S n displaystyle S n nbsp noch A n displaystyle A n nbsp auflosbar Einzelnachweise Bearbeiten Dr Ludwig Baumgartner Gruppentheorie Sammlung Goschen Band 837 837a S 99 Robert M Guralnick Commutators and commutator subgroups ADVANCES IN MATHEMATICS 45 319 330 1982 In der uber a b displaystyle a b nbsp freien Gruppe F a b displaystyle F left langle a b right rangle nbsp ist a b 2 displaystyle a b 2 nbsp kein Kommutator Beweis Angenommen es gabe x y F displaystyle x y in F nbsp mit a b 2 a b a 1 b 1 a b a 1 b 1 x y x 1 y 1 x y displaystyle a b 2 aba 1 b 1 aba 1 b 1 xyx 1 y 1 x y nbsp dann ware das Wortw y 1 x 1 a b a 1 b 1 a b a 1 b 1 y x displaystyle w y 1 x 1 aba 1 b 1 aba 1 b 1 yx nbsp durch geschickte Wahl der Variablen x y F displaystyle x y in F nbsp in das leere Wort e displaystyle e nbsp uberfuhrbar Uberfuhrungen konnen hintereinander ausgefuhrt und auch ruckgangig gemacht werden Anwendungen der Kurzungsregeln sowieso und das Zuruckdrehen einer Einsetzung muss halt eine korrekte Einsetzung ergeben so dass uberfuhrbar eine Aquivalenzrelation ist Nun ist w displaystyle w nbsp durch die Wahl x a y b displaystyle x a y b nbsp uberfuhrbar in das Wort a 1 b 1 a b a 1 b 1 displaystyle a 1 b 1 ab a 1 b 1 nbsp welches aber nicht in das leere Wort uberfuhrt werden kann Literatur BearbeitenThomas W Hungerford Algebra Graduate Texts in Mathematics Bd 73 5th printing Springer New York NY u a 1989 ISBN 0 387 90518 9 Siehe auch BearbeitenLemma von Whitehead Perfekte Gruppe Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kommutatorgruppe amp oldid 208695007