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Dieser Artikel behandelt den Begriff im mathematischen Sinne Fur die biologische Bedeutung siehe Wurzel Pflanze Wurzelsysteme dienen in der Mathematik als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen und der endlichdimensionalen halbeinfachen komplexen Lie Algebren Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Skalarprodukt 3 Weylgruppe 4 Positive Wurzeln Einfache Wurzeln 5 Beispiele 6 Klassifikation 6 1 Nicht reduzierte Wurzelsysteme 7 Weitere Anwendungen 7 1 Lie Algebren 7 1 1 Eigenschaften 7 1 2 Beispiel 7 2 Spiegelungsgruppen 7 3 Singularitaten 8 Weblinks 9 LiteraturDefinitionen BearbeitenEine Teilmenge R displaystyle R nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp der Charakteristik 0 heisst Wurzelsystem falls sie die folgenden Bedingungen erfullt R displaystyle R nbsp ist endlich R displaystyle R nbsp ist ein lineares Erzeugendensystem von V displaystyle V nbsp Zu jedem a R displaystyle alpha in R nbsp gibt es eine eindeutige Linearform a V displaystyle alpha vee in V nbsp mit den Eigenschaften Fur b R displaystyle beta in R nbsp ist a b Z displaystyle alpha vee beta in mathbb Z nbsp a a 2 displaystyle alpha vee alpha 2 nbsp Die lineare Abbildung s a V V displaystyle s alpha colon V to V nbsp mit s a x x a x a displaystyle s alpha x x alpha vee x cdot alpha nbsp bildet R displaystyle R nbsp auf R displaystyle R nbsp ab Die a R displaystyle alpha in R nbsp heissen Wurzeln Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor falls zusatzlich gilt 4 Sind zwei Wurzeln a b displaystyle alpha beta nbsp linear abhangig so gilt a b displaystyle alpha pm beta nbsp Die Linearform a displaystyle alpha vee nbsp wird die Kowurzel zu a displaystyle alpha nbsp genannt die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im Dualraum V displaystyle V nbsp bilden Die Abbildung s a displaystyle s alpha nbsp ist eine Spiegelung und naturlich ebenfalls eindeutig bestimmt Sind a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp zwei Wurzeln mit a b 0 displaystyle alpha vee beta 0 nbsp so kann man zeigen dass auch b a 0 displaystyle beta vee alpha 0 nbsp gilt und man nennt a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp orthogonal zueinander Kann man das Wurzelsystem derart als Vereinigung R R 1 R 2 displaystyle R R 1 cup R 2 nbsp zweier nicht leerer Teilmengen schreiben dass jede Wurzel in R 1 displaystyle R 1 nbsp orthogonal zu jeder Wurzel in R 2 displaystyle R 2 nbsp ist so heisst das Wurzelsystem reduzibel In diesem Fall lasst sich auch V displaystyle V nbsp in eine direkte Summe V 1 V 2 displaystyle V 1 oplus V 2 nbsp zerlegen so dass R 1 V 1 displaystyle R 1 subseteq V 1 nbsp und R 2 V 2 displaystyle R 2 subseteq V 2 nbsp Wurzelsysteme sind Ist hingegen ein nicht leeres Wurzelsystem nicht reduzibel so heisst es irreduzibel Die Dimension des Vektorraums V displaystyle V nbsp heisst Rang des Wurzelsystems Eine Teilmenge P displaystyle Pi nbsp eines Wurzelsystems R displaystyle R nbsp heisst Basis falls P displaystyle Pi nbsp eine Basis von V displaystyle V nbsp ist und jedes Element von R displaystyle R nbsp als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von P displaystyle Pi nbsp mit ausschliesslich positiven oder ausschliesslich negativen Koeffizienten dargestellt werden kann Zwei Wurzelsysteme R V displaystyle R subset V nbsp und R V displaystyle R subset V nbsp sind genau dann zueinander isomorph wenn es einen Vektorraumisomorphismus f V V displaystyle varphi colon V to V nbsp mit f R R displaystyle varphi R R nbsp gibt Skalarprodukt BearbeitenMan kann auf V displaystyle V nbsp ein Skalarprodukt definieren bezuglich welchem die Abbildungen s a displaystyle s alpha nbsp Spiegelungen sind Im reduziblen Fall kann man dieses aus Skalarprodukten auf den Komponenten zusammensetzen Falls jedoch R displaystyle R nbsp irreduzibel ist so ist dieses Skalarprodukt sogar bis auf einen Faktor eindeutig Man kann dieses noch so normieren dass die kurzesten Wurzeln die Lange 1 haben Man kann also im Prinzip davon ausgehen dass ein Wurzelsystem in einem K n displaystyle K n nbsp meist R n displaystyle mathbb R n nbsp mit dessen Standardskalarprodukt lebt Die Ganzzahligkeit von a b displaystyle alpha vee beta nbsp und b a displaystyle beta vee alpha nbsp bedeutet dann eine erhebliche Einschrankung fur die moglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp Es ergibt sich namlich aus a b a a b b cos a b displaystyle langle alpha beta rangle sqrt langle alpha alpha rangle langle beta beta rangle cdot cos measuredangle alpha beta nbsp dass 4 cos 2 a b displaystyle 4 cos 2 measuredangle alpha beta nbsp ganzzahlig sein muss Dies ist wiederum nur fur die Winkel 0 30 45 60 90 120 135 150 180 der Fall Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur die Winkel 90 120 135 150 moglich All diese Winkel treten tatsachlich auf vgl die Beispiele vom Rang 2 Weiter ergibt sich dass auch fur das Langenverhaltnis zweier Wurzeln in derselben irreduziblen Komponente nur wenige Werte moglich sind Weylgruppe BearbeitenDie Untergruppe der Automorphismengruppe von V displaystyle V nbsp die von der Menge der Reflexionen s a a R displaystyle s alpha alpha in R nbsp erzeugt wird heisst Weylgruppe nach Hermann Weyl und wird im Allgemeinen mit W displaystyle W nbsp bezeichnet Bezuglich des definierten Skalarproduktes sind alle Elemente der Weylgruppe orthogonal die s a displaystyle s alpha nbsp sind Spiegelungen Die Gruppe W displaystyle W nbsp operiert treu auf R displaystyle R nbsp und ist daher immer endlich Ferner operiert W displaystyle W nbsp transitiv auf der Menge der Basen von R displaystyle R nbsp Im Fall K R displaystyle K mathbb R nbsp zerlegen die Spiegelungsebenen der s a displaystyle s alpha nbsp den Raum jeweils in Halbraume insgesamt in mehrere offene konvexe Teilmengen die sogenannten Weylkammern Auch auf diesen operiert W displaystyle W nbsp transitiv Positive Wurzeln Einfache Wurzeln BearbeitenNach Wahl einer Weyl Kammer a displaystyle mathfrak a nbsp kann man die Menge der positiven Wurzeln genannt die fundamentale Weyl Kammer definieren durch R a R a x gt 0 x a displaystyle R left alpha in R alpha vee x gt 0 forall x in mathfrak a right nbsp Dies definiert eine Anordnung auf R displaystyle R nbsp durch a gt b a b Z 0 R displaystyle alpha gt beta Longleftrightarrow alpha beta in mathbb Z geq 0 R nbsp Die positiven bzw negativen Wurzeln sind also diejenigen mit a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp bzw a lt 0 displaystyle alpha lt 0 nbsp Man beachte dass diese Definition von der Wahl der Weyl Kammer abhangt Zu jeder Weyl Kammer erhalt man eine Anordnung Eine einfache Wurzel ist eine positive Wurzel die sich nicht als Summe mehrerer positiver Wurzeln zerlegen lasst Die einfachen Wurzeln bilden eine Basis von V displaystyle V nbsp Jede positive negative Wurzel lasst sich als Linearkombination einfacher Wurzeln mit nichtnegativen nichtpositiven Koeffizienten zerlegen Beispiele BearbeitenDie leere Menge ist das einzige Wurzelsystem vom Rang 0 und ist auch das einzige Wurzelsystem das weder reduzibel noch irreduzibel ist Es gibt bis auf Isomorphie nur ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 1 Es besteht aus zwei von 0 verschiedenen Wurzeln a a displaystyle alpha alpha nbsp und wird mit A 1 displaystyle A 1 nbsp bezeichnet Betrachtet man auch nicht reduzierte Wurzelsysteme so ist 2 a a a 2 a displaystyle 2 alpha alpha alpha 2 alpha nbsp das einzige weitere Beispiel von Rang 1 Alle reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2 haben bis auf Isomorphie eine der folgenden Formen a b displaystyle alpha beta nbsp ist jeweils eine Basis des Wurzelsystems nbsp nbsp Wurzelsystem A1 A1 Wurzelsystem A2 nbsp nbsp Wurzelsystem B2 Wurzelsystem G2reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2Im ersten Beispiel A 1 A 1 displaystyle A 1 times A 1 nbsp ist das Verhaltnis der Langen von a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp beliebig in den anderen Fallen dagegen durch die geometrischen Gegebenheiten eindeutig bestimmt Klassifikation BearbeitenBis auf Isomorphie ist samtliche Information uber ein reduziertes Wurzelsystem R displaystyle R nbsp in seiner Cartan Matrix C R b a a b P displaystyle C R beta vee alpha alpha beta in Pi nbsp enthalten Man kann dies auch in Form eines Dynkin Diagramms darstellen Dazu setzt man fur jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte a und b durch Striche deren Anzahl durch b a a b displaystyle beta vee alpha alpha vee beta nbsp bestimmt wird Sind dies mehr als einer so setzt man zusatzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen gt bzw lt d h einen Pfeil in Richtung der kurzeren Wurzel Die Zusammenhangskomponenten des Dynkin Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems Als Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems konnen nur auftreten nbsp Der Index n displaystyle n nbsp gibt hierbei jeweils den Rang und damit die Anzahl der Punkte im Diagramm an Aus den Dynkin Diagrammen kann man mehrere Identitaten fur Falle kleineren Ranges ablesen namlich A 1 B 1 C 1 displaystyle A 1 B 1 C 1 nbsp B 2 C 2 displaystyle B 2 C 2 nbsp A 3 D 3 displaystyle A 3 D 3 nbsp Deshalb bildet beispielsweise B displaystyle B nbsp erst ab n 2 displaystyle n 2 nbsp und D displaystyle D nbsp erst ab n 4 displaystyle n 4 nbsp eine eigenstandige Klasse Die zu den Serien A n displaystyle A n nbsp bis D n displaystyle D n nbsp gehorenden Wurzelsysteme werden auch als klassische Wurzelsysteme bezeichnet die ubrigen funf als exzeptionelle oder Ausnahme Wurzelsysteme Alle genannten Wurzelsysteme treten beispielsweise auch auf als Wurzelsystem halbeinfacher komplexer Lie Algebren Nicht reduzierte Wurzelsysteme Bearbeiten Fur irreduzible nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Moglichkeiten die gedacht werden konnen als die Vereinigung eines B n displaystyle B n nbsp mit einem C n displaystyle C n nbsp mit n 1 displaystyle n geq 1 nbsp bzw als ein B n displaystyle B n nbsp bei dem fur jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde Weitere Anwendungen BearbeitenLie Algebren Bearbeiten Es sei g displaystyle mathfrak g nbsp eine endlich dimensionale halbeinfache Lie Algebra und a g displaystyle mathfrak a subset mathfrak g nbsp eine Cartan Unteralgebra Dann heisst a a displaystyle alpha in mathfrak a nbsp eine Wurzel wenn g a Y g X Y a X Y X a 0 displaystyle mathfrak g alpha left Y in mathfrak g left X Y right alpha vee X Y forall X in mathfrak a right not left 0 right nbsp ist Hierbei ist a a displaystyle alpha vee in mathfrak a nbsp die mittels der Killing Form B displaystyle B nbsp durch a X 2 B a X B a a X a displaystyle alpha vee X 2 frac B alpha X B alpha alpha forall X in mathfrak a nbsp definierte lineare Abbildung Sei R a displaystyle R subset mathfrak a nbsp die Menge der Wurzeln dann kann man zeigen dass a R displaystyle mathfrak a R nbsp ein Wurzelsystem ist Eigenschaften Bearbeiten Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften a R a a a a R a R displaystyle mathfrak a mathbb R left a in mathfrak a alpha vee a in mathbb R forall alpha in R right nbsp ist eine reelle Form von a displaystyle mathfrak a nbsp Fur a R displaystyle alpha in R nbsp gilt n a R displaystyle n alpha in R nbsp genau dann wenn n 1 displaystyle n pm 1 nbsp Fur alle a R displaystyle alpha in R nbsp ist dim g a 1 displaystyle operatorname dim mathfrak g alpha 1 nbsp Fur alle a b R displaystyle alpha beta in R nbsp ist g a b g a g b displaystyle mathfrak g alpha beta left mathfrak g alpha mathfrak g beta right nbsp insbesondere g a g a a displaystyle left mathfrak g alpha mathfrak g alpha right subset mathfrak a nbsp g a g a g a g a displaystyle mathfrak g alpha mathfrak g alpha left mathfrak g alpha mathfrak g alpha right nbsp spannen eine zur Lie Algebra sl 2 C isomorphe Lie Algebra auf Fur a b displaystyle alpha not pm beta nbsp ist B g a g b 0 displaystyle B mathfrak g alpha mathfrak g beta 0 nbsp d h die Wurzelraume sind bzgl der Killing Form orthogonal Die Einschrankung der Killing Form auf a displaystyle mathfrak a nbsp und g a g a displaystyle mathfrak g alpha oplus mathfrak g alpha nbsp ist nicht entartet Die Einschrankung der Killing Form auf a R displaystyle mathfrak a mathbb R nbsp ist reell und positiv definit Endlich dimensionale halbeinfache komplexe Lie Algebren werden durch ihre Wurzelsysteme also durch ihre Dynkin Diagramme klassifiziert Beispiel Bearbeiten Es sei g s l n R displaystyle mathfrak g sl n mathbb R nbsp Die Killing Form ist B X Y 2 n T r X Y displaystyle B X Y 2nTr XY nbsp eine Cartan Unteralgebra a displaystyle mathfrak a nbsp ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0 also a diag l 1 l n l 1 l n 0 displaystyle mathfrak a left operatorname diag lambda 1 ldots lambda n lambda 1 ldots lambda n 0 right nbsp Wir bezeichnen mit e i displaystyle e i nbsp die Diagonalmatrix mit i displaystyle i nbsp tem Diagonaleintrag l i 1 displaystyle lambda i 1 nbsp und den anderen Diagonaleintragen gleich 0 Das Wurzelsystem von a displaystyle mathfrak a nbsp ist R e i e j 1 i j n displaystyle R left e i e j 1 leq i not j leq n right nbsp Die zu a e i e j displaystyle alpha e i e j nbsp duale Form a a displaystyle alpha vee in mathfrak a nbsp ist a diag l 1 l n l i l j displaystyle alpha vee operatorname diag lambda 1 ldots lambda n lambda i lambda j nbsp Als positive Weyl Kammer kann man a diag l 1 l n l 1 gt gt l n l 1 l n 0 displaystyle mathfrak a left operatorname diag lambda 1 ldots lambda n lambda 1 gt ldots gt lambda n lambda 1 ldots lambda n 0 right nbsp wahlen Die positiven Wurzeln sind dann R e i e j 1 i lt j n displaystyle R left e i e j 1 leq i lt j leq n right nbsp Die einfachen Wurzeln sind e i e i 1 1 i n 1 displaystyle left e i e i 1 1 leq i leq n 1 right nbsp Spiegelungsgruppen Bearbeiten Eine Coxeter Gruppe ist abstrakt definiert als Gruppe mit Prasentation r 1 r 2 r n r i r j m i j 1 displaystyle left langle r 1 r 2 ldots r n mid r i r j m ij 1 right rangle nbsp mit m i i 1 displaystyle m ii 1 nbsp und m i j 2 displaystyle m ij geq 2 nbsp fur i j displaystyle i neq j nbsp sowie der Konvention m i j displaystyle m ij infty nbsp falls r i r j displaystyle r i r j nbsp unendliche Ordnung hat d h es keine Relation der Form r i r j m displaystyle r i r j m nbsp gibt Coxeter Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der Spiegelungsgruppe Jeder Coxeter Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin Diagramm Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern r 1 r 2 r n displaystyle r 1 r 2 ldots r n nbsp Die r i displaystyle r i nbsp und r j displaystyle r j nbsp entsprechenden Punkte werden durch m i j displaystyle m ij nbsp Kanten verbunden Singularitaten Bearbeiten Nach Wladimir Arnold lassen sich Elementare Katastrophen durch Dynkin Diagramme vom Typ ADE klassifizieren A 0 displaystyle A 0 nbsp ein nicht singularer Punkt V x displaystyle V x nbsp A 1 displaystyle A 1 nbsp ein lokales Extremum entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum V x 2 a x displaystyle V pm x 2 ax nbsp A 2 displaystyle A 2 nbsp die Faltung fold A 3 displaystyle A 3 nbsp die Spitze cusp A 4 displaystyle A 4 nbsp der Schwalbenschwanz swallowtail A 5 displaystyle A 5 nbsp der Schmetterling butterfly A k displaystyle A k nbsp eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen V x k 1 displaystyle V x k 1 cdots nbsp D 4 displaystyle D 4 nbsp die elliptische umbilische Katastrophe D 4 displaystyle D 4 nbsp die hyperbolische umbilische Katastrophe D 5 displaystyle D 5 nbsp die parabolische umbilische Katastrophe D k displaystyle D k nbsp eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen E 6 displaystyle E 6 nbsp die umbilische Katastrophe V x 3 y 4 a x y 2 b x y c x d y displaystyle V x 3 y 4 axy 2 bxy cx dy nbsp E 7 displaystyle E 7 nbsp E 8 displaystyle E 8 nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Wurzelsystem Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wikibooks Ausfuhrlicher Beweis der Klassifikation Lern und LehrmaterialienLiteratur BearbeitenJean Pierre Serre Complex Semisimple Lie Algebras Springer Berlin 2001 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wurzelsystem amp oldid 234000657