Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra Er bezeichnet die lineare Hulle der Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus Die Eigenvektoren zusammen mit dem Nullvektor spannen damit einen Untervektorraum auf Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum Hat ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 1 so sind fur diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geometrische Vielfachheit 3 Eigenschaften 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp und f End V displaystyle varphi in operatorname End V nbsp ein Endomorphismus das heisst eine lineare Abbildung f V V displaystyle varphi colon V to V nbsp Der Eigenraum E l displaystyle E lambda nbsp zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp von f displaystyle varphi nbsp ist dann E l Kern f l id V x V f x l x x V x 0 f x l x 0 displaystyle begin aligned E lambda amp operatorname Kern varphi lambda operatorname id V amp left x in V mid varphi x lambda x right amp left x in V mid x neq 0 varphi x lambda x right cup left 0 right end aligned nbsp Dabei bezeichnet id V displaystyle operatorname id V nbsp die Identitatsabbildung auf V displaystyle V nbsp Man sagt dann auch E l V displaystyle E left lambda right subseteq V nbsp ist invariant bezuglich des Endomorphismus f displaystyle varphi nbsp oder E l displaystyle E left lambda right nbsp ist ein f displaystyle varphi nbsp invarianter Untervektorraum von V displaystyle V nbsp Die Elemente x displaystyle x nbsp von E l displaystyle E left lambda right nbsp sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp von f displaystyle varphi nbsp sowie der Nullvektor Geometrische Vielfachheit BearbeitenDie Dimension des Eigenraums E l displaystyle E left lambda right nbsp wird als geometrische Vielfachheit von l displaystyle lambda nbsp bezeichnet Sie ist dabei stets mindestens 1 und hochstens gleich der algebraischen Vielfachheit von l displaystyle lambda nbsp Wenn die Dimension des Eigenraums E l displaystyle E left lambda right nbsp grosser als 1 ist wird der Eigenwert entartet genannt anderenfalls heisst er nichtentartet Eigenschaften BearbeitenExistiert ein Eigenwert l 0 displaystyle lambda 0 nbsp von f displaystyle varphi nbsp so ist der zugehorige Eigenraum E l displaystyle E left lambda right nbsp gleich dem Kern von f displaystyle varphi nbsp Denn Kern f x V f x 0 displaystyle operatorname Kern left varphi right left x in V mid varphi left x right 0 right nbsp und nach Definition des Eigenraumes E 0 x V f x 0 x 0 displaystyle E left 0 right left x in V mid varphi left x right 0x 0 right nbsp Die Summe von Eigenraumen zu n displaystyle n nbsp paarweise verschiedenen Eigenwerten l 1 l n displaystyle lambda 1 dotsc lambda n nbsp von f displaystyle varphi nbsp ist direkt E l 1 E l n E l 1 E l n displaystyle E lambda 1 dots E lambda n E lambda 1 oplus dots oplus E lambda n nbsp dd Gilt im obigen Fall E l 1 E l n V displaystyle E lambda 1 dots E lambda n V nbsp so besitzt V displaystyle V nbsp eine Basis aus Eigenvektoren von f displaystyle varphi nbsp In diesem Fall ist jede Darstellungsmatrix A displaystyle A nbsp von f End V displaystyle varphi in operatorname End left V right nbsp bezuglich einer Basis von V displaystyle V nbsp diagonalisierbar das heisst die Darstellungsmatrix A displaystyle A nbsp von f displaystyle varphi nbsp bezuglich einer Basis von V displaystyle V nbsp aus Eigenvektoren von f displaystyle varphi nbsp hat Diagonalgestalt In der Hauptdiagonale von A displaystyle A nbsp stehen dann die Eigenwerte von f displaystyle varphi nbsp A l 1 0 0 0 0 0 0 l n displaystyle A begin pmatrix lambda 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp ddots amp ddots amp 0 0 amp cdots amp 0 amp lambda n end pmatrix nbsp dd Ist V displaystyle V nbsp ein Prahilbertraum und f End V displaystyle varphi in operatorname End V nbsp selbstadjungiert so sind die Eigenraume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 17 aktualisierte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 0996 4 Studium Grundkurs Mathematik Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eigenraum amp oldid 228941663
