In der Mathematik speziell in der Theorie der Lie Algebren werden Cartan Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie Algebren und in der Theorie der symmetrischen Raume verwendet Der Rang einer Lie Algebra oder der zugehorigen Lie Gruppe ist definiert als die Dimension der Cartan Unteralgebra Ein Beispiel einer Cartan Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Existenz und Eindeutigkeit 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei g displaystyle mathfrak g nbsp eine Lie Algebra Eine Unteralgebra a g displaystyle mathfrak a subset mathfrak g nbsp ist eine Cartan Unteralgebra wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist das heisst wenn a a a a n 0 displaystyle underbrace mathfrak a mathfrak a dotsb mathfrak a mathfrak a n dotsb 0 nbsp fur ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp und Y a X a X Y a displaystyle forall Y not in mathfrak a exists X in mathfrak a left X Y right not in mathfrak a nbsp gilt Beispiele BearbeitenEine Cartan Unteralgebra von g s l n C A M a t n C S p u r A 0 displaystyle mathfrak g mathfrak sl n mathbb C left A in mathrm Mat n mathbb C mathrm Spur A 0 right nbsp ist die Algebra der Diagonalmatrizen a 0 d i a g l 1 l n l 1 l n 0 displaystyle mathfrak a 0 left mathrm diag lambda 1 ldots lambda n lambda 1 ldots lambda n 0 right nbsp Jede Cartan Unteralgebra a s l n C displaystyle mathfrak a subset mathfrak sl n mathbb C nbsp ist zu a 0 displaystyle mathfrak a 0 nbsp konjugiert Dagegen hat s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R nbsp zwei nicht konjugierte Cartan Unteralgebren namlich a 1 R 1 0 0 1 displaystyle mathfrak a 1 mathbb R left begin array cc 1 amp 0 0 amp 1 end array right nbsp und a 2 R 0 1 1 0 displaystyle mathfrak a 2 mathbb R left begin array cc 0 amp 1 1 amp 0 end array right nbsp Existenz und Eindeutigkeit BearbeitenEine endlich dimensionale Lie Algebra uber einem unendlichen Korper besitzt stets eine Cartan Unteralgebra Fur eine endlich dimensionale Lie Algebra uber einem Korper mit Charakteristik 0 displaystyle 0 nbsp gilt dass alle Cartan Unteralgebren dieselbe Dimension haben Fur eine endlich dimensionale Lie Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper sind alle Cartan Unteralgebren zueinander konjugiert und zwar unter der Gruppe welche von den Automorphismen exp a d X displaystyle exp mathrm ad X nbsp erzeugt wird fur X displaystyle X nbsp in der Lie Algebra und a d X displaystyle mathrm ad X nbsp nilpotent Eigenschaften BearbeitenWenn g displaystyle mathfrak g nbsp eine halbeinfache Lie Algebra uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper ist dann ist jede Cartan Unteralgebra a g displaystyle mathfrak a subset mathfrak g nbsp abelsch und die Einschrankung der adjungierten Darstellung a d g g l g displaystyle mathrm ad colon mathfrak g to mathfrak gl mathfrak g nbsp auf a displaystyle mathfrak a nbsp ist simultan diagonalisierbar mit a displaystyle mathfrak a nbsp als Eigenraum zum Gewicht 0 displaystyle 0 nbsp Das heisst es gibt eine Zerlegung g a a a g a displaystyle mathfrak g mathfrak a oplus bigoplus alpha in mathfrak a mathfrak g alpha nbsp mit a d X Y X Y a X Y X a Y g a displaystyle mathrm ad X Y left X Y right alpha X Y quad forall X in mathfrak a Y in mathfrak g alpha nbsp und g a 0 a X 0 X a displaystyle mathfrak g alpha not 0 Longrightarrow alpha X not 0 quad forall X in mathfrak a nbsp Im Beispiel g s l n C A M a t n C S p u r A 0 displaystyle mathfrak g mathfrak sl n mathbb C left A in mathrm Mat n mathbb C mathrm Spur A 0 right nbsp a d i a g l 1 l n l 1 l n 0 displaystyle mathfrak a left mathrm diag lambda 1 ldots lambda n lambda 1 ldots lambda n 0 right nbsp ist wenn e i j displaystyle e ij nbsp die Elementarmatrix mit Eintrag 1 displaystyle 1 nbsp an der Stelle i j displaystyle i j nbsp und Eintragen 0 displaystyle 0 nbsp sonst bezeichnet g a i j C e i j a a a g a displaystyle mathfrak g mathfrak a oplus bigoplus i not j mathbb C e ij mathfrak a oplus bigoplus alpha in mathfrak a mathfrak g alpha nbsp mit C e i j g a displaystyle mathbb C e ij mathfrak g alpha nbsp fur a l 1 l n l i l j displaystyle alpha lambda 1 ldots lambda n lambda i lambda j nbsp Literatur BearbeitenElie Cartan Sur la structure des groupes de transformations finis et continus These Paris 1894 Anthony W Knapp Lie groups beyond an introduction Progress in Mathematics 140 Second edition Birkhauser Boston MA 2002 ISBN 0 8176 4259 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cartan Unteralgebra amp oldid 183548937
