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Weyl Gruppe In der Mathematik ist die ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie Gruppen und Lie Algebren und al

Weyl-Gruppe

In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe Bearbeiten

Es sei eine halbeinfache Lie-Gruppe und

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien der Normalisator von in und der Zentralisator von in . Die Weyl-Gruppe ist definiert als

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe Bearbeiten

Für jeden maximalen Torus sei und der Normalisator und Zentralisator von , dann ist

die Weyl-Gruppe von .

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems Bearbeiten

Es sei ein Wurzelsystem in einem Vektorraum , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

erzeugte Gruppe die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra und das dazugehörige Wurzelsystem . Die Weyl-Gruppe von stimmt mit der Weyl-Gruppe von überein.

Längstes Element Bearbeiten

Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel Bearbeiten

Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe ist die symmetrische Gruppe . Das längste Element ist die Permutation .

Literatur Bearbeiten

  • Michael Davis: The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist die Weyl Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie Gruppen und Lie Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen Sie ist nach Hermann Weyl benannt der 1925 ihre Bedeutung erkannte Inhaltsverzeichnis 1 Weyl Gruppe einer Lie Gruppe 1 1 Weyl Gruppe einer kompakten Lie Gruppe 2 Weyl Gruppe eines Wurzelsystems 3 Langstes Element 4 Beispiel 5 Literatur 6 WeblinksWeyl Gruppe einer Lie Gruppe BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine halbeinfache Lie Gruppe und G K A N displaystyle G KAN nbsp ihre Iwasawa Zerlegung K ist eine kompakte Untergruppe A eine abelsche und N eine nilpotente Es seien N G A displaystyle mathcal N G A nbsp der Normalisator von A displaystyle A nbsp in G displaystyle G nbsp und Z G A displaystyle mathcal Z G A nbsp der Zentralisator von A displaystyle A nbsp in G displaystyle G nbsp Die Weyl Gruppe ist definiert als W N G A Z G A displaystyle W mathcal N G A mathcal Z G A nbsp Sie ist eine endliche Gruppe die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird Weyl Gruppe einer kompakten Lie Gruppe Bearbeiten Fur jeden maximalen Torus T G displaystyle T subset G nbsp sei N G T displaystyle mathcal N G T nbsp und Z G T displaystyle mathcal Z G T nbsp der Normalisator und Zentralisator von T displaystyle T nbsp dann ist W N G T Z G T N G T T displaystyle W mathcal N G T mathcal Z G T mathcal N G T T nbsp die Weyl Gruppe von T displaystyle T nbsp Weyl Gruppe eines Wurzelsystems Bearbeiten Hauptartikel Wurzelsystem Es sei R displaystyle R nbsp ein Wurzelsystem in einem Vektorraum V displaystyle V nbsp dann heisst die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen s A A R displaystyle left s mathrm A mathrm A in R right nbsp erzeugte Gruppe W displaystyle W nbsp die Weyl Gruppe des Wurzelsystems Falls G displaystyle G nbsp eine halbeinfache Lie Gruppe mit Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp ist dann betrachtet man eine Cartan Unteralgebra a g displaystyle mathfrak a subset mathfrak g nbsp und das dazugehorige Wurzelsystem R displaystyle R nbsp Die Weyl Gruppe von a R displaystyle mathfrak a R nbsp stimmt mit der Weyl Gruppe von G displaystyle G nbsp uberein Langstes Element BearbeitenDas langste Element der Weyl Gruppe zu einem gegebenen Wurzelsystem ist das Element maximaler Lange bzgl des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems Beispiel BearbeitenDie Weyl Gruppe der speziellen linearen Gruppe S L n R displaystyle SL n mathbb R nbsp ist die symmetrische Gruppe S n displaystyle S n nbsp Das langste Element ist die Permutation 1 2 n 1 n n n 1 2 1 displaystyle 1 2 ldots n 1 n to n n 1 ldots 2 1 nbsp Literatur BearbeitenMichael Davis The Geometry and Topology of Coxeter Groups ISBN 978 0 691 13138 2Weblinks BearbeitenAlexander Kirillov An introduction to Lie groups and Lie algebras PDF Kapitel 8 Encyclopedia of Mathematics A S Fedenko Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weyl Gruppe amp oldid 223405421