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Leech Gitter In der Mathematik ist das benannt nach John Leech ein 24 dimensionales Gitter das unter anderem zur Konstru

Leech-Gitter

In der Mathematik ist das Leech-Gitter, benannt nach John Leech, ein 24-dimensionales Gitter, das unter anderem zur Konstruktion besonders effizienter Kugelpackungen im 24-dimensionalen Raum verwendet wird.

Möglicherweise wurde es schon 1940 von Ernst Witt entdeckt.

Konstruktion Bearbeiten

Die Knoten des Leech-Gitters sind die Vektoren der Form

mit ganzen Zahlen , für die

gelten soll.

Dabei sind der Reele Zahlenraum in 24 Dimensionen, ist das Zeichen für Äquivalenz und ist die Abkürzung für Modulo.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Leech-Gitter ist bis auf Isomorphie das einzige Gitter im mit den folgenden Eigenschaften:

  • Es ist unimodular, d. h., das Gitter ist ganz, besitzt also eine ganzzahlige Gram-Matrix, und die Determinante dieser Gram-Matrix ist gleich .
  • Es ist gerade, d. h., das Quadrat der Norm jedes Knotens ist eine gerade ganze Zahl.
  • Die Norm jedes von Null verschiedenen Knotens ist mindestens .

Kugelpackung Bearbeiten

Die Kugeln vom Radius um die Knoten des Leech-Gitters bilden eine Kugelpackung, bei der jede Kugel genau 196.560 andere Kugeln berührt.

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko und Maryna Viazovska bewiesen 2016, dass das Leech-Gitter die optimale 24-dimensionale Kugelpackung ist.

Symmetriegruppe Bearbeiten

Die Symmetriegruppe des Leech-Gitters ist die Conway-Gruppe , sie hat 8 315 553 613 086 720 000 Elemente.

Das Leech-Gitter hat keine Spiegelungssymmetrien.

Weblinks Bearbeiten

  • Video: Gauß-Vorlesung von Maryna Viazovska über das Leech-Gitter (auf Englisch).

Literatur Bearbeiten

  • John Leech: Notes on sphere packings In: Canadian Journal of Mathematics, Jg. 19 (1967), S. 251–267.
  • John Conway, Neil Sloane: Sphere packings, lattices and groups. Third edition. With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B. B. Venkov (= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 290). Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 0-387-98585-9.

Populärwissenschaftlich:

  • George Szpiro: Die Keplersche Vermutung. Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Rätsel lösten. Aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern. Springer, Berlin 2011, ISBN 978-3-642-12740-3.
  • Marcus du Sautoy: Finding moonshine. A mathematician’s journey through symmetry. Fourth Estate, London 2008, ISBN 978-0-00-721461-7.
  • Thomas Thompson: From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups (= Carus Mathematical Monographs, Bd. 21). Mathematical Association of America, Buffalo 1983, ISBN 0-88385-023-0; Neuausgabe 2004, ISBN 0-88385-037-0.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Witt erwähnt in Witt, Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Band 14, 1941, S. 323–337, dass er mehr als zehn gerade unimodulare Gitter in 24 Dimensionen fand ohne Näheres mitzuteilen. Im Kommentar zu seinen Gesammelten Abhandlungen (Springer 1998, S. 328–329) gab er an, das Leech-Gitter 1940 gefunden zu haben.
  2. Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska: The sphere packing problem in dimension 24. online (PDF; 335 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist das Leech Gitter benannt nach John Leech ein 24 dimensionales Gitter das unter anderem zur Konstruktion besonders effizienter Kugelpackungen im 24 dimensionalen Raum verwendet wird Moglicherweise wurde es schon 1940 von Ernst Witt entdeckt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 3 Kugelpackung 4 Symmetriegruppe 5 Weblinks 6 Literatur 7 Siehe auch 8 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenDie Knoten des Leech Gitters sind die Vektoren der Form 1 2 2 a 1 a 24 R 24 displaystyle frac 1 2 sqrt 2 a 1 ldots a 24 in mathbb R 24 nbsp mit ganzen Zahlen a 1 a 24 displaystyle a 1 ldots a 24 nbsp fur die a 1 a 2 a 24 4 a 1 4 a 2 4 a 24 mod 8 displaystyle a 1 a 2 cdots a 24 equiv 4a 1 equiv 4a 2 equiv cdots equiv 4a 24 pmod 8 nbsp gelten soll Dabei sind R 24 displaystyle mathbb R 24 nbsp der Reele Zahlenraum in 24 Dimensionen displaystyle equiv nbsp ist das Zeichen fur Aquivalenz und mod displaystyle pmod cdot nbsp ist die Abkurzung fur Modulo Eigenschaften BearbeitenDas Leech Gitter ist bis auf Isomorphie das einzige Gitter im R 24 displaystyle mathbb R 24 nbsp mit den folgenden Eigenschaften Es ist unimodular d h das Gitter ist ganz besitzt also eine ganzzahlige Gram Matrix und die Determinante dieser Gram Matrix ist gleich 1 displaystyle 1 nbsp Es ist gerade d h das Quadrat der Norm jedes Knotens ist eine gerade ganze Zahl Die Norm jedes von Null verschiedenen Knotens ist mindestens 2 displaystyle 2 nbsp Kugelpackung BearbeitenDie Kugeln vom Radius 2 displaystyle sqrt 2 nbsp um die Knoten des Leech Gitters bilden eine Kugelpackung bei der jede Kugel genau 196 560 andere Kugeln beruhrt Henry Cohn Abhinav Kumar Stephen D Miller Danylo Radchenko und Maryna Viazovska bewiesen 2016 dass das Leech Gitter die optimale 24 dimensionale Kugelpackung ist 2 Symmetriegruppe BearbeitenDie Symmetriegruppe des Leech Gitters ist die Conway Gruppe C 0 displaystyle C 0 nbsp sie hat 8 315 553 613 086 720 000 Elemente Das Leech Gitter hat keine Spiegelungssymmetrien Weblinks BearbeitenVideo Gauss Vorlesung von Maryna Viazovska uber das Leech Gitter auf Englisch Literatur BearbeitenJohn Leech Notes on sphere packings In Canadian Journal of Mathematics Jg 19 1967 S 251 267 John Conway Neil Sloane Sphere packings lattices and groups Third edition With additional contributions by E Bannai R E Borcherds J Leech S P Norton A M Odlyzko R A Parker L Queen and B B Venkov Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Bd 290 Springer Verlag New York 1999 ISBN 0 387 98585 9 Popularwissenschaftlich George Szpiro Die Keplersche Vermutung Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Ratsel losten Aus dem Englischen ubersetzt von Manfred Stern Springer Berlin 2011 ISBN 978 3 642 12740 3 Marcus du Sautoy Finding moonshine A mathematician s journey through symmetry Fourth Estate London 2008 ISBN 978 0 00 721461 7 Thomas Thompson From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups Carus Mathematical Monographs Bd 21 Mathematical Association of America Buffalo 1983 ISBN 0 88385 023 0 Neuausgabe 2004 ISBN 0 88385 037 0 Siehe auch BearbeitenErweiterter 24 12 8 2 Golay CodeEinzelnachweise Bearbeiten Witt erwahnt in Witt Eine Identitat zwischen Modulformen zweiten Grades Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg Band 14 1941 S 323 337 dass er mehr als zehn gerade unimodulare Gitter in 24 Dimensionen fand ohne Naheres mitzuteilen Im Kommentar zu seinen Gesammelten Abhandlungen Springer 1998 S 328 329 gab er an das Leech Gitter 1940 gefunden zu haben Henry Cohn Abhinav Kumar Stephen D Miller Danylo Radchenko Maryna Viazovska The sphere packing problem in dimension 24 online PDF 335 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Leech Gitter amp oldid 238772427