Die duale Basis ist ein Begriff aus der linearen Algebra der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums V displaystyle V wird eine zugehorige duale Basis des Dualraums V displaystyle V konstruiert Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums V displaystyle V wird eine weitere zur ersten duale Basis von V displaystyle V konstruiert die auch reziproke Basis genannt wird 1 Letzteres ist der in Naturwissenschaft und Technik haufig auftretende Spezialfall V I d V displaystyle V stackrel Id V des ersten Falls und wird hier vorangestellt Die Einfuhrung von zwei reziproken Basissystemen erlaubt erweiterte algebraische Moglichkeiten sowie kompakte oder symmetrische und daher auch elegante Formulierungen vieler Beziehungen 1 116Der zweite Abschnitt Duale Basis im Dualraum V behandelt den mathematisch aufwandigeren allgemeinen Fall Inhaltsverzeichnis 1 Duale Basis im euklidischen Vektorraum V 1 1 Komponenten von Vektoren 1 2 Berechnung der reziproken Basis 1 3 Spezialfall R3 1 4 Anwendung aus der Kristallographie 1 5 Formale Definition und Berechnung 1 6 Verallgemeinerung auf pseudo riemannsche Metrik 2 Duale Basis im Dualraum V 2 1 Definition 2 2 Beispiel 2 3 Verhalten bei Basiswechsel 2 4 Berechnung bezuglich einer festen Basis 2 5 Tensor Schreibweise 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise 5 QuellenDuale Basis im euklidischen Vektorraum V BearbeitenDie duale Basis wird auch reziproke Basis genannt denn Vektorsatze werden zueinander reziprok genannt wenn die Vektoren des einen Satzes jeweils senkrecht stehen auf denjenigen Vektoren des anderen Satzes die abweichende Indizes haben Bei gleich indizierten Vektoren wird Eins gefordert Wolfgang Werner 1 Mathematisch ausgedruckt mit Basisvektoren g 1 g 2 g n displaystyle vec g 1 vec g 2 ldots vec g n nbsp und reziproker Basis g 1 g 2 g n displaystyle vec g 1 vec g 2 ldots vec g n nbsp eines n dimensionalen euklidischen Vektorraums V bedeutet das g i g j d i j 1 falls i j 0 sonst displaystyle vec g i cdot vec g j delta i j begin cases 1 amp text falls i j 0 amp text sonst end cases nbsp mit dem Skalarprodukt des Vektorraums und dem Kronecker Delta d displaystyle delta nbsp Dies ist die Ubertragung der definierenden Eigenschaften einer Orthonormalbasis auf eine schiefwinklige Basis Bei einer Orthonormalbasis ist die reziproke Basis identisch zur gegebenen Basis Komponenten von Vektoren Bearbeiten Die reziproke Basis wird vor allem dazu verwendet die Koeffizienten und Komponenten von Vektoren und Tensoren zu berechnen beispielsweise v i 1 n v i g i v g i j 1 n v j g j g i j 1 n v j d j i v i v i 1 n v g i g i displaystyle vec v sum i 1 n v i vec g i rightarrow vec v cdot vec g i left sum j 1 n v j vec g j right cdot vec g i sum j 1 n v j delta j i v i rightarrow vec v sum i 1 n vec v cdot vec g i vec g i nbsp v i 1 n v i g i v g i j 1 n v j g j g i j 1 n v j d i j v i v i 1 n v g i g i displaystyle vec v sum i 1 n v i vec g i rightarrow vec v cdot vec g i left sum j 1 n v j vec g j right cdot vec g i sum j 1 n v j delta i j v i rightarrow vec v sum i 1 n vec v cdot vec g i vec g i nbsp Insbesondere fur die Basisvektoren ergibt sich 1 143 g i j 1 n g i g j g j g i j 1 n g i g j g j displaystyle vec g i sum j 1 n left vec g i cdot vec g j right vec g j quad vec g i sum j 1 n left vec g i cdot vec g j right vec g j nbsp Die auftretenden Skalarprodukte g i j g i g j displaystyle g ij vec g i cdot vec g j nbsp und g i j g i g j displaystyle g ij vec g i cdot vec g j nbsp sind die Metrikkoeffizienten des Vektorraums Sie haben ihren Namen daher dass mit ihrer Hilfe geometrische Eigenschaften wie Lange Abstand und Winkel gemessen werden konnen beispielsweise g j g j j cos g i g j g i j g i i g j j displaystyle vec g j sqrt g jj quad cos vec g i vec g j frac g ij sqrt g ii g jj nbsp wo cos a b den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren a und b ausgibt Durch eine Abstandsdefinition wie z B den euklidischen Abstand wird die Metrik des Raumes bestimmt 1 115 Siehe auch Tensor Schreibweise und Krummlinige Koordinaten Berechnung der reziproken Basis Bearbeiten Werden die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix eingelagert A g 1 g 2 g n displaystyle A begin pmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp dots amp vec g n end pmatrix nbsp dann finden sich die reziproken Basisvektoren in den Zeilen der Inversen A 1 displaystyle A 1 nbsp oder den Spalten der transponiert inversen Matrix A 1 g 1 g 2 g n displaystyle A top 1 begin pmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp dots amp vec g n end pmatrix nbsp Mit der Standardbasis e1 2 n und dem dyadischen Produkt schreibt sich das A j 1 n g j e j A 1 i 1 n e i g i A 1 i 1 n g i e i displaystyle A sum j 1 n vec g j otimes hat e j A 1 sum i 1 n hat e i otimes vec g i A top 1 sum i 1 n vec g i otimes hat e i nbsp denn A 1 A i 1 n e i g i j 1 n g j e j i j 1 n e i d j i e j i 1 n e i e i E n displaystyle A 1 A left sum i 1 n hat e i otimes vec g i right left sum j 1 n vec g j otimes hat e j right sum i j 1 n hat e i otimes delta j i hat e j sum i 1 n hat e i otimes hat e i E n nbsp wo E n displaystyle E n nbsp fur die Einheitsmatrix steht Bemerkenswert ist E n A A 1 j 1 n g j e j i 1 n e i g i i j 1 n g j d j i g i i 1 n g i g i E n i 1 n g i g i displaystyle begin array rll E n amp AA 1 amp displaystyle left sum j 1 n vec g j otimes hat e j right left sum i 1 n hat e i otimes vec g i right sum i j 1 n vec g j otimes delta ji vec g i sum i 1 n vec g i otimes vec g i amp E n top amp displaystyle sum i 1 n vec g i otimes vec g i end array nbsp Spezialfall R3 Bearbeiten Im Vektorraum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit Standardskalarprodukt und Kreuzprodukt findet sich mit obiger Gleichung und der Formel fur Matrizeninversion g 1 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 g 2 g 3 g 1 g 2 g 3 g 1 g 3 g 1 g 1 g 2 g 3 g 3 g 1 g 2 g 3 g 1 g 2 g 1 g 2 g 1 g 2 g 3 displaystyle begin aligned vec g 1 amp frac vec g 2 times vec g 3 vec g 1 cdot vec g 2 times vec g 3 frac vec g 2 times vec g 3 begin vmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end vmatrix vec g 2 amp frac vec g 3 times vec g 1 vec g 2 cdot vec g 3 times vec g 1 frac vec g 3 times vec g 1 begin vmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end vmatrix vec g 3 amp frac vec g 1 times vec g 2 vec g 3 cdot vec g 1 times vec g 2 frac vec g 1 times vec g 2 begin vmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end vmatrix end aligned nbsp Im Nenner der Bruche steht das mit den Basisvektoren gebildete Spatprodukt das invariant gegenuber einer zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist und das gleich der Determinante der Matrix ist die aus den Basisvektoren gebildet wird Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich Anwendung aus der Kristallographie Bearbeiten Die Bestimmung dieser dualen Basis im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig Dort bilden die primitiven Gittervektoren a 1 a 2 a 3 displaystyle vec a 1 vec a 2 vec a 3 nbsp eine i A nicht orthonormale Basis des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis b i displaystyle vec b i nbsp und primitiven Gittervektoren a j displaystyle vec a j nbsp ist in der kristallographischen Konvention b i a j d i j displaystyle vec b i cdot vec a j delta ij nbsp b 1 b 2 b 3 displaystyle vec b 1 vec b 2 vec b 3 nbsp ist also die zu a 1 a 2 a 3 displaystyle vec a 1 vec a 2 vec a 3 nbsp duale Basis im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Beispiel Die primitiven Gittervektoren des kubisch flachenzentrierten fcc Gitters lauten a 1 a 2 e y e z displaystyle vec a 1 frac a 2 left hat e y hat e z right nbsp a 2 a 2 e x e z displaystyle vec a 2 frac a 2 left hat e x hat e z right nbsp a 3 a 2 e x e y displaystyle vec a 3 frac a 2 left hat e x hat e y right nbsp Obige Gleichungen fur den R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ergeben b 1 1 a e x e y e z displaystyle vec b 1 frac 1 a left hat e x hat e y hat e z right nbsp b 2 1 a e x e y e z displaystyle vec b 2 frac 1 a left hat e x hat e y hat e z right nbsp b 3 1 a e x e y e z displaystyle vec b 3 frac 1 a left hat e x hat e y hat e z right nbsp Diese bilden ein kubisch raumzentriertes bcc Gitter Formale Definition und Berechnung Bearbeiten Sei a 1 a n displaystyle vec a 1 dotsc vec a n nbsp eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums V displaystyle V nbsp Die dazu duale Basis a 1 a n displaystyle vec a 1 dotsc vec a n nbsp in V displaystyle V nbsp ist definiert durch die Eigenschaft a i a j d i j displaystyle vec a i cdot vec a j delta ij nbsp Hierbei bezeichnet displaystyle cdot nbsp das Skalarprodukt Weiter sei e 1 e n displaystyle hat e 1 dotsc hat e n nbsp eine Orthonormalbasis in V displaystyle V nbsp a j k A k j e k displaystyle textstyle vec a j sum k A kj hat e k nbsp beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix A displaystyle A nbsp Durch Vergleichen von k A i k 1 e k a j k A i k 1 A k j d i j displaystyle left sum k A ik 1 hat e k right cdot vec a j sum k A ik 1 A kj delta ij nbsp mit a i a j d i j displaystyle vec a i cdot vec a j delta ij nbsp ergibt sich a i k A i k 1 e k displaystyle vec a i sum k A ik 1 hat e k nbsp Mit dem dyadischen Produkt displaystyle otimes nbsp schreibt sich das wie eingangs angegeben Verallgemeinerung auf pseudo riemannsche Metrik Bearbeiten Im endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp mit pseudo riemannscher Metrik g displaystyle g nbsp und einer Basis e 1 e n displaystyle vec e 1 dotsc vec e n nbsp betrachte den Dualvektor a i displaystyle alpha i nbsp definiert durch a i v e 1 e 2 e n e 1 e 2 e i 1 v e i 1 e n displaystyle alpha i vec v e 1 wedge e 2 wedge dotsc wedge e n vec e 1 vec e 2 dotsc vec e i 1 vec v vec e i 1 dotsc vec e n nbsp Dann gilt g e i e j d i j displaystyle g vec e i vec e j delta ij nbsp mit e i a i displaystyle vec e i sharp alpha i nbsp Dabei ist e i displaystyle e i nbsp der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung displaystyle wedge nbsp das aussere Produkt und displaystyle sharp nbsp der durch die pseudo riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen V displaystyle V nbsp und V displaystyle V nbsp Duale Basis im Dualraum V BearbeitenDefinition Bearbeiten Es sei V displaystyle V nbsp ein n displaystyle n nbsp dimensionaler Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp In Anwendungen ist der Korper oft R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp Weiter sei e 1 e n displaystyle e 1 dotsc e n nbsp eine Basis von V displaystyle V nbsp Dann gibt es zu jedem i 1 n displaystyle i in 1 dots n nbsp genau eine lineare Abbildung e i V K displaystyle e i V rightarrow K nbsp mit e i e i 1 displaystyle e i e i 1 nbsp und e i e j 0 displaystyle e i e j 0 nbsp fur j i displaystyle j neq i nbsp denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt Die so definierten e i displaystyle e i nbsp bilden eine Basis e 1 e n displaystyle e 1 dotsc e n nbsp des Dualraums V displaystyle V nbsp welche zur Basis von V displaystyle V nbsp dual ist Mit der Kronecker Delta Schreibweise ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis e i e j d i j displaystyle e i e j delta ij nbsp Beispiel Bearbeiten Sei e 1 e 2 e 3 1 x x 2 displaystyle e 1 e 2 e 3 1 x x 2 nbsp die Monombasis des Vektorraums V P 2 displaystyle V mathbb P 2 nbsp der Polynome mit maximalem Grad 2 Wir definieren den Dualraum bezuglich des Skalarprodukts L 2 1 1 displaystyle langle cdot cdot rangle langle cdot cdot rangle L 2 1 1 nbsp Dann bilden die linearen Abbildungen e 1 e 2 e 3 15 8 x 2 9 8 3 2 x 45 8 x 2 15 8 displaystyle e 1 e 2 e 3 Big big langle cdot tfrac 15 8 x 2 tfrac 9 8 big rangle big langle cdot tfrac 3 2 x big rangle big langle cdot tfrac 45 8 x 2 tfrac 15 8 big rangle Big nbsp die duale Basis des V displaystyle V nbsp Verhalten bei Basiswechsel Bearbeiten Sei e 1 e n displaystyle e 1 dotsc e n nbsp eine Basis von V displaystyle V nbsp und e 1 e n displaystyle e 1 dotsc e n nbsp die zugehorige duale Basis Weiter sei a 1 a n displaystyle a 1 dotsc a n nbsp eine zweite Basis von V displaystyle V nbsp mit a j k A k j e k displaystyle a j sum k A kj e k nbsp Als Matrix eines Basiswechsels ist A displaystyle A nbsp invertierbar Die Komponenten der Inversen A 1 displaystyle A 1 nbsp seien mit A i k 1 displaystyle A ik 1 nbsp bezeichnet Ein Vergleich von k A i k 1 e k a j k A i k 1 A k j d i j displaystyle sum k A ik 1 e k a j sum k A ik 1 A kj delta ij nbsp mit der definierenden Eigenschaft a i a j d i j displaystyle a i a j delta ij nbsp ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis a i k A i k 1 e k displaystyle a i sum k A ik 1 e k nbsp Berechnung bezuglich einer festen Basis Bearbeiten Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n displaystyle n nbsp uber dem Korper K displaystyle K nbsp ist stets isomorph zum Koordinatenraum K n displaystyle K n nbsp der Spalten Vektoren mit Eintragen aus K displaystyle K nbsp Wahlt man als Isomorphismus e 1 1 0 0 displaystyle e 1 mapsto begin pmatrix 1 0 0 vdots end pmatrix nbsp e 1 1 0 0 displaystyle e 1 mapsto left 1 0 0 dotsc right nbsp usw wird a i displaystyle a i nbsp gemass obigem abgebildet auf die i te Zeile von A 1 displaystyle A 1 nbsp Tensor Schreibweise Bearbeiten Im Tensor Formalismus der Relativitatstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes wie etwa eines Tangentialraums mit oberen Indizes e i i displaystyle e i i nbsp nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten Vektoren Die zugehorige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen Vektoren Diese schreibt man dann mit unteren Indizes e i i displaystyle e i i nbsp Die definierende Bedingung lautet dann e j e i d i j displaystyle e j e i delta i j nbsp Der Grund fur diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel Ist L displaystyle L nbsp die lineare Transformation die eine Basis e i i displaystyle e i i nbsp auf eine andere e i i displaystyle e i i nbsp abbildet so gilt d i j e j e i e j L 1 L e i e j L 1 e i displaystyle delta i j e j e i e j L 1 Le i e j L 1 e i nbsp und man liest ab dass sich die duale Basis mittels L 1 displaystyle L 1 nbsp transformiert Betrachtet man Koordinaten bezuglich der Basen so findet man ahnliche Verhaltnisse Ist etwa L l j i displaystyle L l j i nbsp und ist L 1 l j i displaystyle L 1 tilde l j i nbsp so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention fur einen Vektor v l i e i displaystyle v lambda i e i nbsp v l i e i l i d j i e j l i l k i l j k e j l i l k i e k displaystyle v lambda i e i lambda i delta j i e j lambda i tilde l k i l j k e j lambda i tilde l k i e k nbsp Der Koeffizient von v displaystyle v nbsp zum Basisvektor e k displaystyle e k nbsp ist also l i l k i displaystyle lambda i tilde l k i nbsp das heisst die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix Generell schreibt man alle kontravarianten Grossen die sich mittels L displaystyle L nbsp transformieren mit oberen Indizes und alle kovarianten Grossen die sich gegenlaufig also mittels L 1 displaystyle L 1 nbsp transformieren mit unteren Indizes Siehe auch BearbeitenDualraumEinzelnachweise Bearbeiten a b c d e Wolfgang Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Tensoralgebra und Tensoranalysis Band 1 Springer Vieweg Verlag Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25271 7 S 81 doi 10 1007 978 3 658 25272 4 Quellen BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Verlag ISBN 3 528 97217 3 Hans Stephani Allgemeine Relativitatstheorie Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1991 ISBN 3 326 00083 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Duale Basis amp oldid 236071881
