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Rodrigues Formel Die benannt nach Olinde Rodrigues ist eine Formel für die Exponentialfunktion einer antisymmetrischen 3

Rodrigues-Formel

Die Rodrigues-Formel, benannt nach Olinde Rodrigues, ist eine Formel für die Exponentialfunktion einer antisymmetrischen 3×3-Matrix, welche in Matrixform ein Kreuzprodukt beschreibt. Sie lautet:

Dabei bezeichnet die 3×3-Einheitsmatrix.

Ihre Hauptanwendung liegt darin, dass das Ergebnis eine Drehung um die Achse mit Winkel als Matrix beschreibt.

Herleitung Bearbeiten

Die Exponentialfunktion lässt sich in eine unendliche Reihe, die für alle Werte aus absolut konvergiert, darstellen als:

Die Gleichung kann auch für beliebige quadratische Matrizen angewendet werden. Eine, die sich wegen ihrer besonderen Eigenschaften dafür eignet ist die Matrix des Kreuzproduktes. Sie lautet für den dreidimensionalen, reellen Raum :

Durch Ausmultiplizieren erhält man folgende Formel:

wobei die Länge des Vektors ist. Das bedeutet, dass man Potenzen der Matrix stets auf Potenzen mit Exponenten kleiner 3 reduzieren kann. Daher sind diese Matrizen für das Einsetzen in Potenzreihen geeignet.

Für Sinus und Cosinus gibt es ebenfalls Taylorentwicklungen. Sie lauten:

Diese Gleichungen können kombiniert werden: Terme mit geradem Exponenten können durch die Cosinus-Entwicklung und Terme mit ungeradem Exponenten durch die Sinus-Entwicklung ersetzt werden. Nach einigen Vereinfachungen erhält man die Rodrigues-Gleichung.

Eigenschaften Bearbeiten

Sei . Dann gilt:

Anwendung Bearbeiten

Vor allem in der Robotik und in der Computergrafik spielt die Rodrigues-Formel eine Rolle. Es existiert immer ein Koordinatensystem, definiert durch , in dem für einen Vektor gilt:

Das bedeutet, dass die Matrix eine Rotation um die Achse repräsentiert. Der Drehwinkel ist dabei , also die Länge des Vektors.

Literatur Bearbeiten

  • M. E. H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Cambridge University Press, Cambridge UK 2005, ISBN 0-521-78201-5.
  • O. Faugeras: Three-Dimensional Computer Vision - A Geometric Viewpoint. MIT Press, Cambridge MA 1993, ISBN 0-262-06158-9.
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Die Rodrigues Formel benannt nach Olinde Rodrigues ist eine Formel fur die Exponentialfunktion einer antisymmetrischen 3 3 Matrix welche in Matrixform ein Kreuzprodukt beschreibt Sie lautet exp a I sin a a a 1 cos a a a 2 displaystyle exp a times I sin a begin bmatrix dfrac a a end bmatrix times 1 cos a begin bmatrix dfrac a a end bmatrix times 2 Dabei bezeichnet I displaystyle I die 3 3 Einheitsmatrix Ihre Hauptanwendung liegt darin dass das Ergebnis eine Drehung um die Achse a displaystyle a mit Winkel a displaystyle a als Matrix beschreibt Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Eigenschaften 3 Anwendung 4 LiteraturHerleitung BearbeitenDie Exponentialfunktion lasst sich in eine unendliche Reihe die fur alle Werte aus R displaystyle mathbb R nbsp absolut konvergiert darstellen als exp x n 0 x n n displaystyle exp x sum n 0 infty frac x n n nbsp Die Gleichung kann auch fur beliebige quadratische Matrizen angewendet werden Eine die sich wegen ihrer besonderen Eigenschaften dafur eignet ist die Matrix des Kreuzproduktes Sie lautet fur den dreidimensionalen reellen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp a a 1 a 2 a 3 a 0 a 3 a 2 a 3 0 a 1 a 2 a 1 0 displaystyle vec a begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix qquad a times begin pmatrix 0 amp a 3 amp a 2 a 3 amp 0 amp a 1 a 2 amp a 1 amp 0 end pmatrix nbsp Durch Ausmultiplizieren erhalt man folgende Formel a 3 a a a a 2 a displaystyle a times 3 a times cdot a times cdot a times a 2 cdot a times nbsp wobei a a 1 2 a 2 2 a 3 2 displaystyle a sqrt a 1 2 a 2 2 a 3 2 nbsp die Lange des Vektors a displaystyle a nbsp ist Das bedeutet dass man Potenzen der Matrix a displaystyle a times nbsp stets auf Potenzen mit Exponenten kleiner 3 reduzieren kann Daher sind diese Matrizen fur das Einsetzen in Potenzreihen geeignet Fur Sinus und Cosinus gibt es ebenfalls Taylorentwicklungen Sie lauten sin x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 x 1 x 3 3 x 5 5 displaystyle sin x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 1 2n 1 frac x 1 frac x 3 3 frac x 5 5 cdots nbsp cos x n 0 1 n x 2 n 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 cdots nbsp Diese Gleichungen konnen kombiniert werden Terme mit geradem Exponenten konnen durch die Cosinus Entwicklung und Terme mit ungeradem Exponenten durch die Sinus Entwicklung ersetzt werden Nach einigen Vereinfachungen erhalt man die Rodrigues Gleichung Eigenschaften BearbeitenSei R a exp a displaystyle R a exp a times nbsp Dann gilt R a R a 1 R a T displaystyle R a R a 1 R a T nbsp R a a a displaystyle R a cdot a a nbsp Anwendung BearbeitenVor allem in der Robotik und in der Computergrafik spielt die Rodrigues Formel eine Rolle Es existiert immer ein Koordinatensystem definiert durch e 1 e 2 a a displaystyle left e 1 e 2 dfrac a a right nbsp in dem fur einen Vektor a displaystyle vec a nbsp gilt a 0 0 a displaystyle vec a begin pmatrix 0 0 alpha end pmatrix nbsp Das bedeutet dass die Matrix exp a displaystyle exp a times nbsp eine Rotation um die Achse a a displaystyle dfrac a a nbsp reprasentiert Der Drehwinkel ist dabei a displaystyle a nbsp also die Lange des Vektors Literatur BearbeitenM E H Ismail Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable Cambridge University Press Cambridge UK 2005 ISBN 0 521 78201 5 O Faugeras Three Dimensional Computer Vision A Geometric Viewpoint MIT Press Cambridge MA 1993 ISBN 0 262 06158 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rodrigues Formel amp oldid 189556722