In der linearen Algebra wird durch eine Polarisationsformel eine symmetrische Bilinearform beziehungsweise eine Sesquilinearform mithilfe ihrer zugehörigen quadratischen Form dargestellt.
Ein wichtiger Anwendungsfall ist die Darstellung des Skalarproduktes eines Innenproduktraumes durch die zugehörige induzierte Norm . Umgekehrt kann man fragen, ob eine gegebene Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt, das Skalarprodukt kann dann mittels Polarisation aus dem Quadrat der Norm bestimmt werden.
Der reelle Fall (symmetrische Bilinearform) Bearbeiten
Es seien ein Vektorraum über dem Körper und eine symmetrische Bilinearform, d. h.
für alle , .
Ihre zugehörige quadratische Form wird dann definiert durch
Umgekehrt wird die symmetrische Bilinearform durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Dies drückt die Polarisationsformel aus: Es gilt
Dass dies nicht für beliebige (also auch nicht symmetrische) Bilinearformen gilt, zeigt das folgende Beispiel. Mit Hilfe der Matrizen
seien die Bilinearformen gegeben durch
Dann sind und verschieden, definieren aber dieselbe quadratische Form.
Der komplexe Fall (Sesquilinearform) Bearbeiten
Es seien ein Vektorraum über dem Körper und eine (nicht notwendigerweise hermitesche) Sesquilinearform. Ihre zugehörige quadratische Form wird wie im reellen Fall definiert durch
Auch eine Sesquilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt. Für Sesquilinearformen lautet die Polarisationsformel:
falls im ersten Argument semilinear ist und
falls im zweiten Argument semilinear ist.
Literatur Bearbeiten
- Oswald Riemenschneider: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (pdf; 809 kB)- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82
- Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer Spektrum (2018). ISBN 978-3-662-55599-6/hbk 978-3-662-55600-9/ebook