In der Mathematik ist die Weyl Kammer benannt nach Hermann Weyl ein Begriff aus der Theorie der Lie Gruppen Weyl Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benotigt ausserdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebaude Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Wirkung der Weyl Gruppe 3 Weyl Kammern in symmetrischen Raumen 4 Beispiel 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenSei g displaystyle mathfrak g nbsp eine endlichdimensionale halbeinfache Lie Algebra a g displaystyle mathfrak a subset mathfrak g nbsp eine Cartan Unteralgebra und a R displaystyle mathfrak a R nbsp das zugehorige Wurzelsystem Fur eine Wurzel a R a displaystyle alpha in R subset mathfrak a nbsp bezeichne E a x a a x 0 a displaystyle E alpha left x in mathfrak a alpha vee x 0 right subset mathfrak a nbsp die zugehorige Hyperebene in a displaystyle mathfrak a nbsp Dann heissen die Zusammenhangskomponenten von a a R E a displaystyle mathfrak a setminus cup alpha in R E alpha nbsp die Weyl Kammern des Wurzelsystems Wirkung der Weyl Gruppe BearbeitenDie Weyl Gruppe von g displaystyle mathfrak g nbsp wirkt auf a displaystyle mathfrak a nbsp und permutiert die Menge der Weyl Kammern d h die Wirkung der Weyl Gruppe auf der Menge der Weyl Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl Kammern ist die Kardinalitat der Weyl Gruppe Der Abschluss einer Weyl Kammer ist ein Fundamentalbereich fur die Wirkung der Weyl Gruppe auf a displaystyle mathfrak a nbsp Weyl Kammern in symmetrischen Raumen BearbeitenEs sei X G K displaystyle X G K nbsp ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ Dann sind alle x displaystyle x nbsp enthaltenden Flachs F X displaystyle F subset X nbsp von der Form F e x p x a displaystyle F exp x mathfrak a nbsp fur eine abelsche Unteralgebra a p displaystyle mathfrak a subset mathfrak p nbsp Hier ist e x p x p X displaystyle exp x colon mathfrak p to X nbsp die Exponentialabbildung in x X displaystyle x in X nbsp und g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k oplus mathfrak p nbsp die Cartan Zerlegung Insbesondere lasst sich der Begriff der Weyl Kammern auf Flachs in symmetrischen Raumen ubertragen Weyl Kammern in F displaystyle F nbsp sind per Definition die Bilder der Weyl Kammern in a displaystyle mathfrak a nbsp unter der Exponentialabbildung Beispiel Bearbeiten nbsp Wurzelsystem A2Es sei g s l 3 R A Mat 3 R Spur A 0 displaystyle mathfrak g sl 3 mathbb R left A in operatorname Mat 3 mathbb R operatorname Spur A 0 right nbsp und a diag l 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 0 displaystyle mathfrak a left operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 1 lambda 2 lambda 3 0 right nbsp Das zugehorige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln a 1 diag 1 1 0 displaystyle alpha 1 operatorname diag 1 1 0 nbsp a 2 diag 1 0 1 displaystyle alpha 2 operatorname diag 1 0 1 nbsp a 3 diag 0 1 1 displaystyle alpha 3 operatorname diag 0 1 1 nbsp a 4 diag 1 1 0 displaystyle alpha 4 operatorname diag 1 1 0 nbsp a 5 diag 1 0 1 displaystyle alpha 5 operatorname diag 1 0 1 nbsp a 6 diag 0 1 1 displaystyle alpha 6 operatorname diag 0 1 1 nbsp entsprechend a 1 diag l 1 l 2 l 3 l 1 l 2 displaystyle alpha 1 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 1 lambda 2 nbsp a 2 diag l 1 l 2 l 3 l 1 l 3 displaystyle alpha 2 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 1 lambda 3 nbsp a 3 diag l 1 l 2 l 3 l 2 l 3 displaystyle alpha 3 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 2 lambda 3 nbsp a 4 diag l 1 l 2 l 3 l 2 l 1 displaystyle alpha 4 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 2 lambda 1 nbsp a 5 diag l 1 l 2 l 3 l 3 l 1 displaystyle alpha 5 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 3 lambda 1 nbsp a 6 diag l 1 l 2 l 3 l 3 l 2 displaystyle alpha 6 vee operatorname diag lambda 1 lambda 2 lambda 3 lambda 3 lambda 2 nbsp Die E a displaystyle E alpha nbsp sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum a displaystyle alpha nbsp sie zerlegen a displaystyle alpha nbsp in sechs Weyl Kammern Die Weyl Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe S 3 displaystyle S 3 nbsp sie permutiert die sechs Weyl Kammern Literatur BearbeitenArmand Borel Linear algebraic groups W A Benjamin New York Amsterdam 1969 Alexander Kirillov Jr An introduction to Lie groups and Lie algebras In Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113 Cambridge University Press Cambridge 2008 ISBN 978 0 521 88969 8 Ira Gessel Doron Zeilberger Random walk in a Weyl chamber JSTOR 2159560Weblinks BearbeitenJohn Dusel Root Systems PDF Raphael Rouquier Weyl groups affine Weyl groups and reflection groups PDF 136 kB Allen Knutson Weyl groups and Weyl chambers Weyl Chamber Planet Math Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weyl Kammer amp oldid 223053494
