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Flach Geometrie In der Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs engl flats bezeich

Flach (Geometrie)

In der Mathematik werden flache Unterräume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs (engl.: flats) bezeichnet. Der Begriff ist besonders in der Theorie nichtpositiver Krümmung und speziell in der Theorie symmetrischer Räume von Bedeutung.

Definition Bearbeiten

Es sei eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine -dimensionale total-geodätische Untermannigfaltigkeit ist ein r-Flach, wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum ist. Daraus folgt insbesondere, dass die Schnittkrümmung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist.

Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhängende, total-geodätische Untermannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung konstant Null ist.

Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit werden als maximale Flachs in bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

Im euklidischen Raum sind die affinen Unterräume die einzigen Flachs. Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrümmung (z. B. Kreiszylinder im ), aber diese sind nicht einfach zusammenhängend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum.

In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung sind die Geodäten (1-dimensionale Flachs) bereits die maximalen Flachs, da 2-dimensionale Flachs verschwindende Krümmung hätten.

Flachs in symmetrischen Räumen Bearbeiten

Es sei ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang , und seine Cartan-Zerlegung. Für sei die Exponentialabbildung in .

Dann sind alle enthaltenden -Flachs von der Form

für eine maximal abelsche Unteralgebra .

(Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen.)

Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs und je zwei Punkten eine Isometrie mit

Der Rang eines symmetrischen Raumes ist (per Definition) die Dimension eines maximalen Flachs.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Sigurdur Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
  • Patrick Eberlein: Geometry of nonpositively curved manifolds. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1996. ISBN 0-226-18197-9; 0-226-18198-7
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In der Mathematik werden flache Unterraume Riemannscher Mannigfaltigkeiten als Flachs engl flats bezeichnet Der Begriff ist besonders in der Theorie nichtpositiver Krummung und speziell in der Theorie symmetrischer Raume von Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Flachs in symmetrischen Raumen 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp eine einfach zusammenhangende Riemannsche Mannigfaltigkeit Eine r displaystyle r nbsp dimensionale total geodatische Untermannigfaltigkeit F X displaystyle F subset X nbsp ist ein r Flach wenn sie isometrisch zum euklidischen Raum R r displaystyle mathbb R r nbsp ist Daraus folgt insbesondere dass die Schnittkrummung dieser Untermannigfaltigkeit konstant Null ist Man kann Flachs auch charakterisieren als einfach zusammenhangende total geodatische Untermannigfaltigkeiten deren Schnittkrummung konstant Null ist Die Flachs maximaler Dimension in einer Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp werden als maximale Flachs in X displaystyle X nbsp bezeichnet Beispiele BearbeitenIm euklidischen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp sind die affinen Unterraume die einzigen Flachs Es gibt zwar weitere Untermannigfaltigkeiten verschwindender Schnittkrummung z B Kreiszylinder im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp aber diese sind nicht einfach zusammenhangend und deshalb nicht isometrisch zu einem euklidischen Raum In Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrummung sind die Geodaten 1 dimensionale Flachs bereits die maximalen Flachs da 2 dimensionale Flachs verschwindende Krummung hatten Flachs in symmetrischen Raumen BearbeitenEs sei X G K displaystyle X G K nbsp ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ vom Rang r displaystyle r nbsp und g k p displaystyle mathfrak g mathfrak k oplus mathfrak p nbsp seine Cartan Zerlegung Fur x X displaystyle x in X nbsp sei e x p x p X displaystyle exp x colon mathfrak p to X nbsp die Exponentialabbildung in x displaystyle x nbsp Dann sind alle x displaystyle x nbsp enthaltenden r displaystyle r nbsp Flachs F X displaystyle F subset X nbsp von der Form F e x p x a displaystyle F exp x mathfrak a nbsp fur eine maximal abelsche Unteralgebra a p displaystyle mathfrak a subset mathfrak p nbsp Insbesondere lasst sich der Begriff der Weyl Kammern auf Flachs in symmetrischen Raumen ubertragen Weiterhin gibt es zu je zwei Flachs F 1 F 2 X displaystyle F 1 F 2 subset X nbsp und je zwei Punkten x 1 F 1 x 2 F 2 displaystyle x 1 in F 1 x 2 in F 2 nbsp eine Isometrie g G displaystyle g in G nbsp mit g F 1 F 2 g x 1 x 2 displaystyle g F 1 F 2 g x 1 x 2 nbsp Der Rang eines symmetrischen Raumes ist per Definition die Dimension eines maximalen Flachs Siehe auch BearbeitenFlache MannigfaltigkeitLiteratur BearbeitenSigurdur Helgason Differential geometry Lie groups and symmetric spaces Corrected reprint of the 1978 original Graduate Studies in Mathematics 34 American Mathematical Society Providence RI 2001 ISBN 0 8218 2848 7 Patrick Eberlein Geometry of nonpositively curved manifolds Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press Chicago IL 1996 ISBN 0 226 18197 9 0 226 18198 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Flach Geometrie amp oldid 220948440