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Rangsatz Der oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Er zeigt einen Zusa

Rangsatz

Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf.

Satz Bearbeiten

Ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in einen Vektorraum , dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge , des Kerns und des Bildes der Abbildung die Gleichung

Verwendet man die Bezeichnungen Defekt für die Dimension des Kerns und Rang (von engl. rank) für die Dimension des Bildes der Abbildung , so lautet der Rangsatz:

Beweise Bearbeiten

Beweis über den Homomorphiesatz Bearbeiten

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz

Da der Faktorraum isomorph zu einem Komplementärraum von in ist, gilt

Nachdem nun

ist folgt aus der Äquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension

Beweis durch Basisergänzung Bearbeiten

Ist eine Menge eine Basis von , die durch eine Menge mit zu einer Basis von ergänzt wird ( ist dann eine Basis eines Komplementärraums von ), dann ist

eine Basis des Bildes . Betrachtet man nun die Einschränkung von auf den Spann (die lineare Hülle)

dann ist injektiv und

Somit ist ein Isomorphismus zwischen und dem Bild von . Daher gilt

Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum.

Umkehrung Bearbeiten

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als

berechnen. Entsprechend umgekehrt gilt dann auch

Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums gleich der Dimension von .

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu die Euler-Charakteristik eines Kettenkomplexes.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorraumen auf Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Beweise 2 1 Beweis uber den Homomorphiesatz 2 2 Beweis durch Basiserganzung 3 Umkehrung 4 Verallgemeinerung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksSatz BearbeitenIst f V W displaystyle f colon V to W nbsp eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V displaystyle V nbsp in einen Vektorraum W displaystyle W nbsp dann gilt fur die Dimensionen der Definitionsmenge V displaystyle V nbsp des Kerns k e r f displaystyle mathrm ker f nbsp und des Bildes i m f displaystyle mathrm im f nbsp der Abbildung f displaystyle f nbsp die Gleichung dim V dim k e r f dim i m f displaystyle dim V dim mathrm ker f dim mathrm im f nbsp Verwendet man die Bezeichnungen Defekt d e f f displaystyle mathrm def f nbsp fur die Dimension des Kerns und Rang r k f displaystyle mathrm rk f nbsp von engl rank fur die Dimension des Bildes der Abbildung f displaystyle f nbsp so lautet der Rangsatz dim V d e f f r k f displaystyle dim V mathrm def f mathrm rk f nbsp Beweise BearbeitenBeweis uber den Homomorphiesatz Bearbeiten Der Satz folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz i m f V k e r f displaystyle mathrm im f cong V mathrm ker f nbsp Da der Faktorraum V k e r f displaystyle V mathrm ker f nbsp isomorph zu einem Komplementarraum U displaystyle U nbsp von k e r f displaystyle mathrm ker f nbsp in V displaystyle V nbsp ist gilt i m f U displaystyle mathrm im f cong U nbsp Nachdem nun V k e r f U displaystyle V mathrm ker f oplus U nbsp ist folgt aus der Aquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension dim V dim k e r f dim U dim k e r f dim i m f displaystyle dim V dim mathrm ker f dim U dim mathrm ker f dim mathrm im f nbsp Beweis durch Basiserganzung Bearbeiten Ist eine Menge B k e r f displaystyle B subset mathrm ker f nbsp eine Basis von k e r f displaystyle mathrm ker f nbsp die durch eine Menge A displaystyle A nbsp mit A B displaystyle A cap B emptyset nbsp zu einer Basis A B displaystyle A cup B nbsp von V displaystyle V nbsp erganzt wird A displaystyle A nbsp ist dann eine Basis eines Komplementarraums von k e r f displaystyle mathrm ker f nbsp dann ist f A f a a A displaystyle f A left f a mid a in A right nbsp eine Basis des Bildes i m f displaystyle mathrm im f nbsp Betrachtet man nun die Einschrankung f displaystyle f prime nbsp von f displaystyle f nbsp auf den Spann die lineare Hulle U s p a n A displaystyle U mathrm span A nbsp dann ist f displaystyle f prime nbsp injektiv und i m f i m f displaystyle mathrm im f prime mathrm im f nbsp Somit ist f displaystyle f prime nbsp ein Isomorphismus zwischen U displaystyle U nbsp und dem Bild von f displaystyle f nbsp Daher gilt dim V A B dim U dim k e r f dim i m f dim k e r f displaystyle dim V left A right left B right dim U dim mathrm ker f dim mathrm im f dim mathrm ker f nbsp Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls durch Ubergang vom Komplementarraum zum Faktorraum Umkehrung BearbeitenDer Satz gilt fur Vektorraume beliebiger auch unendlicher Dimension Im endlichdimensionalen Fall lasst sich die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als dim i m f dim V dim k e r f displaystyle dim mathrm im f dim V dim mathrm ker f nbsp berechnen Entsprechend umgekehrt gilt dann auch dim k e r f dim V dim i m f displaystyle dim mathrm ker f dim V dim mathrm im f nbsp Im unendlichdimensionalen Fall lasst sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns oder umgekehrt berechnen wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt Andernfalls ist die Dimension des Bildraums W displaystyle W nbsp gleich der Dimension von V displaystyle V nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist Siehe dazu die Euler Charakteristik eines Kettenkomplexes Siehe auch BearbeitenDimensionsformelLiteratur BearbeitenHans Joachim Kowalsky und Gerhard O Michler Lineare Algebra De Gruyter ISBN 3 11 017963 6 S 58 Satz 3 2 13 doi 10 1515 9783110200041 Weblinks BearbeitenRobert Milson Rank nullity theorem In PlanetMath englisch Rahmi Jackson Rank Nullity Theorem In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rangsatz amp oldid 220268286