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Rang Mathematik Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Hier wird der Rang einer Matrix behandelt für den Rang einer ab

Rang (Mathematik)

Der Rang ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer Matrix oder einer linearen Abbildung zu. Übliche Schreibweisen sind und . Seltener werden auch die englischen Schreibweisen und benutzt.

Definition Bearbeiten

Spaltenvektoren einer Matrix
  • Für eine Matrix definiert man den Zeilenraum als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus . Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Analog definiert man den Spaltenraum und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren. Man kann für Matrizen mit Einträgen aus einem Körper zeigen, dass der Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist, und spricht deshalb vom (wohldefinierten) Rang der Matrix. Dies gilt für Matrizen über Ringen nicht im Allgemeinen.
  • Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hülle.
  • Bei einer linearen Abbildung ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert:

Eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix besitzen den gleichen Rang.

Berechnung Bearbeiten

Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in (Zeilen-)Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Beispiele:

Alternativ lässt sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen. Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind.

Normalform Bearbeiten

Mit dem zur Berechnung angewandten Verfahren kann jede Matrix in eine gleich große Matrix überführt werden, die in der oberen linken Ecke eine Einheitsmatrix E gleichen Ranges und sonst nur Nullen enthält:

 E     0 
 0     0 

Die Transformation der Matrix M

mit regulären Matrizen L und R auf Normalform N gelingt immer.

Beispiel: Vorgelegt ist die Matrix

Ihre Transformation auf Normalform geschieht mit

Die Matrizen L und R sind regulär, denn ihre Determinanten sind ungleich null:

Quadratische Matrizen Bearbeiten

Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist regulär (invertierbar). Diese Eigenschaft lässt sich auch anhand ihrer Determinante feststellen. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw. keiner ihrer Eigenwerte null ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Seien im Folgenden .

  • Die einzige Matrix mit Rang ist die Nullmatrix  . Die -Einheitsmatrix hat den vollen Rang .
  • Für den Rang einer -Matrix gilt:
Man sagt, dass die Matrix vollen Rang hat, wenn in dieser Ungleichung die Gleichheit gilt.
  • Erweiterung: Der Rang einer Matrix und der zugehörigen Gram-Matrix sind gleich, falls eine reelle Matrix ist:
  • Subadditivität: Für zwei -Matrizen und gilt:
  • Rangungleichungen von Sylvester: Für eine -Matrix und eine -Matrix gilt:
  • Bedingung nach Fontené, Rouché und Frobenius: Ein lineares Gleichungssystem ist lösbar genau dann, wenn gilt bzw. (äquivalent dazu) .
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Spaltenrang hat:
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat:
  • Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn die Abbildungsmatrix regulär (invertierbar) ist, denn dann existiert die Umkehrabbildung mit Abbildungsmatrix . Das ist genau dann der Fall, wenn quadratisch ist () und vollen Rang hat:
  • Rangsatz für lineare Abbildungen: Für den Rang und Defekt (Dimension des Kerns) einer linearen Abbildung aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum gilt der Zusammenhang

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Serge Lang: Algebra 3. Auflage. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  2. Falko Lorenz: Lineare Algebra I. 3. Auflage. Spektrum, Heidelberg 1992, ISBN 3-411-15193-5.
  3. R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 66.
  4. Thomas Steinfeld: Normalform einer Matrix. In: Mathepedia. Abgerufen am 26. November 2021.

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 13. Auflage. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden 2002, ISBN 3-528-97217-3.
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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Hier wird der Rang einer Matrix behandelt fur den Rang einer abelschen Gruppe siehe Rang einer abelschen Gruppe fur den einer freien Gruppe siehe Freie Gruppe Rang Der Rang ist ein Begriff aus der linearen Algebra Man ordnet ihn einer Matrix oder einer linearen Abbildung zu Ubliche Schreibweisen sind rang f displaystyle operatorname rang f und rg f displaystyle operatorname rg f Seltener werden auch die englischen Schreibweisen rank f displaystyle operatorname rank f und rk f displaystyle operatorname rk f benutzt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechnung 3 Normalform 4 Quadratische Matrizen 5 Eigenschaften 6 Einzelnachweise 7 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Spaltenvektoren einer MatrixFur eine Matrix A displaystyle A nbsp definiert man den Zeilenraum Z R A displaystyle ZR A nbsp als die lineare Hulle der Zeilenvektoren aus A displaystyle A nbsp Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang sie entspricht der Maximalzahl linear unabhangiger Zeilenvektoren 1 Analog definiert man den Spaltenraum S R A displaystyle SR A nbsp und den Spaltenrang durch die Spaltenvektoren Man kann fur Matrizen mit Eintragen aus einem Korper zeigen dass der Zeilen und Spaltenrang jeder Matrix gleich ist und spricht deshalb vom wohldefinierten Rang der Matrix Dies gilt fur Matrizen uber Ringen nicht im Allgemeinen Der Rang eines Systems aus endlich vielen Vektoren entspricht der Dimension seiner linearen Hulle 2 Bei einer linearen Abbildung f displaystyle f nbsp ist der Rang als Dimension des Bildes Bild f displaystyle operatorname Bild f nbsp dieser Abbildung definiert rang f dim Bild f displaystyle operatorname rang f dim operatorname Bild f nbsp Eine lineare Abbildung und die zugehorige Abbildungsmatrix besitzen den gleichen Rang Berechnung BearbeitenUm den Rang einer Matrix zu bestimmen formt man diese mittels des gaussschen Eliminationsverfahrens in eine aquivalente Matrix in Zeilen Stufenform um Die Anzahl der Zeilenvektoren die ungleich 0 sind entspricht dann dem Rang der Matrix Beispiele A 1 2 3 0 5 4 0 10 2 1 2 3 0 5 4 0 0 6 rang A 3 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 0 amp 5 amp 4 0 amp 10 amp 2 end pmatrix sim begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 0 amp 5 amp 4 0 amp 0 amp 6 end pmatrix Rightarrow operatorname rang A 3 nbsp B 1 2 3 0 6 4 0 3 2 1 2 3 0 6 4 0 0 0 rang B 2 displaystyle B begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 0 amp 6 amp 4 0 amp 3 amp 2 end pmatrix sim begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 0 amp 6 amp 4 0 amp 0 amp 0 end pmatrix Rightarrow operatorname rang B 2 nbsp C 2 3 0 1 4 1 2 3 0 1 0 0 rang C 2 displaystyle C begin pmatrix 2 amp 3 0 amp 1 4 amp 1 end pmatrix sim begin pmatrix 2 amp 3 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix Rightarrow operatorname rang C 2 nbsp Alternativ lasst sich die Matrix auch in Spaltenstufenform umformen Der Rang der Matrix entspricht dann der Anzahl der Spaltenvektoren die ungleich 0 sind Normalform BearbeitenMit dem zur Berechnung angewandten Verfahren kann jede Matrix in eine gleich grosse Matrix uberfuhrt werden die in der oberen linken Ecke eine Einheitsmatrix E gleichen Ranges und sonst nur Nullen enthalt 3 4 E 0 0 0 Die Transformation der Matrix M LMR Nmit regularen Matrizen L und R auf Normalform N gelingt immer Beispiel Vorgelegt ist die Matrix M 1 0 0 3 3 1 displaystyle mathsf M begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 3 amp 3 amp 1 end pmatrix nbsp Ihre Transformation auf Normalform geschieht mit L M R 1 0 2 1 1 0 0 3 3 1 1 0 0 0 1 1 1 2 3 1 0 0 0 1 0 displaystyle mathsf LMR begin pmatrix 1 amp 0 2 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 3 amp 3 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 1 1 amp 2 amp 3 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 end pmatrix nbsp Die Matrizen L und R sind regular denn ihre Determinanten sind ungleich null d e t L 1 0 2 1 1 d e t R 1 0 0 0 1 1 1 2 3 1 displaystyle mathrm det mathsf L begin vmatrix 1 amp 0 2 amp 1 end vmatrix 1 quad mathrm det mathsf R begin vmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 1 1 amp 2 amp 3 end vmatrix 1 nbsp Quadratische Matrizen BearbeitenIst der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen und Spaltenzahl hat sie vollen Rang und ist regular invertierbar Diese Eigenschaft lasst sich auch anhand ihrer Determinante feststellen Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang wenn ihre Determinante von null verschieden ist bzw keiner ihrer Eigenwerte null ist Eigenschaften BearbeitenSeien im Folgenden m n l N displaystyle m n l in mathbb N nbsp Die einzige Matrix mit Rang 0 displaystyle 0 nbsp ist die Nullmatrix 0 m n displaystyle 0 m n nbsp Die n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix E n displaystyle E n nbsp hat den vollen Rang n displaystyle n nbsp Fur den Rang einer m n displaystyle m times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp gilt rang A min m n displaystyle operatorname rang A leq min m n nbsp dd Man sagt dass die Matrix vollen Rang hat wenn in dieser Ungleichung die Gleichheit gilt Die Transponierte A T displaystyle A T nbsp einer Matrix A displaystyle A nbsp hat den gleichen Rang wie A displaystyle A nbsp rang A rang A T displaystyle operatorname rang A operatorname rang A T nbsp dd Erweiterung Der Rang einer Matrix A displaystyle A nbsp und der zugehorigen Gram Matrix sind gleich falls A displaystyle A nbsp eine reelle Matrix ist rang A rang A T A rang A A T rang A T displaystyle operatorname rang A operatorname rang A T A operatorname rang AA T operatorname rang A T nbsp Subadditivitat Fur zwei m n displaystyle m times n nbsp Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gilt rang A B rang A rang B displaystyle operatorname rang A B leq operatorname rang A operatorname rang B nbsp dd Rangungleichungen von Sylvester Fur eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp und eine n l displaystyle n times l nbsp Matrix B displaystyle B nbsp gilt rang A rang B n rang A B min rang A rang B displaystyle operatorname rang A operatorname rang B n leq operatorname rang A cdot B leq min left operatorname rang A operatorname rang B right nbsp dd Bedingung nach Fontene Rouche und Frobenius Ein lineares Gleichungssystem A x b displaystyle A cdot x b nbsp ist losbar genau dann wenn b S R A displaystyle b in SR A nbsp gilt bzw aquivalent dazu rang A rang A b displaystyle operatorname rang A operatorname rang A b nbsp Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv wenn die Abbildungsmatrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp vollen Spaltenrang hat rang A n displaystyle operatorname rang A n nbsp Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv wenn die Abbildungsmatrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp vollen Zeilenrang hat rang A m displaystyle operatorname rang A m nbsp Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv wenn die Abbildungsmatrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp regular invertierbar ist denn dann existiert die Umkehrabbildung mit Abbildungsmatrix A 1 displaystyle A 1 nbsp Das ist genau dann der Fall wenn A displaystyle A nbsp quadratisch ist m n displaystyle m n nbsp und vollen Rang hat rang A m n displaystyle operatorname rang A m n nbsp Rangsatz fur lineare Abbildungen Fur den Rang und Defekt Dimension des Kerns einer linearen Abbildung f displaystyle f nbsp aus einem n dimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp in einen m dimensionalen Vektorraum W displaystyle W nbsp gilt der Zusammenhangdim V rang f def f displaystyle dim V operatorname rang f operatorname def f nbsp dd Einzelnachweise Bearbeiten Serge Lang Algebra 3 Auflage Springer New York 2002 ISBN 0 387 95385 X Falko Lorenz Lineare Algebra I 3 Auflage Spektrum Heidelberg 1992 ISBN 3 411 15193 5 R Zurmuhl S Falk Matrizen und ihre Anwendungen 1 Grundlagen Fur Ingenieure Physiker und Angewandte Mathematiker Springer Berlin u a 1997 ISBN 3 540 61436 2 S 66 Thomas Steinfeld Normalform einer Matrix In Mathepedia Abgerufen am 26 November 2021 Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra 13 Auflage Vieweg Braunschweig Wiesbaden 2002 ISBN 3 528 97217 3 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