Die Vektorinvariante ist eine vektorielle Eigenschaft die einem Tensor zweiter Stufe zugeordnet werden kann Die Komponenten eines Tensors referenzieren auf Dyaden von Vektoren die sich ihrerseits komponentenweise bezuglich einer Vektorraumbasis darstellen lassen Bei einem Wechsel der Basis andern sich die Komponenten der Vektoren in charakteristischer Weise nicht aber die Betrage der Vektoren Der Betrag eines Vektors ist also invariant gegenuber einem Wechsel der Basis Ebenso ist die Vektorinvariante eines Tensors invariant gegenuber einem Wechsel der Basis Weil das Kreuzprodukt in die Definition eingeht ist die Vektorinvariante nur in drei Dimensionen definiert Lineare Abbildung eines Vektors v displaystyle vec v durch einen Tensor T Tensoren zweiter Stufe werden als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden siehe Abbildung rechts Die Vektorinvariante wird bei der Beschreibung von Drehungen benutzt Sie ist die Drehachse um die ein orthogonaler Tensor einen Vektor dreht und die Winkelgeschwindigkeit ist proportional zur Vektorinvariante des Geschwindigkeitsgradienten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Invarianz 3 Axialitat und Objektivitat 4 Dualer Vektor und Kreuzproduktmatrix 5 Eigenschaften 6 Siehe auch 7 Fussnoten 8 LiteraturDefinition BearbeitenDie Vektorinvariante i displaystyle vec i nbsp einer Dyade a b displaystyle vec a otimes vec b nbsp von Vektoren a b V displaystyle vec a vec b in mathbb V nbsp aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum V displaystyle mathbb V nbsp entsteht indem das dyadische Produkt displaystyle otimes nbsp durch das Kreuzprodukt ersetzt wird i a b a b displaystyle vec i vec a otimes vec b vec a times vec b nbsp Dies wird auch als Moment der Dyade bezeichnet 1 Wenn der Vektor b displaystyle vec b nbsp parallel zum Vektor a displaystyle vec a nbsp ist dann ist die Dyade symmetrisch und die Vektorinvariante verschwindet Die Ersetzung des dyadischen Produkts durch das Kreuzprodukt in einer Dyade kann mit dem Skalarkreuzprodukt 2 mit dem Einheitstensor 1 erreicht werden 1 a b i 1 3 e i e i a b i 1 3 e i a e i b a b displaystyle mathbf 1 cdot times vec a otimes vec b left sum i 1 3 hat e i otimes hat e i right cdot times vec a otimes vec b sum i 1 3 hat e i cdot vec a hat e i times vec b vec a times vec b nbsp Die Vektoren e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp stehen hier fur eine Orthonormalbasis und fur das im euklidischen Vektorraum definierte Skalarprodukt Fur einen Tensor zweiter Stufe T der immer als Summe von Dyaden darstellbar ist bestimmt sich die Vektorinvariante demnach gemass T i T 1 T displaystyle mathbf T times vec i mathbf T mathbf 1 cdot times T nbsp Die Schreibweise T displaystyle mathbf T times nbsp ist aus Altenbach 2012 Bezuglich der Orthonormalbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp schreibt sich speziell T i j 1 3 T i j e i e j i T T 23 T 32 T 31 T 13 T 12 T 21 displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j quad rightarrow quad vec i mathbf T begin pmatrix T 23 T 32 T 31 T 13 T 12 T 21 end pmatrix nbsp Fur den schiefsymmetrischen Anteil eines Tensors T gibt es einen dualen axialen Vektor T A displaystyle stackrel A overrightarrow mathbf T nbsp fur den gilt 1 2 T T v T A v displaystyle frac 1 2 mathbf T mathbf T top cdot vec v stackrel A overrightarrow mathbf T times vec v nbsp fur alle v displaystyle vec v nbsp Dann ist i T 2 T A displaystyle vec i mathbf T 2 stackrel A overrightarrow mathbf T nbsp Invarianz BearbeitenDer Nachweis der Invarianz der Vektorinvariante gelingt mit Transformationen der Form U i 1 3 u i u i displaystyle mathbf U sum i 1 3 vec u i otimes vec u i nbsp die Einheitstensoren sind und beim Produkt mit einem Tensor den Tensor nicht verandern Die Vektoren u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp mussen hier eine Vektorraumbasis bilden und u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp sind die dazu duale Basis Gegeben sei nun ein Tensor zweiter Stufe mit Komponenten T i j displaystyle T ij nbsp bezuglich zweier beliebiger Basissysteme a 1 2 3 displaystyle vec a 1 2 3 nbsp und b 1 2 3 displaystyle vec b 1 2 3 nbsp T i j 1 3 T i j a i b j displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij vec a i otimes vec b j nbsp Mit Transformationen U und V entsteht der Tensor mit Komponenten bezuglich der Basen u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp bzw v 1 2 3 displaystyle vec v 1 2 3 nbsp T U T V i j k l 1 3 u k u k T i j a i b j v l v l i j k l 1 3 T i j u k a i v l b j T k l u k v l k l 1 3 T k l u k v l displaystyle begin aligned mathbf T amp mathbf U cdot T cdot V top amp sum i j k l 1 3 vec u k otimes vec u k cdot T ij vec a i otimes vec b j cdot vec v l otimes vec v l amp sum i j k l 1 3 underbrace T ij vec u k cdot vec a i vec v l cdot vec b j T kl vec u k otimes vec v l amp sum k l 1 3 T kl vec u k otimes vec v l end aligned nbsp Das hochgestellte T steht fur die Transposition Damit berechnet sich i U T V k l 1 3 T k l u k v l i j k l 1 3 T i j u k a i v l b j u k v l i j 1 3 T i j a i b j i T displaystyle begin aligned vec i mathbf U cdot T cdot V top amp sum k l 1 3 T kl vec u k times vec v l amp sum i j k l 1 3 T ij vec u k cdot vec a i vec v l cdot vec b j vec u k times vec v l amp sum i j 1 3 T ij vec a i times vec b j amp vec i mathbf T end aligned nbsp Die Vektorinvariante verdient ihren Namen also Axialitat und Objektivitat BearbeitenWenn die obigen Transformationen identisch und orthogonal sind also die Eigenschaft Q Q 1 displaystyle mathbf Q cdot Q top mathbf 1 nbsp besitzen dann ergibt sich fur einen wie oben vorgegebenen Tensor T i Q T Q i Q i j 1 3 T i j a i b j Q i i j 1 3 T i j Q a i Q b j i j 1 3 T i j Q a i Q b j det Q Q i j 1 3 T i j a i b j det Q Q i T displaystyle begin aligned vec i mathbf Q cdot T cdot Q top amp vec i left mathbf Q cdot left sum i j 1 3 T ij vec a i otimes vec b j right cdot mathbf Q top right amp vec i left sum i j 1 3 T ij mathbf Q cdot vec a i otimes mathbf Q cdot vec b j right amp sum i j 1 3 T ij mathbf Q cdot vec a i times mathbf Q cdot vec b j amp operatorname det mathbf Q mathbf Q cdot sum i j 1 3 T ij vec a i times vec b j amp operatorname det mathbf Q mathbf Q cdot vec i mathbf T end aligned nbsp Wenn Q eigentlich orthogonal ist dann ist seine Determinante det gleich eins und die Vektorinvariante objektiv denn sie transformiert sich bei einer euklidischen Transformation wie ein objektiver Vektor Bei einer Drehspiegelung um i displaystyle vec i nbsp gilt Q i i det Q 1 displaystyle mathbf Q cdot vec i vec i operatorname det mathbf Q 1 nbsp und daher i Q T Q i T displaystyle vec i mathbf Q cdot T cdot Q top vec i mathbf T nbsp Vektoren mit dieser Eigenschaft bei einer Drehspiegelung sind axiale Vektoren Dualer Vektor und Kreuzproduktmatrix BearbeitenJedem schiefsymmetrischen Tensor T kann uber T v t v fur alle v V displaystyle mathbf T cdot vec v vec t times vec v quad text fur alle quad vec v in mathbb V nbsp ein dualer Vektor t displaystyle vec t nbsp zugeordnet werden Der duale Vektor ist proportional zur Vektorinvariante t 1 2 i T 1 2 1 T displaystyle vec t frac 1 2 vec i mathbf T frac 1 2 mathbf 1 cdot times T nbsp Bezuglich der Orthonormalbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 nbsp schreibt sich speziell T i j 1 3 T i j e i e j t 1 2 i j 1 3 T i j e i e j T 32 T 13 T 21 displaystyle mathbf T sum i j 1 3 T ij hat e i otimes hat e j quad rightarrow quad vec t frac 1 2 sum i j 1 3 T ij hat e i times hat e j left begin array c T 32 T 13 T 21 end array right nbsp Der Tensor T kann mittels T t 1 displaystyle mathbf T vec t times mathbf 1 nbsp aus seinem dualen Vektor rekonstruiert werden In der linearen Algebra heisst die dem Vektor t displaystyle vec t nbsp analog zugeordnete Matrix Kreuzproduktmatrix Eigenschaften BearbeitenMit elementarer Tensoralgebra konnen die folgenden Eigenschaften der Vektorinvariante nachgewiesen werden Seien x eine beliebige Zahl v displaystyle vec v nbsp ein beliebiger Vektor und S T displaystyle mathbf S mathbf T nbsp beliebige Tensoren zweiter Stufe Dann gilt i T i T i S T i S i T i x T x i T i S T S i T T i S T i T T i T i T T i cof T T i T i T 1 1 det T T i T falls det T 0 i T S T cof T i S i T v T T v i v 1 2 v displaystyle begin aligned vec i mathbf T top amp vec i mathbf T vec i mathbf S T amp vec i mathbf S vec i mathbf T vec i x mathbf T amp x vec i mathbf T vec i mathbf S mathbf T amp mathbf S cdot vec i mathbf T mathbf T cdot vec i mathbf S mathbf T cdot vec i mathbf T amp mathbf T top cdot vec i mathbf T vec i mathbf T cdot mathbf T vec i operatorname cof mathbf T amp mathbf T cdot vec i mathbf T vec i mathbf T 1 amp frac 1 operatorname det mathbf T mathbf T cdot vec i mathbf T quad text falls quad operatorname det mathbf T neq 0 vec i mathbf T cdot S cdot T top amp operatorname cof mathbf T cdot vec i mathbf S vec i mathbf T times vec v amp mathbf T top T cdot vec v vec i vec v times mathbf 1 amp 2 vec v end aligned nbsp Darin sind das aussere Tensorprodukt cof T T T I 1 T T I 2 T 1 1 2 T T displaystyle operatorname cof mathbf T mathbf T top cdot mathbf T top operatorname I 1 mathbf T mathbf T top operatorname I 2 mathbf T mathbf 1 frac 1 2 mathbf T mathbf T nbsp der Kofaktor und I1 2 Hauptinvarianten des Tensors T Aus den ersten beiden Eigenschaften folgt dass nur der schiefsymmetrische Anteil eines Tensors zur Vektorinvariante etwas beitragt und symmetrische Tensoren den Nullvektor als Vektorinvariante besitzen Siehe auch BearbeitenFormelsammlung TensoralgebraFussnoten Bearbeiten K Heun redigiert von Felix Klein und Conr Muller Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen Mechanik Hrsg Akademien der Wissenschaften zu Gottingen Leipzig Munchen und Wien Vierter Band 2 Teilband Art 11 Ansatze und allgemeine Methoden der Systemmechanik B G Teubner Verlag 1904 S 366 uni goettingen de abgerufen am 22 Mai 2021 Das Skalarkreuzprodukt ist mit Vektoren a b c d V displaystyle vec a vec b vec c vec d in mathbb V nbsp definiert uber a b c d b c a d displaystyle vec a otimes vec b cdot times vec c otimes vec d vec b cdot vec c vec a times vec d nbsp Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 34 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vektorinvariante amp oldid 220696402
