Orthogonale Tensoren sind einheitenfreie Tensoren zweiter Stufe die eine Drehung oder Drehspiegelung im euklidischen Vektorraum ausfuhren In der Kontinuumsmechanik werden nur Drehungen betrachtet denn Drehspiegelungen kommen in den von der Schwerkraft bestimmten physikalischen Gesetzen der makroskopischen Welt nicht vor Lineare Abbildung eines Vektors v displaystyle vec v durch einen Tensor T Drehung eines Vektors v displaystyle vec v um die Drehachse n displaystyle vec n mit Winkel a displaystyle alpha durch einen orthogonalen Tensor Q Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden siehe Abbildung rechts oben Bei einem orthogonalen Tensor der eine Drehung oder Drehspiegelung reprasentiert entfallt die Streckung sodass der Betrag des Vektors bei der Transformation nicht verandert wird siehe die untere Abbildung rechts Orthogonale Tensoren werden ublicherweise mit den Formelzeichen Q oder R bezeichnet wobei R zumeist fur den Rotationstensor in der Polarzerlegung des Deformationsgradienten steht Bezuglich der Standardbasis konnen orthogonale Tensoren wie orthogonale Matrizen geschrieben werden und haben auch analoge Eigenschaften Anders als Matrizen referenzieren die Koeffizienten eines Tensors jedoch auf ein Basissystem des zugrunde liegenden Vektorraums sodass sich die Koeffizienten des Tensors bei einem Wechsel des Basissystems auf charakteristische Weise andern Jeder Tensor besitzt Invarianten die bei einem Wechsel des Basissystems unverandert bleiben Bei einem orthogonalen Tensor geben diese Invarianten uber den Drehwinkel die Drehachse und daruber ob der Tensor eine Drehung oder Drehspiegelung reprasentiert Auskunft Orthogonale Tensoren treten in der euklidischen Transformation auf mit der die Beziehung zwischen beliebig bewegten Bezugssystemen und in ihnen vorliegenden physikalischen Grossen beschrieben wird In der Materialtheorie helfen orthogonale Tensoren dabei bezugssysteminvariante Materialgleichungen aufzustellen Ausserdem wird die Richtungsabhangigkeit eines Materials Transversale Isotropie Orthotropie mit orthogonalen Tensoren beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Starrkorperbewegungen 3 Transformationseigenschaften 3 1 Vektortransformation 3 2 Spatprodukt und Kreuzprodukt 3 3 Tensortransformation 4 Berechnung von orthogonalen Tensoren 4 1 Drehachse und Winkel gegeben 4 2 Urbild und Bildvektoren gegeben 4 3 Tensor gegeben 5 Eigensystem 6 Invarianten 7 Siehe auch 8 Fussnoten 9 LiteraturDefinition BearbeitenOrthogonale Tensoren sind Tensoren zweiter Stufe Q fur die gilt Q 1 Q displaystyle mathbf Q 1 mathbf Q top nbsp oder Q Q Q Q 1 displaystyle mathbf Q top cdot Q mathbf Q cdot Q top mathbf 1 nbsp Die hochgestellte 1 kennzeichnet den inversen den transponierten Tensor und 1 den Einheitstensor Wegen 1 det 1 det Q Q det Q det Q det Q 2 displaystyle 1 operatorname det mathbf 1 operatorname det mathbf Q top cdot Q operatorname det mathbf Q top operatorname det mathbf Q operatorname det mathbf Q 2 nbsp ist det Q 1 displaystyle operatorname det mathbf Q pm 1 nbsp Ein orthogonaler Tensor der eine reine Drehung reprasentiert wird eigentlich orthogonal genannt und hat die Determinante 1 Bei det Q 1 fuhrt der Tensor eine Drehspiegelung aus Weil Spiegelungen in der Mechanik nicht betrachtet werden ist dort stets det Q 1 Starrkorperbewegungen Bearbeiten nbsp Geschwindigkeitsfeld schwarz eines Starrkorpers grau entlang seines Weges hellblau setzt sich zusammen aus der Schwerpunktsgeschwindigkeit blau und der Drehgeschwindigkeit rot Jede Starrkorperbewegung lasst sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen Als Drehzentrum eignet sich jeder ruhende oder bewegte Punkt und auch der Schwerpunkt des Korpers siehe Abbildung rechts Sei r X X S displaystyle vec r vec X vec X vec S nbsp der zeitlich fixierte Differenzvektor zwischen einem Partikel X displaystyle vec X nbsp des starren Korpers und seinem Schwerpunkt S displaystyle vec S nbsp zu einem Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp Die Translation des Korpers kann dann mit seiner Schwerpunktsbewegung s t displaystyle vec s t nbsp mit s t 0 S displaystyle vec s t 0 vec S nbsp und seine Drehung mit einem von der Zeit aber nicht vom Ort abhangigen orthogonalen Tensor Q t displaystyle mathbf Q t nbsp mit Q t 0 1 displaystyle mathbf Q t 0 mathbf 1 nbsp dargestellt werden Translation und Rotation zusammengenommen definieren die Bewegungsfunktion x X t displaystyle vec chi vec X t nbsp des Partikels X displaystyle vec X nbsp x X t s t Q t X S X S Q t x X t s t displaystyle begin aligned vec chi vec X t amp vec s t mathbf Q t cdot vec X vec S rightarrow vec X vec S amp mathbf Q top t cdot vec chi vec X t vec s t end aligned nbsp Die Geschwindigkeit des Partikels ist dann x X t s t Q t X S s t Q t Q t x X t s t v x t s t W t x s t displaystyle begin aligned dot vec chi vec X t amp dot vec s t dot mathbf Q t cdot vec X vec S amp dot vec s t dot mathbf Q t cdot mathbf Q top t cdot vec chi vec X t vec s t rightarrow vec v vec x t amp dot vec s t boldsymbol Omega t cdot vec x vec s t end aligned nbsp Der Vektor x x X t displaystyle vec x vec chi vec X t nbsp ist hier der Ort des Partikels zur Zeit t und v x t x X t displaystyle vec v vec x t dot vec chi vec X t nbsp ist seine Geschwindigkeit zur Zeit t Beim Ubergang von der oberen zur unteren Gleichung vollzieht sich der Wechsel von der lagrangeschen zur eulerschen Darstellung der Bewegung Der Tensor W Q Q displaystyle boldsymbol Omega dot mathbf Q cdot mathbf Q top nbsp ist schiefsymmetrisch W W Q Q Q Q Q Q 1 0 W W displaystyle boldsymbol Omega boldsymbol Omega top dot mathbf Q cdot mathbf Q top mathbf Q cdot dot mathbf Q top mathbf Q cdot Q top dot dot mathbf 1 mathbf 0 quad rightarrow quad boldsymbol Omega top boldsymbol Omega nbsp und besitzt daher einen dualen Vektor w displaystyle vec omega nbsp mit der Eigenschaft W v w v displaystyle boldsymbol Omega cdot vec v vec omega times vec v nbsp fur alle v displaystyle vec v nbsp Einsetzen des dualen Vektors in das Geschwindigkeitsfeld fuhrt auf die eulersche Geschwindigkeitsgleichung v x t s t w t x s t displaystyle vec v vec x t dot vec s t vec omega t times vec x vec s t nbsp die keinen sichtbaren Tensor enthalt Nur im Kreuzprodukt das einer Tensortransformation entspricht verbirgt sich noch ein Hinweis auf einen Tensor Transformationseigenschaften BearbeitenVektortransformation Bearbeiten Ein orthogonaler Tensor dreht Vektoren denn das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren bleibt unter der linearen Abbildung mit Q erhalten Q u Q v u Q Q v u v displaystyle mathbf Q cdot vec u cdot mathbf Q cdot vec v vec u cdot mathbf Q top cdot Q cdot vec v vec u cdot vec v nbsp Insbesondere ist mit v u displaystyle vec v vec u nbsp Q u 2 Q u Q u u u u 2 displaystyle mathbf Q cdot vec u 2 mathbf Q cdot vec u cdot mathbf Q cdot vec u vec u cdot vec u vec u 2 nbsp weswegen ein orthogonaler Tensor Q die Frobeniusnorm eines Vektors nicht verandert Weil die Drehachse n displaystyle vec n nbsp bei einer reinen Drehung auf sich selbst abgebildet wird ist die Drehachse der Drehung ein Eigenvektor eines eigentlich orthogonalen Tensors Q mit Eigenwert eins Q n n displaystyle mathbf Q cdot vec n vec n nbsp Ist Q ein uneigentlich orthogonaler Tensor dann ist Q n n displaystyle mathbf Q cdot vec n vec n nbsp Spatprodukt und Kreuzprodukt Bearbeiten nbsp Spat der von drei Vektoren aufgespannt wirdDas Spatprodukt dreier Vektoren ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats siehe Bild Werden die drei Vektoren wie im Bild mit a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp bezeichnet und mit einem orthogonalen Tensor transformiert berechnet sich das Spatprodukt zu Q a Q b Q c det Q a Q b Q c det Q a b c det Q det a b c det Q a b c displaystyle begin aligned mathbf Q cdot vec a cdot mathbf Q cdot vec b times mathbf Q cdot vec c amp operatorname det begin pmatrix mathbf Q cdot vec a amp mathbf Q cdot vec b amp mathbf Q cdot vec c end pmatrix amp operatorname det left mathbf Q cdot begin pmatrix vec a amp vec b amp vec c end pmatrix right amp operatorname det mathbf Q operatorname det begin pmatrix vec a amp vec b amp vec c end pmatrix amp operatorname det mathbf Q vec a cdot vec b times vec c end aligned nbsp Wenn der Tensor eigentlich orthogonal ist dann wird das Spatprodukt also durch ihn nicht verandert andernfalls kehrt das Spatprodukt sein Vorzeichen um Weiter folgt Q a Q b Q c a Q Q b Q c det Q a b c a Q Q b Q c det Q b c 0 displaystyle begin array l mathbf Q cdot vec a cdot mathbf Q cdot vec b times mathbf Q cdot vec c vec a cdot mathbf Q top cdot mathbf Q cdot vec b times mathbf Q cdot vec c operatorname det mathbf Q vec a cdot vec b times vec c rightarrow vec a cdot left mathbf Q top cdot mathbf Q cdot vec b times mathbf Q cdot vec c operatorname det mathbf Q vec b times vec c right 0 end array nbsp Das gilt fur jeden Vektor a displaystyle vec a nbsp weshalb der Vektor in den geschweiften Klammern verschwindet und auf Q b Q c det Q Q b c displaystyle mathbf Q cdot vec b times mathbf Q cdot vec c operatorname det mathbf Q mathbf Q cdot vec b times vec c nbsp geschlossen werden kann Deshalb kann ein eigentlich orthogonaler Tensor aus dem Kreuzprodukt herausgezogen werden wahrend bei einem uneigentlich orthogonalen Tensor noch ein Vorzeichenwechsel stattfindet Mit dem Spatprodukt berechnet sich das Volumenelement und mit dem Kreuzprodukt berechnet sich das Oberflachenelement Bei einer Drehspiegelung wechseln beide Elemente ihr Vorzeichen weshalb sie nur bei einer Transformation mit einem eigentlich orthogonalen Tensor Q invariant gegenuber einer euklidischen Transformation sind Tensortransformation Bearbeiten Sei T ein beliebiger Tensor zweiter Stufe der einen Eigenwert l displaystyle lambda nbsp und zugehorigen Eigenvektor v displaystyle vec v nbsp besitzt also T v l v displaystyle mathbf T cdot vec v lambda vec v nbsp gilt und Q sei ein orthogonaler Tensor Dann ist Q T v Q T Q Q v l Q v displaystyle mathbf Q cdot T cdot vec v mathbf Q cdot T cdot Q top cdot mathbf Q cdot vec v lambda mathbf Q cdot vec v nbsp Also hat der Tensor S Q T Q dieselben Eigenwerte wie T aber die mit Q gedrehten Eigenvektoren Daraus folgt unmittelbar dass die Hauptinvarianten und Betrage von S und T ubereinstimmen Berechnung von orthogonalen Tensoren BearbeitenBei der Berechnung von orthogonalen Tensoren konnen sich die drei Aufgaben stellen Wie wird aus der Drehachse und dem Drehwinkel der entsprechende orthogonale Tensor konstruiert Welcher orthogonale Tensor transformiert zwei gegebene gegeneinander verdrehte Vektorraumbasen ineinander Wie lautet die Drehachse und der Drehwinkel eines gegebenen orthogonalen Tensors Diese Fragen werden in den folgenden Abschnitten beantwortet Drehachse und Winkel gegeben Bearbeiten Sei n displaystyle hat n nbsp ein Einheitsvektor der Lange eins und a displaystyle alpha nbsp ein Winkel Dann ist der Tensor Q 1 sin a n 1 cos a 1 1 n n n n cos a 1 n n sin a n 1 displaystyle begin array lcl mathbf Q amp amp mathbf 1 sin alpha hat n times mathbf 1 cos alpha 1 mathbf 1 hat n otimes hat n amp amp hat n otimes hat n cos alpha mathbf 1 hat n otimes hat n sin alpha hat n times mathbf 1 end array nbsp eigentlich orthogonal und dreht um die Achse n displaystyle hat n nbsp mit Drehwinkel a displaystyle alpha nbsp Das Kreuzprodukt von n displaystyle hat n nbsp mit dem Einheitstensor ergibt den schiefsymmetrischen axialen Tensor von n displaystyle hat n nbsp n 1 n i 1 3 e i e i i 1 3 n e i e i 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1 n 2 n 1 0 displaystyle hat n times mathbf 1 hat n times left sum i 1 3 hat e i otimes hat e i right sum i 1 3 hat n times hat e i otimes hat e i begin pmatrix 0 amp n 3 amp n 2 n 3 amp 0 amp n 1 n 2 amp n 1 amp 0 end pmatrix nbsp wenn n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 nbsp die Komponenten von n displaystyle hat n nbsp bezuglich der Standardbasis e1 2 3 sind Bei einer Drehspiegelung ware Q 1 sin a n 1 cos a 1 1 n n n n cos a 1 n n sin a n 1 displaystyle begin array lcl mathbf Q amp amp color red mathbf 1 sin alpha hat n times mathbf 1 cos alpha color red 1 mathbf 1 hat n otimes hat n amp amp color red hat n otimes hat n cos alpha mathbf 1 hat n otimes hat n sin alpha hat n times mathbf 1 end array nbsp Der Tensor Q hat jedenfalls die Spur und den schiefsymmetrischen Anteil Sp Q Sp det Q n n cos a 1 n n sin a n 1 det Q 2 cos a 1 2 Q Q sin a n 1 sin a 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1 n 2 n 1 0 displaystyle begin array rcl operatorname Sp mathbf Q amp amp operatorname Sp operatorname det mathbf Q hat n otimes hat n cos alpha mathbf 1 hat n otimes hat n sin alpha hat n times mathbf 1 amp amp operatorname det mathbf Q 2 cos alpha frac 1 2 mathbf Q mathbf Q top amp amp sin alpha hat n times mathbf 1 sin alpha begin pmatrix 0 amp n 3 amp n 2 n 3 amp 0 amp n 1 n 2 amp n 1 amp 0 end pmatrix end array nbsp Die eingangs angegebene Formel fur Q kann auch mit einem Rotationsvektor a a n displaystyle vec alpha alpha hat n nbsp geschrieben werden Q 1 sin a a a 1 1 cos a a 2 a a a a 1 exp a 1 displaystyle mathbf Q mathbf 1 frac sin alpha alpha vec alpha times mathbf 1 frac 1 cos alpha alpha 2 vec alpha otimes vec alpha vec alpha cdot vec alpha mathbf 1 exp vec alpha times mathbf 1 nbsp Das Exponential der schiefsymmetrischen Matrix a 1 displaystyle vec alpha times mathbf 1 nbsp wird bei Drehmatrizen definiert und verwendet Es konnen auch Rotationsvektoren mit anderer Lange benutzt werden a tan a 2 n Q 1 2 1 a a a 1 a a a a 1 a sin a n Q 1 a 1 1 1 cos a a a a a 1 a sin a 2 n Q 1 2 cos a 2 a 1 2 a a a a 1 displaystyle begin array lcl vec alpha tan left dfrac alpha 2 right hat n amp rightarrow amp mathbf Q mathbf 1 dfrac 2 1 vec alpha cdot vec alpha vec alpha times mathbf 1 vec alpha otimes vec alpha vec alpha cdot vec alpha mathbf 1 2ex vec alpha sin alpha hat n amp rightarrow amp mathbf Q mathbf 1 vec alpha times mathbf 1 dfrac 1 1 cos alpha vec alpha otimes vec alpha vec alpha cdot vec alpha mathbf 1 2ex vec alpha sin left dfrac alpha 2 right hat n amp rightarrow amp mathbf Q mathbf 1 2 cos left dfrac alpha 2 right vec alpha times mathbf 1 2 vec alpha otimes vec alpha vec alpha cdot vec alpha mathbf 1 end array nbsp Letztere Variante ist in Anlehnung an die Quaternionen In Buchter 1992 1 findet sich eine ausfuhrliche Diskussion der verschiedenen Parametrisierungsmoglichkeiten von Rotationen Urbild und Bildvektoren gegeben Bearbeiten Gegeben seien drei linear unabhangige Vektoren u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp die demnach eine Vektorraumbasis bilden Die dazu duale Basis sei u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp sodass also u i u j d i j 1 falls i j 0 sonst i j 1 2 3 displaystyle vec u i cdot vec u j delta ij begin cases 1 amp textsf falls i j 0 amp textsf sonst end cases quad i j 1 2 3 nbsp gilt Das Symbol d i j displaystyle delta ij nbsp ist das Kronecker Delta Wenn nun die Vektorgruppe v 1 2 3 displaystyle vec v 1 2 3 nbsp durch Drehung aus der Basis u 1 2 3 displaystyle vec u 1 2 3 nbsp hervorgeht dann gibt es einen orthogonalen Tensor Q fur den gilt Q u i v i i 1 2 3 displaystyle mathbf Q cdot vec u i vec v i quad i 1 2 3 nbsp Dieser Tensor erhalt mit dem dyadischen Produkt displaystyle otimes nbsp von Vektoren die Form Q i 1 3 v i u i displaystyle mathbf Q sum i 1 3 vec v i otimes vec u i nbsp Mit der zu v 1 2 3 displaystyle vec v 1 2 3 nbsp dualen Basis v 1 2 3 displaystyle vec v 1 2 3 nbsp berechnet sich k 1 3 v k u k Q i k 1 3 v k u k u i v i i 1 3 v i v i 1 displaystyle sum k 1 3 vec v k otimes vec u k cdot mathbf Q top sum i k 1 3 vec v k otimes vec u k cdot vec u i otimes vec v i sum i 1 3 vec v i otimes vec v i mathbf 1 nbsp weswegen nun die beiden Darstellungen Q i 1 3 v i u i i 1 3 v i u i displaystyle mathbf Q sum i 1 3 vec v i otimes vec u i sum i 1 3 vec v i otimes vec u i nbsp vorliegen Derselbe Tensor Q uberfuhrt also auch die dualen Basen ineinander Q u i v i i 1 2 3 displaystyle mathbf Q cdot vec u i vec v i quad i 1 2 3 nbsp Die Determinante des Tensors berechnet sich mit den obigen Darstellungen zu det Q det v 1 v 2 v 3 det u 1 u 2 u 3 det v 1 v 2 v 3 det u 1 u 2 u 3 det v 1 v 2 v 3 det u 1 u 2 u 3 det u 1 u 2 u 3 det v 1 v 2 v 3 1 displaystyle begin array lcl operatorname det mathbf Q amp amp operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix cdot operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix dfrac operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix amp amp operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix cdot operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix dfrac operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix 1 end array nbsp weil oben eine Drehung und damit dieselbe Handigkeit der Basen vorausgesetzt wurde Bei einer Drehspiegelung ware det Q 1 und die Handigkeiten der beiden Basen ware verschieden Tensor gegeben Bearbeiten Die Drehachse eines orthogonalen Tensors Q ist seine Vektorinvariante n 1 Q displaystyle vec n mathbf 1 cdot times mathbf Q nbsp Seien die Basen u i v i displaystyle vec u i vec v i nbsp und deren duale Basen u i v i displaystyle vec u i vec v i nbsp fur i 1 2 3 sowie der orthogonale Tensor Q wie im vorigen Abschnitt definiert Dann ergibt sich fur die Drehachse von Q n 1 Q i 1 3 1 v i u i i 1 3 v i u i i 1 3 1 v i u i i 1 3 v i u i displaystyle begin array rcl vec n mathbf 1 cdot times mathbf Q amp amp displaystyle sum i 1 3 mathbf 1 cdot times vec v i otimes vec u i sum i 1 3 vec v i times vec u i amp amp displaystyle sum i 1 3 mathbf 1 cdot times vec v i otimes vec u i sum i 1 3 vec v i times vec u i end array nbsp denn das Skalarkreuzprodukt mit dem Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt Wegen Q n i 1 3 Q v i u i det Q i 1 3 Q v i Q u i det Q i k 1 3 u k v i v k v i det Q k 1 3 v k u k det Q n displaystyle begin array lcl mathbf Q cdot vec n amp amp displaystyle sum i 1 3 mathbf Q cdot vec v i times vec u i operatorname det mathbf Q sum i 1 3 mathbf Q cdot vec v i times mathbf Q cdot vec u i amp amp displaystyle operatorname det mathbf Q sum i k 1 3 vec u k cdot vec v i vec v k times vec v i operatorname det mathbf Q sum k 1 3 vec v k times vec u k operatorname det mathbf Q vec n end array nbsp ist die Vektorinvariante tatsachlich ein Eigenvektor und daher parallel zur Drehachse In der Matrizendarstellung mit den Zeilen z 1 2 3 displaystyle vec z 1 2 3 nbsp und Spalten s 1 2 3 displaystyle vec s 1 2 3 nbsp von Q bezuglich der Standardbasis e1 2 3 ergibt sich Q i 1 3 e i z i i 1 3 s i e i n 1 Q i 1 3 e i z i i 1 3 s i e i displaystyle mathbf Q sum i 1 3 hat e i otimes vec z i sum i 1 3 vec s i otimes hat e i quad rightarrow quad vec n mathbf 1 cdot times mathbf Q sum i 1 3 hat e i times vec z i sum i 1 3 vec s i times hat e i nbsp Aus dem Abschnitt Drehachse und Winkel gegeben sind die folgenden Beziehungen bekannt Der Drehwinkel berechnet sich aus der Spur Sp Q det Q 2 cos a displaystyle operatorname Sp mathbf Q operatorname det mathbf Q 2 cos alpha nbsp Alternativ kann Drehachse n n 1 e 1 n 2 e 2 n 3 e 3 displaystyle hat n n 1 hat e 1 n 2 hat e 2 n 3 hat e 3 nbsp und winkel a displaystyle alpha nbsp aus 1 2 Q Q sin a 0 n 3 n 2 n 3 0 n 1 n 2 n 1 0 n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 displaystyle frac 1 2 mathbf Q mathbf Q top sin alpha begin pmatrix 0 amp n 3 amp n 2 n 3 amp 0 amp n 1 n 2 amp n 1 amp 0 end pmatrix quad sqrt n 1 2 n 2 2 n 3 2 1 nbsp ermittelt werden Das Eigensystem offenbart dass die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte e i a displaystyle e pm mathrm i alpha nbsp von Q Exponentialfunktionen des Winkels sind Eigensystem BearbeitenWenn drei Vektoren q 1 2 3 displaystyle hat q 1 2 3 nbsp paarweise zueinander senkrecht sind und die Betrage eins haben q 1 displaystyle hat q 1 nbsp die Drehachse und a displaystyle alpha nbsp der Drehwinkel des Tensors Q ist dann hat dieser die Eigenwerte und Vektoren l 1 1 v 1 q 1 l 2 e i a v 2 1 2 q 2 i q 3 l 3 e i a v 3 1 2 q 2 i q 3 displaystyle begin array lcllcl lambda 1 amp amp pm 1 amp vec v 1 amp amp hat q 1 lambda 2 amp amp e mathrm i alpha amp vec v 2 amp amp frac 1 sqrt 2 hat q 2 mathrm i hat q 3 lambda 3 amp amp e mathrm i alpha amp vec v 3 amp amp frac 1 sqrt 2 hat q 2 mathrm i hat q 3 end array nbsp Die Zahl i ist die imaginare Einheit und e die Eulersche Zahl Die Vektoren q 2 3 displaystyle hat q 2 3 nbsp liegen in der Drehebene sind in dieser solange q 2 q 3 0 displaystyle hat q 2 cdot hat q 3 0 nbsp gewahrleistet ist aber beliebig orientiert Aus diesem Eigensystem ergibt sich die Darstellung Q q 1 q 1 cos a q 2 q 2 q 3 q 3 sin a q 3 q 2 q 2 q 3 1 0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a q i q j displaystyle begin array lcl mathbf Q amp amp pm hat q 1 otimes hat q 1 cos alpha hat q 2 otimes hat q 2 hat q 3 otimes hat q 3 sin alpha hat q 3 otimes hat q 2 hat q 2 otimes hat q 3 amp amp begin pmatrix pm 1 amp 0 amp 0 0 amp cos alpha amp sin alpha 0 amp sin alpha amp cos alpha end pmatrix hat q i otimes hat q j end array nbsp Die Handigkeit der Vektorgruppe q 1 2 3 displaystyle hat q 1 2 3 nbsp entscheidet uber die Drehrichtung der Drehung um die Drehachse Ist die Vektorgruppe rechtshandig dann misst der Winkel gegen den Uhrzeigersinn andernfalls im Uhrzeigersinn um die Drehachse Invarianten Bearbeiten Hauptartikel Hauptinvariante Wenn a displaystyle alpha nbsp der Drehwinkel des orthogonalen Tensors Q ist dann gilt Sp Q det Q 2 cos a I 2 Q det Q Sp Q det Q 1 displaystyle begin array lcl operatorname Sp mathbf Q amp amp operatorname det mathbf Q 2 cos alpha operatorname I 2 mathbf Q amp amp operatorname det mathbf Q cdot operatorname Sp mathbf Q operatorname det mathbf Q amp amp pm 1 end array nbsp denn die zweite Hauptinvariante ist die Spur des Kofaktors cof Q det Q Q 1 det Q Q displaystyle operatorname cof mathbf Q operatorname det mathbf Q mathbf Q top 1 operatorname det mathbf Q mathbf Q nbsp Mit der obigen Darstellung Q i 1 3 v i u i displaystyle mathbf Q sum i 1 3 vec v i otimes vec u i nbsp berechnen sich die Hauptinvarianten Sp Q i 1 3 v i u i I 2 Q i 1 3 v i u i det v 1 v 2 v 3 det u 1 u 2 u 3 det Q det v 1 v 2 v 3 det u 1 u 2 u 3 1 displaystyle begin array lcl operatorname Sp mathbf Q amp amp displaystyle sum i 1 3 vec v i cdot vec u i operatorname I 2 mathbf Q amp amp displaystyle left sum i 1 3 vec v i cdot vec u i right frac operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix operatorname det mathbf Q amp amp displaystyle frac operatorname det begin pmatrix vec v 1 amp vec v 2 amp vec v 3 end pmatrix operatorname det begin pmatrix vec u 1 amp vec u 2 amp vec u 3 end pmatrix pm 1 end array nbsp Die Vektorinvariante ist wie im Abschnitt Tensor gegeben die Drehachse die mit dem Einheitstensor berechnet wird i Q 1 Q i 1 3 v i u i i 1 3 v i u i displaystyle vec operatorname i mathbf Q mathbf 1 cdot times Q sum i 1 3 vec v i times vec u i sum i 1 3 vec v i times vec u i nbsp Die Frobeniusnorm eines orthogonalen Tensors ist immer gleich der Wurzel der Raumdimension Q Q Q Q Q 1 1 1 3 displaystyle parallel mathbf Q parallel sqrt mathbf Q mathbf Q sqrt mathbf Q top cdot mathbf Q mathbf 1 sqrt mathbf 1 mathbf 1 sqrt 3 nbsp Siehe auch BearbeitenDrehmatrix Orthogonale Matrix Orthogonale Abbildung Quaternion Spezielle orthogonale Gruppe Spezielle lineare Gruppe Formelsammlung TensoralgebraFussnoten Bearbeiten N Buchter Zusammenfuhrung von Degenerationskonzept und Schalentheorie bei endlichen Rotationen 1992 PDF Version archiviert am 2014 10 19 Bericht Nr 14 des Instituts fur Baustatik der Universitat Stuttgart Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 J Hanson Drehungen in drei vier und funf Dimensionen 2011 arxiv 1103 5263 englisch Originaltitel Rotations in three four and five dimensions Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Orthogonaler Tensor amp oldid 216753824
