Dieser Artikel behandelt die Lie Algebra s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 C zur Gruppe S L 2 C displaystyle SL 2 C siehe Spezielle lineare Gruppe In der Mathematik ist die Lie Algebra s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C der Prototyp einer komplexen einfachen Lie Algebra Die s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C ist eine dreidimensionale komplexe einfache Lie Algebra Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie Algebra bereits eindeutig identifiziert Die s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C ist die dreidimensionale Lie Algebra der speziellen linearen Gruppe S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C Sie ist uber dem komplexen Zahlenkorper C displaystyle mathbb C definiert und hat zwei reelle Formen die Lie Algebra s u 2 displaystyle mathfrak su 2 und die Lie Algebra s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R Die Gruppe S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C spielt insbesondere in der Speziellen Relativitatstheorie eine Rolle da sie die einfach zusammenhangende Uberlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen S O 0 3 1 displaystyle SO 0 3 1 ist Inhaltsverzeichnis 1 Kommutator Relationen 2 Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt 3 Eigenschaften 4 Struktur der Lie Algebra sl 2 C 4 1 Killing Form 4 2 Cartan Involution 4 3 Iwasawa Zerlegung 4 4 Reelle Formen 4 5 Cartan Unteralgebren 4 6 Wurzelsystem 5 Siehe auch 6 WeblinksKommutator Relationen BearbeitenWir betrachten den durch die Basis x y h aufgespannten Vektorraum g x y h C displaystyle g langle x y h rangle mathbb C nbsp Die s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp ist dann festgelegt durch folgende Kommutator Relationen x y h h x 2 x h y 2 y displaystyle x y h quad h x 2x quad h y 2y nbsp Eine haufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2 2 Matrizen x 0 1 0 0 y 0 0 1 0 h 1 0 0 1 displaystyle x begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix quad y begin pmatrix 0 amp 0 1 amp 0 end pmatrix quad h begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt BearbeitenDurch die Definition des Kreuzproduktes in C 3 displaystyle mathbb C 3 nbsp und der folgenden Vektoren x 1 i 0 y 1 i 0 h 0 0 2 i displaystyle x 1 mathrm i 0 quad y 1 mathrm i 0 quad h 0 0 2 mathrm i nbsp ergibt sich die gleiche Algebra x y h h x 2 x h y 2 y displaystyle x times y h quad h times x 2x quad h times y 2y nbsp Eigenschaften Bearbeitens l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp ist eine einfache insbesondere halbeinfache Lie Algebra Beweis Sei a displaystyle mathfrak a nbsp ein nichttriviales Ideal in s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp und sei a x b h c y a 0 displaystyle ax bh cy in mathfrak a setminus 0 nbsp mit a b c C displaystyle a b c in mathbb C nbsp Wenn a c 0 displaystyle a c 0 nbsp dann h a displaystyle h in mathfrak a nbsp damit 2 x h x a displaystyle 2x left h x right in mathfrak a nbsp und 2 y h y a displaystyle 2y left h y right in mathfrak a nbsp also a s l 2 C displaystyle mathfrak a mathfrak sl 2 mathbb C nbsp Also konnen wir a 0 displaystyle a not 0 nbsp oder c 0 displaystyle c not 0 nbsp annehmen o B d A a 0 displaystyle a not 0 nbsp Aus y y a x b h c y y a h 2 b y 2 a y displaystyle left y left y ax bh cy right right left y ah 2by right 2ay nbsp folgt dann y a displaystyle y in mathfrak a nbsp und damit auch h x y a displaystyle h left x y right in mathfrak a nbsp also wieder a s l 2 C displaystyle mathfrak a mathfrak sl 2 mathbb C nbsp Struktur der Lie Algebra sl 2 C BearbeitenKilling Form Bearbeiten Die Killing Form von s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp lasst sich explizit durch die Formel B v w 4 Spur v w displaystyle B v w 4 operatorname Spur vw nbsp berechnen es ist also B x x B y y 0 B h h 8 displaystyle B x x B y y 0 B h h 8 nbsp B x y 4 B x h B y h 0 displaystyle B x y 4 B x h B y h 0 nbsp Cartan Involution Bearbeiten Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie Gruppe S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp ist K S U 2 displaystyle K SU 2 nbsp ihre Lie Algebra k s u 2 displaystyle mathfrak k mathfrak su 2 nbsp wird von i x y x y displaystyle i x y x y nbsp und i h displaystyle ih nbsp aufgespannt Eine Cartan Involution von s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp ist gegeben durch 8 A A T displaystyle theta A overline A T nbsp k s u 2 displaystyle mathfrak k mathfrak su 2 nbsp ist ihr Eigenraum zum Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp Man erhalt die Cartan Zerlegung s l 2 C k p displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C mathfrak k oplus mathfrak p nbsp wobei p A s l 2 C A A T displaystyle mathfrak p left A in mathfrak sl 2 mathbb C A overline A T right nbsp der Eigenraum zum Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp ist Iwasawa Zerlegung Bearbeiten Eine Iwasawa Zerlegung von s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp ist s l 2 C k a n displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C mathfrak k oplus mathfrak a oplus mathfrak n nbsp mit k s u 2 a l 0 0 l l R n 0 n 0 0 n C displaystyle mathfrak k mathfrak su 2 mathfrak a left begin pmatrix lambda amp 0 0 amp lambda end pmatrix lambda in mathbb R right mathfrak n left begin pmatrix 0 amp n 0 amp 0 end pmatrix n in mathbb C right nbsp Reelle Formen Bearbeiten Die s l 2 C displaystyle mathfrak sl 2 mathbb C nbsp hat zwei reelle Formen ihre kompakte reelle Form ist s u 2 displaystyle mathfrak su 2 nbsp ihre spaltbare reelle Form ist s l 2 R displaystyle mathfrak sl 2 mathbb R nbsp Cartan Unteralgebren Bearbeiten Eine maximale abelsche Unteralgebra ist h 0 l 0 0 l l C displaystyle mathfrak h 0 left begin pmatrix lambda amp 0 0 amp lambda end pmatrix lambda in mathbb C right nbsp h 0 displaystyle mathfrak h 0 nbsp ist eine Cartan Unteralgebra Jede Cartan Unteralgebra h s l 2 C displaystyle mathfrak h subset mathfrak sl 2 mathbb C nbsp ist zu h 0 displaystyle mathfrak h 0 nbsp konjugiert d h sie ist von der Form h g h 0 g 1 g h g 1 h h 0 displaystyle mathfrak h g mathfrak h 0 g 1 left ghg 1 h in mathfrak h 0 right nbsp fur ein g S L 2 C displaystyle g in SL 2 mathbb C nbsp Wurzelsystem Bearbeiten Das Wurzelsystem zu h 0 displaystyle mathfrak h 0 nbsp ist R a 12 1 0 0 1 a 21 1 0 0 1 displaystyle R left alpha 12 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix alpha 21 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix right nbsp Die dualen Wurzeln sind a 12 l 0 0 l 2 l a 12 l 0 0 l 2 l displaystyle alpha 12 begin pmatrix lambda amp 0 0 amp lambda end pmatrix 2 lambda alpha 12 begin pmatrix lambda amp 0 0 amp lambda end pmatrix 2 lambda nbsp Die zugehorigen Wurzelraume sind g a 12 C 0 1 0 0 g a 21 C 0 0 1 0 displaystyle mathfrak g alpha 12 mathbb C begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix mathfrak g alpha 21 mathbb C begin pmatrix 0 amp 0 1 amp 0 end pmatrix nbsp Die Weyl Gruppe ist die symmetrische Gruppe S 2 displaystyle S 2 nbsp Siehe auch BearbeitenDarstellungstheorie der sl 2 C Weblinks BearbeitenNicolas Perrin The Lie Algebra s l 2 displaystyle mathfrak sl 2 nbsp PDF Abhinav Shrestha Representations of semisimple Lie algebras PDF Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sl 2 C amp oldid 195230677
