Eine alternierende Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die schiefsymmetrisch ist und deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. In einem Körper mit Charakteristik ungleich zwei folgt die zweite Bedingung aus der ersten, weshalb alternierende Matrizen häufig mit schiefsymmetrischen Matrizen gleichgesetzt werden. Alternierende Matrizen werden in der linearen Algebra zur Charakterisierung alternierender Bilinearformen verwendet. Die Determinante einer alternierenden Matrix gerader Größe kann mit Hilfe ihrer pfaffschen Determinante angegeben werden.
Definition Bearbeiten
Eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem beliebigen Körper heißt alternierend, wenn
für und
für gilt. Eine alternierende Matrix ist demnach eine schiefsymmetrische Matrix, deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind. Ist die Charakteristik des Körpers ungleich zwei, dann folgt die zweite Bedingung aus der ersten, in einem Körper mit Charakteristik zwei gilt dies jedoch nicht.
Beispiele Bearbeiten
In den folgenden Beispielen sei der endliche Körper der Restklassen modulo , wobei die Restklasse der geraden Zahlen, und die Restklasse der ungeraden Zahlen repräsentiere. In diesem Körper gilt , er hat also die Charakteristik . Die beiden alternierenden Matrizen der Größe mit Einträgen aus diesem Körper sind
und die insgesamt acht alternierenden Matrizen der Größe sind
In diesem Körper sind die schiefsymmetrischen Matrizen gerade die symmetrischen Matrizen, die auch Einsen auf der Diagonale aufweisen dürfen.
Eigenschaften Bearbeiten
Bilinearformen Bearbeiten
Die Bilinearform zu einer alternierenden Matrix ist alternierend, das heißt,
für alle . Umgekehrt ist in einem endlichdimensionalen Vektorraum die Darstellungsmatrix
einer alternierenden Bilinearform bezüglich einer beliebigen Basis stets eine alternierende Matrix.
Rang Bearbeiten
Der Rang einer alternierenden Matrix ist stets gerade. Weiter existiert eine reguläre Matrix , sodass nach Kongruenztransformation
gilt, wobei die Einheitsmatrix der Größe ist. Eine alternative Normaldarstellung ist
mit genau Blöcken der Form .
Determinante Bearbeiten
Ist gerade, dann kann die Determinante einer alternierenden Matrix mit Hilfe der pfaffschen Determinante durch
angegeben werden. Ist ungerade, dann gilt stets
Für weitere Eigenschaften alternierender Matrizen siehe Schiefsymmetrische Matrix#Eigenschaften.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Leslie Hogben (Hrsg.): Handbook of Linear Algebra. CRC Press, 2006, ISBN 978-1-4200-1057-2.
- Erich Lamprecht: Lineare Algebra. Band 2. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-7680-3.
- Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluss der linearen Algebra. Band 2. Vieweg, 1988, ISBN 978-3-322-80092-3.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Erich Lamprecht: Lineare Algebra 2. Springer, 2013, S. 77.
- Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. 2. Band. Vieweg, 1988, S. 365.
- ↑ Leslie Hogben (Hrsg.): Handbook of Linear Algebra. CRC Press, 2006, S. 12-5.
- Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluss der linearen Algebra. Band 2. Vieweg, 1988, S. 391.