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Schiefsymmetrische Matrix Eine schiefsymmetrische Matrix auch antisymmetrische Matrix ist eine Matrix die gleich dem Neg

Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix (auch antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher häufig mit ihnen gleichgesetzt. Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet.

Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften sind, insbesondere in der Kontinuumsmechanik; siehe #Schiefsymmetrischer Tensor.

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix über einem Körper heißt schiefsymmetrisch (oder antisymmetrisch), wenn

gilt. Anders ausgedrückt: Die Matrix ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt:

für alle mit .

Beispiel Bearbeiten

Die Matrix ist schiefsymmetrisch, da .

Eigenschaften Bearbeiten

Reelle schiefsymmetrische Matrizen Bearbeiten

Ist schiefsymmetrisch mit reellen Einträgen, so sind alle Diagonaleinträge notwendigerweise gleich 0. Des Weiteren ist jeder Eigenwert rein imaginär oder gleich 0.

Körpercharakteristik ungleich 2 Bearbeiten

Eigenschaften für Körper der Charakteristik ungleich 2:

  • Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind null.
  • Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen und daher
gleich null.
Für Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht, wie das Gegenbeispiel
zeigt. Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch, jedoch gilt Allgemein kann die Determinante in diesem Fall als Quadrat der Pfaffschen Determinante bestimmt werden.
  • Über einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die alternierenden Matrizen. Über einem Körper mit Charakteristik zwei gibt es jedoch schiefsymmetrische Matrizen, die nicht alternierend sind.

Vektorraum Bearbeiten

Die schiefsymmetrischen ()-Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension . Ist der Körper , so bezeichnet man diesen Vektorraum mit . Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts gerade

Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix

Bilinearformen Bearbeiten

Die Bilinearform zu einer schiefsymmetrischen Matrix ist antisymmetrisch, das heißt,

für alle . Falls die Hauptdiagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix alle gleich null sind (wenn die Matrix also alternierend ist), dann ist die zugehörige Bilinearform alternierend, das heißt,

für alle . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum die Darstellungsmatrix einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform bezüglich einer beliebigen Basis stets schiefsymmetrisch, also

wobei die Hauptdiagonaleinträge von alle gleich null sind.

Exponentialabbildung Bearbeiten

Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung

ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix (siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe).

Kreuzprodukt Bearbeiten

Für den Spezialfall können schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden, um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrücken. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix

mit dem Vektor ausgedrückt werden:

Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden:

Das Exponential der Matrix kann mittels der Rodrigues-Formel wie folgt dargestellt werden

Hierbei ist

die orthogonale Projektion von auf die durch aufgespannte Gerade ,
das dazu senkrechte Lot von auf die Achse ,
  der Vektor, der aus durch Rotation um 90° um die Achse entsteht.

Insgesamt zeigt die Formel, dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor um die durch definierte Achse rotiert wird, mit der Norm von als Winkelgeschwindigkeit.

Schiefsymmetrischer Tensor Bearbeiten

Tensoren sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik, da sie neben dem Zahlenwert und der Einheit auch noch Informationen über Orientierungen im Raum enthalten. Die Komponenten des Tensors verweisen auf Tupel von Basisvektoren, die durch das dyadische Produkt ⊗ verknüpft sind. Der Anschaulichkeit halber beschränkt sich die allgemeine Darstellung hier auf den reellen dreidimensionalen Vektorraum, nicht zuletzt auch wegen seiner besonderen Relevanz in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hier sind alle schiefsymmetrischen Tensoren auch alternierend.

Alles, was oben über reelle schiefsymmetrische Matrizen als Ganzes geschrieben steht, lässt sich auf schiefsymmetrische Tensoren zweiter Stufe übertragen. Insbesondere haben auch sie in drei Dimensionen einen verschwindenden und zwei konjugierte imaginäre Eigenwerte. Schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe wird auch ein dualer axialer Vektor zugeordnet, der das Tensorprodukt durch das Kreuzprodukt darstellt. Deshalb ist dieser duale axiale Vektor der zum Eigenwert 0 gehörende Eigenvektor.

Koeffizientenmatrix von schiefsymmetrischen Tensoren 2. Stufe Bearbeiten

Nicht ohne Weiteres lassen sich die Aussagen über die Einträge in den Matrizen auf Tensoren übertragen, denn bei letzteren hängen sie von den verwendeten Basen ab. Nur bezüglich der Standardbasis – oder allgemeiner einer Orthonormalbasis – können Tensoren zweiter Stufe mit einer Matrix identifiziert werden.

Jeder Tensor zweiter Stufe kann bezüglich zweier Vektorraumbasen und als Summe

geschrieben werden. Bei der Transposition werden im dyadischen Produkt die Vektoren vertauscht. Der transponierte Tensor ist somit

Eine mögliche Asymmetrie ist hier nicht einfach erkennbar; jedenfalls genügt die Bedingung nicht für den Nachweis. Die Diagonalelemente müssen auch nicht notwendigerweise 0 sein. Die Bedingung gilt jedoch bezüglich einer Orthonormalbasis ê1,2,3:

Hier kann die Asymmetrie aus der Koeffizientenmatrix abgelesen werden:

Dies gilt auch bezüglich einer allgemeinen, nicht orthonormalen, kontravarianten Basis ĝ1,2,3:

Soll der zweite Tensor gleich dem ersten sein, dann folgt auch hier die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix . In obiger Form wird der Tensor kovariant genannt. Beim kontravarianten Tensor wird die duale Basis benutzt, sodass . Für ihn folgt die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix und die 0 auf der Diagonalen wie beim kovarianten Tensor. Beim gemischtvarianten Tensor werden beide Basen benutzt:

Die gemischtvariante Koeffizientenmatrix ist beim gemischtvarianten Tensor im Allgemeinen nicht schiefsymmetrisch. Besagtes gilt entsprechend auch für schiefsymmetrische gemischtvariante Tensoren der Form .

Invarianz der Symmetrieeigenschaft Bearbeiten

Die Asymmetrie eines Tensors ist von Basiswechseln unberührt. Das ist daran ersichtlich, dass die Vektorinvariante, die ausschließlich vom schiefsymmetrischen Anteil bestimmt wird, invariant gegenüber Basiswechseln ist.

Kofaktor Bearbeiten

Jeder Tensor zweiter Stufe hat einen Kofaktor

wo die ersten beiden Hauptinvarianten sind und 1 der Einheitstensor ist. Beim schiefsymmetrischen Tensor ist speziell

worin sein dualer axialer Vektor ist.

Dualer axialer Vektor, Vektorinvariante und Kreuzprodukt Bearbeiten

Zu einem schiefsymmetrischen Tensor T gibt es einen dualen axialen Vektor , für den gilt:

Der duale axiale Vektor ist proportional zur Vektorinvariante:

und berechnet sich mit dem Kreuzprodukt von Tensoren:

In einem kartesischen Koordinatensystem hat man wie bei Matrizen

Invarianten Bearbeiten

Hauptinvarianten Bearbeiten

Die Hauptinvarianten eines schiefsymmetrischen Tensors lauten

worin sein dualer axialer Vektor ist.

Betrag Bearbeiten

Der Betrag eines Tensors, definiert mit der Frobeniusnorm

lässt sich bei schiefsymmetrischen Tensoren mit der zweiten Hauptinvariante darstellen:

worin sein dualer axialer Vektor ist.

Einzelnachweise bezüglich Tensoren Bearbeiten

  1. H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 22.
  2. Für die Begriffe kovariant und kontravariant siehe Konvektive Koordinaten oder Krummlinige Koordinaten.
  3. Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band 1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, S. 208, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

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Eine schiefsymmetrische Matrix auch antisymmetrische Matrix ist eine Matrix die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist In einem Korper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen genau die alternierenden Matrizen und werden daher haufig mit ihnen gleichgesetzt Schiefsymmetrische Matrizen werden in der linearen Algebra unter anderem zur Charakterisierung antisymmetrischer Bilinearformen verwendet Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur und Ingenieurwissenschaften sind insbesondere in der Kontinuumsmechanik siehe Schiefsymmetrischer Tensor Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Reelle schiefsymmetrische Matrizen 3 2 Korpercharakteristik ungleich 2 3 3 Vektorraum 3 4 Bilinearformen 3 5 Exponentialabbildung 3 6 Kreuzprodukt 4 Schiefsymmetrischer Tensor 4 1 Koeffizientenmatrix von schiefsymmetrischen Tensoren 2 Stufe 4 2 Invarianz der Symmetrieeigenschaft 4 3 Kofaktor 4 4 Dualer axialer Vektor Vektorinvariante und Kreuzprodukt 4 5 Invarianten 4 5 1 Hauptinvarianten 4 5 2 Betrag 4 6 Einzelnachweise bezuglich Tensoren 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A a i j K n n displaystyle A a ij in K n times n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp heisst schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch wenn A T A displaystyle A T A nbsp gilt Anders ausgedruckt Die Matrix A displaystyle A nbsp ist schiefsymmetrisch wenn fur ihre Eintrage gilt a i j a j i displaystyle a ij a ji nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp mit 1 i j n displaystyle 1 leq i j leq n nbsp Beispiel BearbeitenDie Matrix A 0 7 23 7 0 4 23 4 0 displaystyle A begin pmatrix 0 amp 7 amp 23 7 amp 0 amp 4 23 amp 4 amp 0 end pmatrix nbsp ist schiefsymmetrisch da A T 0 7 23 7 0 4 23 4 0 A displaystyle A T begin pmatrix 0 amp 7 amp 23 7 amp 0 amp 4 23 amp 4 amp 0 end pmatrix A nbsp Eigenschaften BearbeitenReelle schiefsymmetrische Matrizen Bearbeiten Ist A R n n displaystyle A in mathbb R n times n nbsp schiefsymmetrisch mit reellen Eintragen so sind alle Diagonaleintrage notwendigerweise gleich 0 Des Weiteren ist jeder Eigenwert rein imaginar oder gleich 0 Korpercharakteristik ungleich 2 Bearbeiten Eigenschaften fur Korper K displaystyle K nbsp der Charakteristik ungleich 2 Die Eintrage auf der Hauptdiagonalen sind null Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen mit ungerader Dimension n ist wegen A T A displaystyle A T A nbsp und daherdet A det A T det A 1 n det A det A displaystyle det A det A T det A 1 n det A det A nbsp dd gleich null Fur Matrizen gerader Dimension gilt dies im Allgemeinen nicht wie das GegenbeispielA 0 1 1 0 displaystyle A begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix nbsp dd zeigt Die Matrix ist offensichtlich schiefsymmetrisch jedoch gilt det A 1 displaystyle det A 1 nbsp Allgemein kann die Determinante in diesem Fall als Quadrat der Pfaffschen Determinante bestimmt werden Uber einem Korper mit Charakteristik ungleich zwei sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die alternierenden Matrizen Uber einem Korper mit Charakteristik zwei gibt es jedoch schiefsymmetrische Matrizen die nicht alternierend sind Vektorraum Bearbeiten Die schiefsymmetrischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension n n 1 2 displaystyle tfrac n n 1 2 nbsp Ist der Korper K R displaystyle K mathbb R nbsp so bezeichnet man diesen Vektorraum mit s o n displaystyle mathfrak so n nbsp Die Bezeichnung ruhrt daher dass dieser Vektorraum die Lie Algebra der Lie Gruppe SO n displaystyle operatorname SO n nbsp Spezielle orthogonale Gruppe ist Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bezuglich des Frobenius Skalarprodukts gerade Pr R n n s o n A 1 2 A A T displaystyle begin matrix operatorname Pr amp mathbb R n times n amp to amp mathfrak s mathfrak o n amp A amp mapsto amp frac 1 2 A A T end matrix nbsp Das orthogonale Komplement ist die symmetrische Matrix A Pr A 1 2 A A T displaystyle A operatorname Pr A frac 1 2 A A T nbsp Bilinearformen Bearbeiten Die Bilinearform B A x y x T A y displaystyle B A x y x T Ay nbsp zu einer schiefsymmetrischen Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp ist antisymmetrisch das heisst B A x y B A y x displaystyle B A x y B A y x nbsp fur alle x y K n displaystyle x y in K n nbsp Falls die Hauptdiagonaleintrage einer schiefsymmetrischen Matrix A displaystyle A nbsp alle gleich null sind wenn die Matrix also alternierend ist dann ist die zugehorige Bilinearform B A displaystyle B A nbsp alternierend das heisst B A x x 0 displaystyle B A x x 0 nbsp fur alle x K n displaystyle x in K n nbsp Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp die Darstellungsmatrix A B B b i b j displaystyle A B B b i b j nbsp einer antisymmetrischen oder alternierenden Bilinearform B V V K displaystyle B colon V times V to K nbsp bezuglich einer beliebigen Basis b 1 b n displaystyle b 1 ldots b n nbsp stets schiefsymmetrisch also A B T A B displaystyle A B T A B nbsp wobei die Hauptdiagonaleintrage von A B displaystyle A B nbsp alle gleich null sind Exponentialabbildung Bearbeiten Die durch das Matrixexponential definierte Abbildung exp s o n SO n A n 0 1 n A n displaystyle begin matrix exp amp mathfrak s mathfrak o n amp to amp operatorname SO n amp A amp mapsto amp displaystyle sum n 0 infty frac 1 n A n end matrix nbsp dd ist surjektiv und beschreibt gerade die Exponentialabbildung an der Einheitsmatrix I n displaystyle I n nbsp siehe auch Spezielle orthogonale Gruppe Kreuzprodukt Bearbeiten Fur den Spezialfall n 3 displaystyle n 3 nbsp konnen schiefsymmetrische Matrizen benutzt werden um das Kreuzprodukt als Matrixmultiplikation auszudrucken Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a R 3 displaystyle a in mathbb R 3 nbsp und b R 3 displaystyle b in mathbb R 3 nbsp kann als Matrixmultiplikation der schiefsymmetrischen Kreuzproduktmatrix a 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 displaystyle a times begin pmatrix 0 amp a 3 amp a 2 a 3 amp 0 amp a 1 a 2 amp a 1 amp 0 end pmatrix nbsp mit dem Vektor b displaystyle b nbsp ausgedruckt werden a b a b displaystyle a times b a times cdot b nbsp Auf diese Weise kann eine Formel mit Kreuzprodukt differenziert werden b a b a displaystyle frac partial partial b a times b a times nbsp Das Exponential der Matrix a displaystyle a times nbsp kann mittels der Rodrigues Formel wie folgt dargestellt werden exp t a v a v a 2 a v a v a 2 a cos a t 1 a a v sin a t v a v 0 cos a t v 1 sin a t displaystyle begin aligned exp t a times v amp tfrac langle a v rangle a 2 a left v frac langle a v rangle a 2 a right cos a t left frac 1 a a times v right sin a t amp v a v 0 cdot cos a t v 1 cdot sin a t end aligned nbsp Hierbei ist v a a v a 2 a displaystyle v a frac langle a v rangle a 2 a nbsp die orthogonale Projektion von v displaystyle v nbsp auf die durch a displaystyle a nbsp aufgespannte Gerade L a displaystyle L a nbsp v 0 v v a displaystyle v 0 v v a nbsp das dazu senkrechte Lot von v displaystyle v nbsp auf die Achse L a displaystyle L a nbsp v 1 1 a a v 0 displaystyle v 1 frac 1 a a times v 0 nbsp der Vektor der aus v 0 displaystyle v 0 nbsp durch Rotation um 90 um die Achse L a displaystyle L a nbsp entsteht Insgesamt zeigt die Formel dass durch das Exponential des Kreuzproduktes der Vektor v displaystyle v nbsp um die durch a displaystyle a nbsp definierte Achse rotiert wird mit der Norm von a displaystyle a nbsp als Winkelgeschwindigkeit Schiefsymmetrischer Tensor BearbeitenTensoren sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur und Ingenieurwissenschaften insbesondere in der Kontinuumsmechanik da sie neben dem Zahlenwert und der Einheit auch noch Informationen uber Orientierungen im Raum enthalten Anm 1 Die Komponenten des Tensors verweisen auf Tupel von Basisvektoren die durch das dyadische Produkt verknupft sind Der Anschaulichkeit halber beschrankt sich die allgemeine Darstellung hier auf den reellen dreidimensionalen Vektorraum nicht zuletzt auch wegen seiner besonderen Relevanz in den Natur und Ingenieurwissenschaften Hier sind alle schiefsymmetrischen Tensoren auch alternierend Alles was oben uber reelle schiefsymmetrische Matrizen als Ganzes geschrieben steht lasst sich auf schiefsymmetrische Tensoren zweiter Stufe ubertragen Insbesondere haben auch sie in drei Dimensionen einen verschwindenden und zwei konjugierte imaginare Eigenwerte Schiefsymmetrischen Tensoren zweiter Stufe wird auch ein dualer axialer Vektor zugeordnet der das Tensorprodukt durch das Kreuzprodukt darstellt Deshalb ist dieser duale axiale Vektor der zum Eigenwert 0 gehorende Eigenvektor Koeffizientenmatrix von schiefsymmetrischen Tensoren 2 Stufe Bearbeiten Nicht ohne Weiteres lassen sich die Aussagen uber die Eintrage in den Matrizen auf Tensoren ubertragen denn bei letzteren hangen sie von den verwendeten Basen ab Nur bezuglich der Standardbasis oder allgemeiner einer Orthonormalbasis konnen Tensoren zweiter Stufe mit einer Matrix identifiziert werden Jeder Tensor zweiter Stufe kann bezuglich zweier Vektorraumbasen a 1 2 3 displaystyle vec a 1 2 3 nbsp und b 1 2 3 displaystyle vec b 1 2 3 nbsp als Summe T i j 1 3 T i j a i b j displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij vec a i otimes vec b j nbsp geschrieben werden Bei der Transposition werden im dyadischen Produkt die Vektoren vertauscht Der transponierte Tensor ist somit T i j 1 3 T i j b j a i i j 1 3 T j i b i a j displaystyle mathbf T top sum i j 1 3 T ij vec b j otimes vec a i sum i j 1 3 T ji vec b i otimes vec a j nbsp Eine mogliche Asymmetrie ist hier nicht einfach erkennbar jedenfalls genugt die Bedingung T i j T j i displaystyle T ij T ji nbsp nicht fur den Nachweis Die Diagonalelemente T i j displaystyle T ij nbsp mussen auch nicht notwendigerweise 0 sein Die Bedingung gilt jedoch bezuglich einer Orthonormalbasis e1 2 3 T i j 1 3 T i j e i e j T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 e i e j T T 11 T 21 T 31 T 12 T 22 T 32 T 13 T 23 T 33 e i e j displaystyle begin aligned mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j amp begin pmatrix T 11 amp T 12 amp T 13 T 21 amp T 22 amp T 23 T 31 amp T 32 amp T 33 end pmatrix hat e i otimes hat e j mathbf T top amp begin pmatrix T 11 amp T 21 amp T 31 T 12 amp T 22 amp T 32 T 13 amp T 23 amp T 33 end pmatrix hat e i otimes hat e j end aligned nbsp Hier kann die Asymmetrie T T displaystyle mathbf T mathbf T top nbsp aus der Koeffizientenmatrix abgelesen werden T i k T k i T i i 0 i k 1 2 3 displaystyle T ik T ki T ii 0 quad i k 1 2 3 nbsp Dies gilt auch bezuglich einer allgemeinen nicht orthonormalen kontravarianten Anm 2 Basis ĝ1 2 3 Anm 3 T i j 1 3 T i j g i g j T i j 1 3 T i j g j g i i j 1 3 T j i g i g j displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat g i otimes hat g j quad mathbf T top sum i j 1 3 T ij hat g j otimes hat g i sum i j 1 3 T ji hat g i otimes hat g j nbsp Soll der zweite Tensor gleich dem ersten sein dann folgt auch hier die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix T i j T j i T i i 0 i j 1 2 3 displaystyle T ij T ji T ii 0 i j 1 2 3 nbsp In obiger Form wird der Tensor kovariant genannt Beim kontravarianten Tensor wird die duale Basis benutzt sodass T i j 1 3 T i j g i g j displaystyle mathbf T textstyle sum i j 1 3 T ij hat g i otimes hat g j nbsp Fur ihn folgt die Asymmetrie der Koeffizientenmatrix und die 0 auf der Diagonalen wie beim kovarianten Tensor Beim gemischtvarianten Tensor werden beide Basen benutzt T i j 1 3 T i j g i g j T i j 1 3 T i j g j g i i j 1 3 T j i g i g j displaystyle begin aligned mathbf T amp sum i j 1 3 T i j hat g i otimes hat g j mathbf T top amp sum i j 1 3 T i j hat g j otimes hat g i sum i j 1 3 T j i hat g i otimes hat g j end aligned nbsp Die gemischtvariante Koeffizientenmatrix ist beim gemischtvarianten Tensor im Allgemeinen nicht schiefsymmetrisch Besagtes gilt entsprechend auch fur schiefsymmetrische gemischtvariante Tensoren der Form T i j 1 3 T i j g i g j displaystyle textstyle mathbf T sum i j 1 3 T i j hat g i otimes hat g j nbsp Invarianz der Symmetrieeigenschaft Bearbeiten Die Asymmetrie eines Tensors ist von Basiswechseln unberuhrt Das ist daran ersichtlich dass die Vektorinvariante die ausschliesslich vom schiefsymmetrischen Anteil bestimmt wird invariant gegenuber Basiswechseln ist Kofaktor Bearbeiten Siehe auch Minor Mathematik Kofaktormatrix Jeder Tensor zweiter Stufe hat einen Kofaktor cof T T T I 1 T T I 2 T 1 displaystyle operatorname cof mathbf T mathbf T top cdot T top operatorname I 1 mathbf T mathbf T top operatorname I 2 mathbf T mathbf 1 nbsp wo I 1 2 displaystyle operatorname I 1 2 nbsp die ersten beiden Hauptinvarianten sind und 1 der Einheitstensor ist Beim schiefsymmetrischen Tensor ist speziell cof T T T I 2 T 1 T T 1 2 Sp T T 1 u u displaystyle operatorname cof mathbf T mathbf T cdot T operatorname I 2 mathbf T mathbf 1 mathbf T cdot T frac 1 2 operatorname Sp mathbf T cdot T mathbf 1 vec u otimes vec u nbsp worin u displaystyle vec u nbsp sein dualer axialer Vektor ist Dualer axialer Vektor Vektorinvariante und Kreuzprodukt Bearbeiten Zu einem schiefsymmetrischen Tensor T gibt es einen dualen axialen Vektor T A displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf T nbsp fur den gilt T v T A v displaystyle mathbf T cdot vec v stackrel A overrightarrow mathbf T times vec v nbsp fur alle v V displaystyle vec v in mathbb V nbsp Der duale axiale Vektor ist proportional zur Vektorinvariante T A 1 2 i T displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf T frac 1 2 vec operatorname imath mathbf T nbsp und berechnet sich mit dem Kreuzprodukt von Tensoren T A 1 2 T 1 displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf T frac 1 2 mathbf T times mathbf 1 nbsp In einem kartesischen Koordinatensystem hat man wie bei Matrizen i j 1 3 T i j e i e j A 1 2 i j 1 3 T i j e i e j 1 2 T 32 T 23 T 13 T 31 T 21 T 12 e i displaystyle stackrel A overrightarrow sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j frac 1 2 sum i j 1 3 T ij hat e i times hat e j frac 1 2 begin pmatrix T 32 T 23 T 13 T 31 T 21 T 12 end pmatrix hat e i nbsp Invarianten Bearbeiten Hauptinvarianten Bearbeiten Die Hauptinvarianten eines schiefsymmetrischen Tensors lauten I 1 T Sp T 0 I 2 T 1 2 Sp T 2 Sp T T 1 2 Sp T T u u I 3 T det T 0 displaystyle begin aligned operatorname I 1 mathbf T amp operatorname Sp mathbf T 0 operatorname I 2 mathbf T amp frac 1 2 left operatorname Sp mathbf T 2 operatorname Sp mathbf T cdot mathbf T right frac 1 2 operatorname Sp mathbf T cdot mathbf T vec u cdot vec u operatorname I 3 mathbf T amp operatorname det mathbf T 0 end aligned nbsp worin u displaystyle vec u nbsp sein dualer axialer Vektor ist Betrag Bearbeiten Der Betrag eines Tensors definiert mit der Frobeniusnorm T Sp T T displaystyle left mathbf T right sqrt operatorname Sp mathbf T top cdot mathbf T nbsp lasst sich bei schiefsymmetrischen Tensoren mit der zweiten Hauptinvariante I 2 displaystyle operatorname I 2 nbsp darstellen I 2 1 2 Sp T T 1 2 Sp T T 1 2 T 2 T 2 I 2 Sp T T 2 u displaystyle begin aligned operatorname I 2 amp frac 1 2 operatorname Sp mathbf T cdot mathbf T frac 1 2 operatorname Sp mathbf T top cdot mathbf T frac 1 2 left mathbf T right 2 Rightarrow quad left mathbf T right amp sqrt 2 operatorname I 2 sqrt operatorname Sp mathbf T cdot mathbf T sqrt 2 vec u end aligned nbsp worin u displaystyle vec u nbsp sein dualer axialer Vektor ist Einzelnachweise bezuglich Tensoren Bearbeiten H Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 22 Fur die Begriffe kovariant und kontravariant siehe Konvektive Koordinaten oder Krummlinige Koordinaten Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 S 208 doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Siehe auch BearbeitenSymmetrische Matrix Schiefhermitesche MatrixLiteratur BearbeitenD A Suprunenko Skew symmetric matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Peter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin u a 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Normdaten Sachbegriff GND 4288298 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schiefsymmetrische Matrix amp oldid 223570664