Orthogonale Gruppe

Die orthogonale Gruppe ist die Gruppe der orthogonalen -Matrizen mit reellen Elementen. Die Verknüpfung der orthogonalen Gruppe ist die Matrizenmultiplikation. Bei der orthogonalen Gruppe handelt es sich um eine Lie-Gruppe der Dimension . Da die Determinante einer orthogonalen Matrix nur die Werte annehmen kann, zerfällt in die beiden disjunkten Teilmengen (topologisch: Zusammenhangskomponenten)

• die Drehgruppe aller Drehungen (orthogonale Matrizen mit Determinante ) und
• aller Drehspiegelungen (orthogonale Matrizen mit Determinante ).

Die Untergruppe heißt die spezielle orthogonale Gruppe. Insbesondere ist die als die Gruppe aller Drehungen um eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum von großer Bedeutung in zahlreichen Anwendungen, wie etwa der Computergraphik oder der Physik.

Orthogonale Abbildungen und Matrizen aus algebraischer Sicht

Koordinatenfreie Beschreibung

Ausgehend von einem -dimensionalen euklidischen Vektorraum mit einem Skalarprodukt definiert man: Ein Endomorphismus heißt orthogonal, falls das Skalarprodukt erhält, also falls für alle

gilt. Eine lineare Abbildung erhält genau dann das Skalarprodukt, wenn sie längen- und winkeltreu ist. Die Menge aller orthogonalen Selbstabbildungen von heißt die orthogonale Gruppe von , geschrieben als .

Bezüglich einer Orthonormalbasis von werden orthogonale Endomorphismen durch orthogonale Matrizen dargestellt. Gleichbedeutend hierzu ist folgende Formulierung: Versieht man den mit dem Standardskalarprodukt, so ist die Abbildung genau dann orthogonal, wenn die Matrix orthogonal ist.

Diagonalisierbarkeit unitärer Matrizen

Jede orthogonale Matrix ist eine unitäre Matrix mit reellen Elementen. Damit entspricht sie einer unitären Abbildung Nach dem Spektralsatz für endlich dimensionale unitäre Räume ist als unitäre Matrix diagonalisierbar. Die dabei auftretenden Diagonalelemente mit sind genau die Eigenwerte von . Diese sind aber notwendig vom Betrag Eins (vgl. unitäre Matrix). Sie lassen sich daher in der Form für gewisse, bis auf die Reihenfolge eindeutige Winkel schreiben. Da die Matrix nur reelle Elemente besitzt, treten dabei die nichtreellen Eigenwerte in Paaren zueinander konjugierter komplexer Zahlen auf. Im Reellen ist in der Regel nicht diagonalisierbar, jedoch lässt sich auch hier eine Zerlegung in ein- bzw. zweidimensionale invariante Unterräume angeben.

Auswirkungen auf orthogonale Matrizen

Zu jeder orthogonalen Matrix lässt sich eine Drehung des Koordinatensystems finden, so dass die Matrix von „beinahe diagonaler“ Gestalt ist:

Alle hier nicht angegebenen Elemente haben den Wert . Die auftretenden -Matrizen beschreiben zweidimensionale Drehungen um die Winkel der Form

Jedes gehört dabei zu einem Paar konjugiert komplexer Eigenwerte . Dabei gilt natürlich , falls die Anzahl der Diagonalelemente mit Wert und die Anzahl der Diagonalelemente mit Wert repräsentieren. Offenbar ist genau dann eine Drehung, wenn , die geometrische wie auch algebraische Vielfachheit des Eigenwertes , eine gerade Zahl ist.

Ebene Drehspiegelung

Neben den ebenen Drehungen, die den Matrizen entsprechen, sind auch die Drehspiegelungen

orthogonale Matrizen. Die Eigenwerte von sind und ; folglich handelt es sich um eine Achsenspiegelung die sich nach einer Drehung des Koordinatensystems um als schreiben lässt.

Räumliche Drehung

Nach der oben beschriebenen Normalform lässt sich jede Drehung im Raum durch Wahl einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix

beschreiben, wobei mit auch alle Sonderfälle erfasst werden. Die genannte Matrix beschreibt eine Drehung um die -Achse. Insbesondere verfügt jede echte räumliche Drehung über eine Drehachse. Fischer verdeutlicht dies am Beispiel eines Fußballes auf dem Anstoßpunkt: Nach dem ersten Tor gibt es zwei sich gegenüberliegende Punkte auf dem Ball, die jetzt exakt genauso zum Stadion ausgerichtet sind, wie zu Beginn des Spieles. Der Winkel ist aufgrund des orientierungserhaltenden Charakters der zugelassenen Transformationsmatrizen eindeutig festgelegt; dies geht mit der aus dem Alltag bekannten Erfahrung einher, dass es – zumindest theoretisch – stets feststeht, in welche Richtung man eine Schraube drehen muss, um diese fester anzuziehen.

Räumliche Drehspiegelung

Nach der oben beschriebenen Normalform lässt sich jede Drehspiegelung im Raum durch Wahl einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix

beschreiben, wobei mit auch alle Sonderfälle erfasst werden. Auch hier ist der Winkel eindeutig, sofern man die Orientierung des Raumes nicht umkehrt.

Eine doppelte Drehung im vierdimensionalen Raum

Im vierdimensionalen Raum ist eine gleichzeitige Drehung mit zwei unabhängigen Drehwinkeln möglich:

Vertauscht man bei einer zweidimensionalen Drehung die beiden Basisvektoren, so erhält man die Drehung . Das ist nicht verwunderlich, hat man doch gleichzeitig die Orientierung der Ebene verändert. Vertauscht man nun im vorliegenden Beispiel gleichzeitig den ersten mit dem zweiten wie auch den dritten mit dem vierten Basisvektor, so bleibt die Orientierung erhalten, aber aus wird .

Die Orthogonale Gruppe als Lie-Gruppe

Ausgehend vom linearen Raum aller Matrizen gelangt man zur Untermannigfaltigkeit durch die Forderung, dass die Matrix orthogonal ist, d. h. gilt. Da orthogonale Matrizen insbesondere invertierbar sind, ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe .

Topologische Eigenschaften

Wie die allgemeine lineare Gruppe besteht auch die orthogonale Gruppe aus zwei Zusammenhangskomponenten: Matrizen mit positiver bzw. negativer Determinante im Fall der reellen ; und die Menge der orthogonalen Matrizen mit Determinante im Falle der . Ein eleganter Beweis für den Wegzusammenhang der lässt sich wie folgt führen: Man verbinde die Einheitsmatrix mit einer gegebenen Drehung durch einen Weg innerhalb der . Wendet man auf jeden Punkt dieses Weges nun das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren an, so erhält man einen Weg, der ganz in der verläuft. Da die Multiplikation mit der Diagonalmatrix einen Diffeomorphismus von mit seinem Komplement in der liefert, ist auch Letzteres zusammenhängend.

Weiterhin sind und kompakt. Es handelt sich um eine abgeschlossene Teilmenge der Einheitskugel bezüglich der Spektralnorm im .

Operation der SO(n) auf der Einheitssphäre

Die operiert in natürlicher Weise auf dem . Da orthogonale Abbildungen längentreu sind, sind die Bahnen dieser Operation genau die Sphären um den Ursprung. Die Operation schränkt also zu einer transitiven Operation auf der Einheitssphäre ein. Die zugehörige Isotropiegruppe des kanonischen Einheitsvektors der Standardbasis des besteht genau aus der , aufgefasst als Untergruppe der mit einer an der Matrix-Position . Man erhält somit die kurze exakte Sequenz

beziehungsweise das Hauptfaserbündel (vgl. auch Faserbündel)

Hieraus lässt sich induktiv folgern, dass die Fundamentalgruppe der für zu isomorph ist. Sie ist damit ähnlich „verdreht“ wie das Möbiusband. Die Fundamentalgruppe der Kreisgruppe ist , da die topologisch dem Einheitskreis entspricht.

Die Lie-Algebra zur O(n) und SO(n)

Die Lie-Algebra besteht genau aus den schiefsymmetrischen Matrizen, die Lie-Algebra , also der Tangentialraum der im Punkt der Einheitsmatrix , besteht genau aus den schiefsymmetrischen Matrizen, die zugleich spurlos sind, was im Reellen bereits durch die Schiefsymmetrie impliziert ist. Daher sind beide Lie-Algebren gleich

Ist also schiefsymmetrisch, so liefert die Exponentialabbildung für Matrizen die zugehörige Einparametergruppe

In allgemeinen Lie-Gruppen ist die Exponentialabbildung nur lokal surjektiv, von einer Umgebung der Null auf eine Umgebung der Eins; die Exponentialabbildung von nach dagegen ist tatsächlich (global) surjektiv.

Offensichtlich ist eine schiefsymmetrische Matrix durch die Einträge oberhalb der Hauptdiagonale eindeutig bestimmt. Damit ist die Dimension der ebenfalls geklärt.

Im Fall haben die Matrizen der zugehörigen Lie-Algebren die einfache Form

wobei die zweite Pauli-Matrix ist.

Im Fall ist die zugehörige Lie-Algebra isomorph zum mit dem Kreuzprodukt als Lie-Klammer. Zum Nachweis muss man lediglich den Kommutator zweier generischer, also mit je drei freien Variablen gebildeter, schiefsymmetrischer Matrizen berechnen und das Ergebnis mit der Formel für das Kreuzprodukt vergleichen.

Literatur

• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Text im Mathematics. Band 98). Springer, New York NY u. a. 1985, ISBN 3-540-13678-9.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra (= Vieweg-Studium. Band 17). 5. Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1979, ISBN 3-528-17217-7.
• Horst Knörrer: Geometrie (= Vieweg-Studium. Band 71). Vieweg, Braunschweig u. a. 1996, ISBN 3-528-07271-7.
• Serge Lang: Linear Algebra. 2nd edition. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1971.
• Hermann Weyl: The classical Groups. Their invariants and representations (= Princeton Mathematical Series. Band 1, ISSN 0079-5194). 2. edition, with supplement, reprinted. Princeton University Press u. a., Princeton NJ 1953.

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. Das Skalarprodukt eines euklidischen Vektorraums lässt sich sogar aus dem zugehörigen Längenbegriff alleine rekonstruieren. Vgl. Polarisationsformel.
2. G. Fischer: Lineare Algebra. 5. Auflage. 1979, S. 204 f.
3. Es handelt sich bei um eine Spiegelung an der x-Achse gefolgt von einer Drehung um . Dabei bleibt ein um zur x-Achse gedrehter Vektor fest.
4. G. Fischer: Lineare Algebra. 5. Auflage. 1979, S. 205.
5. Bröcker, tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups. 1985, S. 5.
6. Bröcker, tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups. 1985, S. 36 und S. 61.
7. Bröcker, tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups. 1985, S. 20. Wenn man beispielsweise die Funktion mit der oben definierten zweidimensionalen Drehung in ableitet, so erhält man die schiefsymmetrische Matrix .
8. Jean Gallier: Basics of Classical Lie Groups: The Exponential Map, Lie Groups, and Lie Algebras. In: Geometric Methods and Applications (= Texts in Applied Mathematics). Springer, New York, NY, 2001, ISBN 978-1-4612-6509-2, S. 367–414, doi:10.1007/978-1-4613-0137-0_14 (springer.com [abgerufen am 23. März 2018]). 
9. Die insgesamt Gleichungen, die die Orthogonalität einer Matrix sicherstellen, haben also nur (bzw. beim zweiten Nachdenken tatsächlich) den Rang .