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Symplektische Gruppe Die symplektische Gruppe die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt 1 und geht auf das altgr

Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt und geht auf das altgriechische Wort σνμ-πλεκω für zusammenflechten zurück) ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet. Die symplektische Gruppe in Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Für jedes und jeden Körper mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe

mit

wobei die -Einheitsmatrix und die -Nullmatrix bezeichnet.

Für ist eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von ist

Endliche Gruppen Bearbeiten

Ist der Körper endlich mit Elementen, so schreibt man an Stelle von . Man erhält eine endliche Gruppe mit

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus , es hat daher zwei Elemente für ungerades und ist trivial für gerades .

Projektive symplektische Gruppen Bearbeiten

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit Elementen ist

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von und . Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ Cn und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird auch mit bezeichnet.

Kompakte symplektische Gruppe Bearbeiten

Die kompakte symplektische Gruppe ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum definierte Skalarprodukt

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. ist aber die kompakte reelle Form von .

ist eine -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

wobei die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt .

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165
  2. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.
  3. Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups

Weblinks Bearbeiten

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Die symplektische Gruppe die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingefuhrt 1 und geht auf das altgriechische Wort snm plekw fur zusammenflechten zuruck 2 ist ein Begriff aus der Mathematik im Uberlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie Sie ist die Menge der linearen Abbildungen die eine symplektische Form das heisst eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform invariant lassen so wie die orthogonale Gruppe der langentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform invariant lasst Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet Die symplektische Gruppe in 2 n displaystyle 2n Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorraume eine wichtige Rolle Auch die Lie Gruppe S p n displaystyle Sp n wird als kompakte symplektische Gruppe bezeichnet Die doppelte Uberlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Endliche Gruppen 3 Projektive symplektische Gruppen 4 Kompakte symplektische Gruppe 5 Literatur 6 Einzelnachweise 7 WeblinksDefinition BearbeitenFur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp und jeden Korper K displaystyle K nbsp mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe S p 2 n K displaystyle Sp 2n K nbsp eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe G L 2 n K displaystyle mathrm GL 2n K nbsp S p 2 n K T G L 2 n K T T I n T I n displaystyle Sp 2n K colon left T in GL 2n K mid T text T I n T I n right nbsp mit I n 0 E n E n 0 displaystyle I n begin pmatrix 0 amp E n E n amp 0 end pmatrix nbsp wobei E n displaystyle E n nbsp die n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix und 0 displaystyle 0 nbsp die n n displaystyle n times n nbsp Nullmatrix bezeichnet Fur K R C H displaystyle K in left mathbb R mathbb C mathbb H right nbsp ist S p n K displaystyle Sp n K nbsp eine Lie Gruppe und die Lie Algebra von S p 2 n K displaystyle mathrm Sp 2n K nbsp ist s p 2 n K A M a t 2 n K I n A A T I n 0 displaystyle mathfrak sp 2n K left A in mathrm Mat 2n K I n A A T I n 0 right nbsp Endliche Gruppen BearbeitenIst der Korper K displaystyle K nbsp endlich mit q displaystyle q nbsp Elementen so schreibt man S p 2 n q displaystyle mathrm Sp 2n q nbsp an Stelle von S p 2 n K displaystyle mathrm Sp 2n K nbsp Man erhalt eine endliche Gruppe mit o r d S p 2 n q q n 2 i 1 n q 2 i 1 displaystyle mathrm ord Sp 2n q q n 2 prod i 1 n q 2i 1 nbsp Elementen Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus i d K n displaystyle pm mathrm id K n nbsp es hat daher zwei Elemente fur ungerades q displaystyle q nbsp und ist trivial fur gerades q displaystyle q nbsp Projektive symplektische Gruppen BearbeitenDie Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heissen projektive symplektische Gruppen und werden mit P S p 2 n K displaystyle PSp 2n K nbsp bezeichnet Im Falle eines endlichen Korpers mit q displaystyle q nbsp Elementen ist o r d P S p 2 n q q n 2 g g T 2 q 1 i 1 n q 2 i 1 displaystyle mathrm ord PSp 2n q frac q n 2 mathrm ggT 2 q 1 prod i 1 n q 2i 1 nbsp und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von P S p 2 2 P S p 2 3 displaystyle PSp 2 2 PSp 2 3 nbsp und P S p 4 2 displaystyle PSp 4 2 nbsp 3 Man erhalt damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie Typ Cn und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie Typ Daher wird P S p 2 n q displaystyle PSp 2n q nbsp auch mit C n q displaystyle C n q nbsp bezeichnet Kompakte symplektische Gruppe BearbeitenDie kompakte symplektische Gruppe S p n displaystyle Sp n nbsp ist die Gruppe der invertierbaren quaternionisch linearen Abbildungen die das auf dem n dimensionalen quaternionischen Vektorraum H n displaystyle mathbb H n nbsp definierte Skalarprodukt x y x 1 y 1 x n y n displaystyle langle x y rangle bar x 1 y 1 cdots bar x n y n nbsp erhalten Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes S p n displaystyle Sp n nbsp ist aber die kompakte reelle Form von S p 2 n C displaystyle Sp 2n mathbb C nbsp S p n displaystyle Sp n nbsp ist eine n 2 n 1 displaystyle n 2n 1 nbsp dimensionale kompakte Lie Gruppe und einfach zusammenhangend Ihre Lie Algebra ist s p n A M a t n H A A 0 displaystyle mathfrak sp n left A in mathrm Mat n mathbb H A A dagger 0 right nbsp wobei A displaystyle A dagger nbsp die quaternionisch konjugiert transponierte Matrix bezeichnet Es gilt S p n U 2 n S p 2 n C displaystyle Sp n U 2n cap Sp 2n mathbb C nbsp Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie Gruppen gemeint Literatur BearbeitenVladimir L Popov Symplectic group In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Einzelnachweise Bearbeiten Hermann Weyl The Classical Groups Princeton 1939 Fussnote S 165 Wilhelm Pape Handworterbuch der griechischen Sprache Bd 2 S 1000 Vieweg amp Sohn Braunschweig 1914 Roger W Carter Simple Groups of Lie Type John Wiley amp Sons 1972 ISBN 0 471 13735 9 Kapitel 1 3 The Symplectic GroupsWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Symplectic Group In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symplektische Gruppe amp oldid 221007675