Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist eine reelle orthogonale Matrix mit Determinante 1 Ihre Multiplikation mit einem Vektor lasst sich interpretieren als sogenannte aktive Drehung des Vektors im euklidischen Raum oder als passive Drehung des Koordinatensystems dann mit umgekehrtem Drehsinn Bei der passiven Drehung andert sich der Vektor nicht er hat bloss je eine Darstellung Koordinatenwerte im alten und im neuen Koordinatensystem Dabei handelt es sich stets um Drehungen um den Ursprung da die Multiplikation einer Matrix mit dem Nullvektor diesen auf sich selbst abbildet In ungeraden Dimensionen werden durch eine Drehung weitere Vektoren auf sich selbst abgebildet R p p displaystyle Rp p Im dreidimensionalen Raum handelt es sich also um eine Gerade die Drehachse Eine Drehmatrix enthalt trigonometrische Ausdrucke des Drehwinkels und der Orientierung des invarianten Unterraumes In geraden Dimensionen muss die Drehmatrix keinen reellen Eigenwert haben Inhaltsverzeichnis 1 Drehmatrix der Ebene ℝ 2 Drehmatrizen des Raumes ℝ 2 1 Parametrisierung 3 Drehmatrizen des Raumes ℝⁿ 3 1 Eigensystem der Drehmatrizen 4 Allgemeine Definition 5 Eigenschaften 6 Infinitesimale Drehungen 6 1 Ebene ℝ 6 2 Raum ℝ 6 3 Kommutativitat infinitesimaler Drehungen 7 Bestimmung der Drehung zwischen zwei Lagen 8 Siehe auch 9 Literatur 10 WeblinksDrehmatrix der Ebene ℝ BearbeitenIn der euklidischen Ebene R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp wird die Drehung eines Vektors p displaystyle p nbsp aktive Drehung Uberfuhrung in den Vektor p displaystyle p nbsp um einen festen Ursprung um den Winkel a displaystyle alpha nbsp mathematisch positiv gegen den Uhrzeigersinn durch die Multiplikation mit der Drehmatrix R a displaystyle R alpha nbsp erreicht p R a p 1 displaystyle p R alpha p qquad 1 nbsp Jede Rotation um den Ursprung ist eine lineare Abbildung Wie bei jeder linearen Abbildung genugt daher zur Festlegung der Gesamtabbildung die Festlegung der Bilder der Elemente einer beliebigen Basis Wird die Standardbasis gewahlt sind die Bilder der Basisvektoren gerade die Spalten der dazugehorigen Abbildungsmatrix Hier wirkt R a displaystyle R alpha nbsp auf die beiden Basisvektoren wie folgt 1 0 cos a sin a und 0 1 sin a cos a displaystyle begin pmatrix 1 0 end pmatrix mapsto begin pmatrix cos alpha sin alpha end pmatrix qquad text und qquad begin pmatrix 0 1 end pmatrix mapsto begin pmatrix sin alpha cos alpha end pmatrix nbsp Fur die Drehmatrix einer Drehung um a displaystyle alpha nbsp ergibt sich damit R a cos a sin a sin a cos a displaystyle R alpha begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix nbsp Ein Punkt P x y displaystyle P x y nbsp geht in den Punkt P x y displaystyle P x y nbsp uber dessen als Spaltenvektor geschriebenen Ortsvektor p x y displaystyle p begin pmatrix x y end pmatrix nbsp man aus p x y displaystyle p begin pmatrix x y end pmatrix nbsp durch Anwenden der obigen Formel 1 displaystyle 1 nbsp erhalt p R a p displaystyle p R alpha cdot p nbsp x y cos a sin a sin a cos a x y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix cdot begin pmatrix x y end pmatrix nbsp Diese Matrixmultiplikation ergibt x x cos a y sin a displaystyle x x cdot cos alpha y cdot sin alpha nbsp y x sin a y cos a displaystyle y x cdot sin alpha y cdot cos alpha nbsp Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem mathematisch positiv gedreht Der Vektor p displaystyle p nbsp erscheint im gedrehten Koordinatensystem als im Uhrzeigersinn zuruckgedrehter Vektor p displaystyle hat p nbsp Seine Koordinaten im gedrehten Koordinatensystem findet man durch Multiplikation mit der Matrix R a 1 displaystyle R alpha 1 nbsp p R a 1 p displaystyle hat p R alpha 1 p nbsp Die Drehmatrix fur die passive Drehung ist R a 1 cos a sin a sin a cos a R a displaystyle R alpha 1 begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix R alpha nbsp Die Verkettung zweier positiver Drehungen um die Winkel a displaystyle alpha nbsp bzw b displaystyle beta nbsp ist erneut eine Drehung und zwar um den Winkel a b displaystyle alpha beta nbsp siehe auch Kreisgruppe Die zur Verkettung gehorende Matrix kann mittels Multiplikation aus den beiden einzelnen Drehmatrizen berechnet werden R a b R a R b cos a b sin a b sin a b cos a b cos a sin a sin a cos a cos b sin b sin b cos b cos a cos b sin a sin b cos a sin b sin a cos b cos a sin b sin a cos b cos a cos b sin a sin b displaystyle begin aligned R alpha beta amp R alpha R beta begin pmatrix cos alpha beta amp sin alpha beta sin alpha beta amp cos alpha beta end pmatrix amp begin pmatrix cos alpha amp sin alpha sin alpha amp cos alpha end pmatrix begin pmatrix cos beta amp sin beta sin beta amp cos beta end pmatrix amp begin pmatrix cos alpha cos beta sin alpha sin beta amp cos alpha sin beta sin alpha cos beta cos alpha sin beta sin alpha cos beta amp cos alpha cos beta sin alpha sin beta end pmatrix end aligned nbsp Drehmatrizen des Raumes ℝ BearbeitenDie elementaren Drehungen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp sind Drehungen um die ublichen kartesischen Koordinatenachsen Die folgenden Matrizen drehen einen Punkt bzw Vektor um den Winkel a displaystyle alpha nbsp bei festen Koordinatenachsen In der Physik werden haufig Drehungen des Koordinatensystems benutzt dann mussen bei den untenstehenden Matrizen die Vorzeichen aller Sinus Eintrage geandert werden Die Drehung eines Vektors um einen bestimmten Winkel in einem Koordinatensystem fuhrt auf dieselben Spaltenvektoren wie die Drehung des Koordinatensystems um den gleichen Winkel in umgekehrter Richtung Drehung um negativen Winkel Die Matrizen gelten sowohl fur Rechts als auch fur Linkssysteme Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht Der Drehsinn ergibt sich wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung schaut In Rechtssystemen kann auch eine Rechte Hand Regel angewandt werden Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an Im Ergebnis ist das Vorzeichen der Sinus Eintrage der Drehung um die y displaystyle y nbsp Achse anders als bei den beiden anderen Matrizen Drehung um die x displaystyle x nbsp Achse R x a 1 0 0 0 cos a sin a 0 sin a cos a displaystyle R x alpha begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp cos alpha amp sin alpha 0 amp sin alpha amp cos alpha end pmatrix nbsp Drehung um die y displaystyle y nbsp Achse R y a cos a 0 sin a 0 1 0 sin a 0 cos a displaystyle R y alpha begin pmatrix cos alpha amp 0 amp sin alpha 0 amp 1 amp 0 sin alpha amp 0 amp cos alpha end pmatrix nbsp Drehung um die z displaystyle z nbsp Achse R z a cos a sin a 0 sin a cos a 0 0 0 1 displaystyle R z alpha begin pmatrix cos alpha amp sin alpha amp 0 sin alpha amp cos alpha amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp Drehung um eine Ursprungsgerade deren Richtung und Orientierung durch den beliebigen Einheitsvektor n n 1 n 2 n 3 T displaystyle hat n n 1 n 2 n 3 T nbsp gegeben ist R n a n 1 2 1 cos a cos a n 1 n 2 1 cos a n 3 sin a n 1 n 3 1 cos a n 2 sin a n 2 n 1 1 cos a n 3 sin a n 2 2 1 cos a cos a n 2 n 3 1 cos a n 1 sin a n 3 n 1 1 cos a n 2 sin a n 3 n 2 1 cos a n 1 sin a n 3 2 1 cos a cos a displaystyle R hat n alpha begin pmatrix n 1 2 left 1 cos alpha right cos alpha amp n 1 n 2 left 1 cos alpha right n 3 sin alpha amp n 1 n 3 left 1 cos alpha right n 2 sin alpha n 2 n 1 left 1 cos alpha right n 3 sin alpha amp n 2 2 left 1 cos alpha right cos alpha amp n 2 n 3 left 1 cos alpha right n 1 sin alpha n 3 n 1 left 1 cos alpha right n 2 sin alpha amp n 3 n 2 left 1 cos alpha right n 1 sin alpha amp n 3 2 left 1 cos alpha right cos alpha end pmatrix nbsp Diese beliebige Drehung lasst sich auch uber drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen sodass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lasst Eine Drehung um eine beliebige Achse n displaystyle hat n nbsp mit n n 1 displaystyle hat n cdot hat n 1 nbsp um den Winkel a displaystyle alpha nbsp lasst sich im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp schreiben als R n a x n n x cos a n x n sin a n x displaystyle R hat n alpha vec x hat n hat n cdot vec x cos left alpha right hat n times vec x times hat n sin left alpha right hat n times vec x nbsp Dies lasst sich mit der Grassmann Identitat fur doppelte Kreuzprodukte und dem dyadischen Produkt displaystyle otimes nbsp umformen zu R n a x 1 cos a n n x cos a x sin a n x 1 cos a n n I cos a sin a i n e i e i x 1 cos a n n I cos a n sin a x displaystyle begin aligned R hat n alpha vec x amp 1 cos alpha hat n hat n cdot vec x cos alpha vec x sin alpha hat n times vec x amp Bigl 1 cos alpha hat n otimes hat n I cos alpha sin alpha sum i hat n times hat e i otimes hat e i Bigr vec x amp Bigl 1 cos alpha hat n otimes hat n I cos alpha hat n times sin alpha Bigr vec x end aligned nbsp Dabei ist I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix und e i displaystyle hat e i nbsp sind die kanonischen Einheitsvektoren n displaystyle hat n times nbsp ist die Kreuzproduktmatrix von n displaystyle hat n nbsp Der Term in geschweiften Klammern stellt die Drehmatrix im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp dar In Komponentendarstellung schreibt sich diese so R n a i j 1 cos a n i n j cos a d i j sin a e i k j n k displaystyle R hat n alpha ij 1 cos alpha n i n j cos alpha delta ij sin alpha varepsilon ikj n k nbsp Dabei sind d i j displaystyle delta ij nbsp das Kronecker Delta und e i k j displaystyle varepsilon ikj nbsp das Levi Civita Symbol Eine Drehmatrix R I displaystyle R neq I nbsp im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp hat den Eigenwert 1 dieser ist nicht entartet und der zugehorige Eigenraum bildet die Drehachse Parametrisierung Bearbeiten Fur Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum sind mehrere Parametrisierungen bekannt Euler Kardan und Tait Bryan Winkel werden in der Kreiseltheorie Luftfahrt Schifffahrt und im Automobilbau verwendet Die Euler Rodrigues Formel basiert auf den Quaternionen und wird in der Robotik und Computergrafik angewendet Rotationsvektoren a displaystyle vec alpha nbsp sind in vielfaltiger Weise definierbar siehe die folgende Auflistung a a n R I sin a a a 1 cos a a 2 a 2 exp a a tan a 2 n R I 2 1 a a a a 2 a sin a n R I a 1 1 cos a a 2 a sin a 2 n R I 2 cos a 2 a 2 a 2 displaystyle begin array lcl vec alpha alpha hat n amp rightarrow amp R I frac sin alpha alpha vec alpha times frac 1 cos alpha alpha 2 vec alpha times 2 exp vec alpha times vec alpha tan left dfrac alpha 2 right hat n amp rightarrow amp R I dfrac 2 1 vec alpha cdot vec alpha vec alpha times vec alpha times 2 2ex vec alpha sin alpha hat n amp rightarrow amp R I vec alpha times dfrac 1 1 cos alpha vec alpha times 2 2ex vec alpha sin left dfrac alpha 2 right hat n amp rightarrow amp R I 2 cos left dfrac alpha 2 right vec alpha times 2 vec alpha times 2 end array nbsp Darin ist a displaystyle alpha nbsp der Drehwinkel n displaystyle hat n nbsp der Einheitsvektor in Richtung der Drehachse und a displaystyle vec alpha times nbsp ist die Kreuzproduktmatrix des Rotationsvektors Die Auflistung gibt vier Darstellungen derselben Drehmatrix die mit Winkel a displaystyle alpha nbsp um die Drehachse n displaystyle hat n nbsp dreht Drehmatrizen des Raumes ℝⁿ BearbeitenIm n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum wird eine Drehung nicht durch eine Drehachse sondern durch die Ebene definiert die bei der Drehung auf sich selbst abgebildet wird Das gilt auch in zwei Dimensionen wo die Dreh Achse nur ein Punkt ist Seien im R n displaystyle mathbb R n nbsp die Vektoren g 1 displaystyle hat g 1 nbsp und g 2 displaystyle hat g 2 nbsp zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren also g 1 g 2 0 displaystyle hat g 1 cdot hat g 2 0 nbsp und g 1 g 2 1 displaystyle left hat g 1 right left hat g 2 right 1 nbsp die demnach eine Ebene aufspannen Seien V g 1 g 1 g 2 g 2 displaystyle V hat g 1 otimes hat g 1 hat g 2 otimes hat g 2 nbsp W g 1 g 2 g 2 g 1 displaystyle W hat g 1 otimes hat g 2 hat g 2 otimes hat g 1 nbsp und I n displaystyle I n nbsp die Einheitsmatrix Dann vermittelt die Matrix R exp a W I n cos a 1 V sin a W displaystyle R exp alpha W I n left cos alpha 1 right V sin alpha W nbsp eine Drehung um den Winkel a displaystyle alpha nbsp in der g 1 g 2 Ebene displaystyle hat g 1 text hat g 2 text Ebene nbsp im R n displaystyle mathbb R n nbsp Dabei wurde exp a W k 0 a k k W k displaystyle exp left alpha W right sum k 0 infty frac alpha k k mathrm W k nbsp und W 0 I n displaystyle W 0 I n nbsp definiert Die Darstellung exp a W I n cos a 1 V sin a W displaystyle exp alpha W I n left cos alpha 1 right V sin alpha W nbsp ergibt sich aus den Identitaten W 2 W W V W V V W W V 2 V W 2 n 1 n V und W 2 n 1 1 n W displaystyle begin aligned W 2 amp WW V quad WV VW W quad V 2 V rightarrow W 2n amp 1 n V quad text und quad W 2n 1 1 n W end aligned nbsp sowie cos a 1 k 1 1 k 2 k a 2 k und sin a k 0 1 k 2 k 1 a 2 k 1 displaystyle cos alpha 1 sum k 1 infty frac 1 k left 2k right mathrm alpha 2k quad text und quad sin alpha sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 mathrm alpha 2k 1 nbsp Eigensystem der Drehmatrizen Bearbeiten Von R displaystyle R nbsp wird jeder auf g 1 displaystyle hat g 1 nbsp und g 2 displaystyle hat g 2 nbsp senkrecht stehende Vektor n displaystyle vec n nbsp mit n g 1 n g 2 0 displaystyle vec n cdot hat g 1 vec n cdot hat g 2 0 nbsp auf sich selbst abgebildet Also sind diese Vektoren n displaystyle vec n nbsp Eigenvektoren von R displaystyle R nbsp mit Eigenwert 1 Zwei Eigenwerte von R displaystyle R nbsp sind l 1 2 e i a displaystyle lambda 1 2 e pm mathrm i alpha nbsp mit den Eigenvektoren v 1 2 2 2 g 1 i g 2 displaystyle hat v 1 2 tfrac sqrt 2 2 left hat g 1 pm mathrm i hat g 2 right nbsp worin i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp die imaginare Einheit ist Aus diesen komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren kann man also den Drehwinkel und die Drehebene rekonstruieren Des Weiteren gilt bei Drehung in einer Ebene Sp R n 2 cos a 2 a arccos Sp R 2 n 2 R R 2 sin a W g 1 g 2 g 2 g 1 W R R 2 sin a displaystyle begin aligned operatorname Sp R amp n 2 cos alpha 2 rightarrow alpha arccos left frac operatorname Sp R 2 n 2 right R R top amp 2 sin alpha W rightarrow hat g 1 otimes hat g 2 hat g 2 otimes hat g 1 W frac R R top 2 sin alpha end aligned nbsp Allerdings kann eine Drehung im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum gleichzeitig in n 2 displaystyle tfrac n 2 nbsp falls n displaystyle n nbsp gerade oder n 1 2 displaystyle tfrac n 1 2 nbsp falls n displaystyle n nbsp ungerade Ebenen auch mit mehreren unterschiedlichen Winkeln stattfinden Dadurch kann es in geraden Dimensionen dazu kommen dass eine allgemeine Drehmatrix nicht den Eigenwert 1 hat Allgemeine Definition BearbeitenEine n n displaystyle n times n nbsp Matrix R displaystyle R nbsp mit reellen Komponenten heisst Drehmatrix wenn sie a die Lange von Vektoren und die Winkel zwischen Vektoren erhalt ausgedruckt durch das Skalarprodukt wenn also fur alle Vektoren x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp des R n displaystyle mathbb R n nbsp gilt R x R y x y displaystyle langle Rx Ry rangle langle x y rangle nbsp dd und b orientierungserhaltend ist wenn also det R 1 displaystyle det R 1 nbsp gilt Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante 1 Eigenschaften BearbeitenWeitere Eigenschaften von Rotationsmatrizen R R n n displaystyle R in mathbb R n times n nbsp Quadratische Matrix mit reellen KomponentenR T R R R T I n displaystyle R T R R R T I n nbsp orthogonal folgt aus dem ersten Teil der Definition R x R y x R T R y x y R T R I displaystyle left langle Rx Ry right rangle equiv left langle x R T Ry right rangle left langle x y right rangle quad Rightarrow quad R T R I nbsp dd R T R 1 displaystyle R T R 1 nbsp Transponierte und Inverse von R sind gleich folgt aus der Orthogonalitat det R 1 displaystyle det R 1 nbsp Determinante entspricht dem zweiten Teil der Definition Die Ausrichtung des Koordinatensystems Rechts oder Linkssystem wird beibehalten da det R 1 gt 0 displaystyle det R 1 gt 0 nbsp positive Orientierung Die Kombination einer Drehung R 1 displaystyle R 1 nbsp mit anschliessender Drehung R 2 displaystyle R 2 nbsp erfolgt mit der Matrix R 2 R 1 displaystyle R 2 R 1 nbsp Weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist fuhrt die umgekehrte Reihenfolge R 1 R 2 displaystyle R 1 R 2 nbsp im Allgemeinen zu einem anderen Ergebnis Nur bei infinitesimal kleinen Drehungen ist die Reihenfolge vertauschbar siehe Kommutativitat infinitesimaler Drehungen Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die Drehgruppe namlich die spezielle orthogonale Gruppe S O n lineare Abbildung R R n R n R T R I n det R 1 displaystyle mathrm SO n left text lineare Abbildung R colon mathbb R n to mathbb R n R T R I n det R 1 right nbsp dd Zusatzlich zur algebraischen Struktur einer Gruppe besitzt die Menge aller Drehmatrizen auch eine topologische Struktur Die Operationen Multiplikation und Inversion von Drehmatrizen sind stetig differenzierbare Funktionen ihrer Parameter der Drehwinkel Die S O n displaystyle mathrm SO n nbsp bildet eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ist somit eine Lie Gruppe Diese hat die Dimension n n 1 2 displaystyle n n 1 2 nbsp Mit der Lie Gruppe S O n displaystyle mathrm SO n nbsp ist eine Lie Algebra s o n displaystyle mathfrak so n nbsp verknupft ein Vektorraum mit einem bilinearen alternierenden Produkt Lie Klammer wobei der Vektorraum bezuglich der Lie Klammer abgeschlossen ist Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum am neutralen Element der S O n displaystyle mathrm SO n nbsp neutrales Element ist die Einheitsmatrix sodass insbesondere dim s o n dim S O n displaystyle dim mathfrak so n dim mathrm SO n nbsp gilt Die Lie Algebra besteht aus allen schiefsymmetrischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen und ihre Basis sind die sog Erzeugenden Die Exponentialabbildung verknupft die Lie Algebra mit der Lie Gruppe exp s o n S O n J k 0 1 k J k displaystyle exp colon mathfrak so n to mathrm SO n J mapsto sum k 0 infty frac 1 k J k nbsp dd Speziell bei Drehungen in einer Ebene gilt fur Rotationsmatrizen R R n n displaystyle R in mathbb R n times n nbsp R 1 a R a R 2 p a displaystyle R 1 alpha R alpha R 2 pi alpha nbsp Zwei Vektoren spannen die Drehebene auf und n 2 displaystyle n 2 nbsp Vektoren werden von R displaystyle R nbsp auf sich abgebildet In drei Dimensionen wird ein Vektor auf sich abgebildet der dann die Drehachse erzeugt Die zur Drehebene senkrechten Vektoren v displaystyle vec v nbsp sind Losung von R I v 0 displaystyle R I vec v vec 0 nbsp dd Da R I displaystyle R I nbsp fur ungerade Dimensionen nicht regular ist ist die Berechnung dieser Vektoren uber eine Eigenwertzerlegung durchzufuhren Die Vektoren v displaystyle vec v nbsp sind Eigenvektor von R displaystyle R nbsp mit Eigenwert 1 In geraden Dimensionen muss kein Eigenvektor zum Eigenwert 1 existieren was im Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp anschaulich klar ist Der Drehwinkel a displaystyle alpha nbsp ergibt sich uber das Skalarprodukt w R w w R w cos a displaystyle quad left langle vec w R vec w right rangle left vec w right left R vec w right cos alpha nbsp dd mit w displaystyle vec w nbsp in der Drehebene in drei Dimensionen also orthogonal zur Drehachse oder aus der Spur der DrehmatrixSpur R n 2 2 cos a displaystyle operatorname Spur R n 2 2 cos alpha nbsp dd siehe auch Formel fur die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben Infinitesimale Drehungen BearbeitenBetrachtet man Drehungen um infinitesimal kleine Winkel d a displaystyle mathrm d alpha nbsp so ist es ausreichend die Winkelfunktionen der endlichen Drehung bis zur ersten Ordnung zu entwickeln sin x x displaystyle sin x x nbsp bzw cos x 1 displaystyle cos x 1 nbsp Damit lassen sich nun infinitesimale Drehungen darstellen als R d a I d a J displaystyle R mathrm d alpha I mathrm d alpha J nbsp wobei I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix und J displaystyle J nbsp die Erzeugende einer infinitesimalen Drehung darstellt Die Erzeugenden sind die Ableitungen der Rotationsmatrix an der Stelle der Identitat und bilden die Basis der Lie Algebra s o n displaystyle mathfrak so n nbsp Beispiel siehe unten J d R a d a a 0 displaystyle J left frac mathrm d R alpha mathrm d alpha right alpha 0 nbsp Eine endliche Drehung lasst sich durch Hintereinanderausfuhrung infinitesimaler Drehungen erzeugen R a lim N R a N N lim N I a N J N exp a J n 0 a J n n displaystyle R alpha lim N to infty left R left frac alpha N right right N lim N to infty left I frac alpha N J right N exp left alpha J right equiv sum n 0 infty frac left alpha J right n n nbsp Dabei wurde die Exponentialfunktion identifiziert Die Exponentialfunktion von Matrizen ist uber die Reihendarstellung definiert wie im letzten Schritt gezeigt Es lasst sich zeigen dass Erzeugende spurfrei sein mussen 1 det R a exp a Sp J Sp J 0 displaystyle 1 det R alpha exp alpha operatorname Sp J quad implies quad operatorname Sp J 0 nbsp und schiefsymmetrisch sind I R a R T a R T a R a e a J e a J T e a J T e a J e a J J T J J T 0 displaystyle I R alpha R mathrm T alpha R mathrm T alpha R alpha e alpha J e alpha J mathrm T e alpha J mathrm T e alpha J e alpha J J mathrm T quad implies quad J J mathrm T 0 nbsp Mit dem Konzept der Erzeugenden lasst sich die lokale Gruppenstruktur der S O n displaystyle mathrm SO n nbsp in der Umgebung der identischen Abbildung ausdrucken und zwar durch die infinitesimalen Drehungen Wegen des Zusammenhangs uber die Exponentialfunktion wird aus einer Multiplikation von Drehmatrizen eine Addition ihrer Erzeugenden Die Erzeugenden bilden einen Vektorraum derselben Dimension G n n 1 2 displaystyle G n n 1 2 nbsp wie die Drehgruppe S O n displaystyle mathrm SO n nbsp somit gibt es G displaystyle G nbsp linear unabhangige Erzeugende der Gruppe S O n displaystyle mathrm SO n nbsp Die Erzeugenden J i displaystyle J i nbsp bilden mit dem Lie Produkt Kommutator die sog Lie Algebra s o n displaystyle mathfrak so n nbsp Eine Algebra besitzt zwei Gruppenstrukturen die kommutative Addition und eine Multiplikation Lie Produkt Der Kommutator zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden Abgeschlossenheit J i J k l c i k l J l displaystyle J i J k sum l c ik l J l nbsp Die Koeffizienten c i k l c k i l displaystyle c ik l c ki l nbsp sind charakteristische Konstanten der Gruppe Fur alle doppelten Kommutatoren gilt die Jacobi Identitat J i J k J l J k J l J i J l J i J k 0 displaystyle left J i J k J l right left J k J l J i right left J l J i J k right 0 nbsp In der theoretischen Physik spielen Lie Gruppen eine wichtige Rolle z B in der Quantenmechanik siehe Drehimpulsoperator oder der Elementarteilchenphysik Ebene ℝ Bearbeiten Fur Drehungen im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp lauten die infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende R d a 1 d a d a 1 J 0 1 1 0 displaystyle R mathrm d alpha begin pmatrix 1 amp mathrm d alpha mathrm d alpha amp 1 end pmatrix quad J begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix nbsp Fur die S O 2 displaystyle mathrm SO 2 nbsp gibt es nur eine linear unabhangige Erzeugende Eine endliche Drehung lasst sich uber die Exponentialfunktion des Drehwinkels und der Erzeugenden darstellen Dies wird hier auf eine weitere Art gezeigt Die Drehmatrix wird in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil zerlegt und die trigonometrischen Funktionen werden durch ihre Taylorreihe dargestellt R a I cos a J sin a I n 0 1 n a 2 n 2 n J n 0 1 n a 2 n 1 2 n 1 displaystyle R alpha I cos alpha J sin alpha I sum n 0 infty 1 n frac alpha 2n 2n J sum n 0 infty 1 n frac alpha 2n 1 2n 1 nbsp Mit J 2 I displaystyle J 2 I nbsp bzw J 2 n I n displaystyle J 2n I n nbsp folgt das von oben bekannte Ergebnis R a n 0 J 2 n a 2 n 2 n n 0 J 2 n 1 a 2 n 1 2 n 1 exp a J displaystyle R alpha sum n 0 infty J 2n frac alpha 2n 2n sum n 0 infty J 2n 1 frac alpha 2n 1 2n 1 exp alpha J nbsp Raum ℝ Bearbeiten Fur Drehungen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp um die kartesischen Koordinatenachsen lauten die infinitesimalen Drehungen und ihre Erzeugenden R x d a 1 0 0 0 1 d a 0 d a 1 J x 0 0 0 0 0 1 0 1 0 R y d a 1 0 d a 0 1 0 d a 0 1 J y 0 0 1 0 0 0 1 0 0 R z d a 1 d a 0 d a 1 0 0 0 1 J z 0 1 0 1 0 0 0 0 0 displaystyle begin aligned R x mathrm d alpha amp begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp mathrm d alpha 0 amp mathrm d alpha amp 1 end pmatrix quad amp J x amp begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 0 end pmatrix R y mathrm d alpha amp begin pmatrix 1 amp 0 amp mathrm d alpha 0 amp 1 amp 0 mathrm d alpha amp 0 amp 1 end pmatrix quad amp J y amp begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 end pmatrix R z mathrm d alpha amp begin pmatrix 1 amp mathrm d alpha amp 0 mathrm d alpha amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix quad amp J z amp begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix end aligned nbsp Fur die S O 3 displaystyle mathrm SO 3 nbsp gibt es drei linear unabhangige Erzeugende Gegenuber endlichen Drehungen vertauschen infinitesimale Drehungen miteinander der Kommutator verschwindet in erster Ordnung in d a displaystyle mathrm d alpha nbsp Eine infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende um eine beliebige Achse n displaystyle hat n nbsp mit n n 1 displaystyle hat n cdot hat n 1 nbsp lasst sich auch schreiben als R n d a I d a i n e i e i 1 d a n z d a n y d a n z 1 d a n x d a n y d a n x 1 displaystyle R hat n mathrm d alpha I mathrm d alpha sum i hat n times hat e i otimes hat e i begin pmatrix 1 amp mathrm d alpha n z amp mathrm d alpha n y mathrm d alpha n z amp 1 amp mathrm d alpha n x mathrm d alpha n y amp mathrm d alpha n x amp 1 end pmatrix nbsp J n i n e i e i 0 n z n y n z 0 n x n y n x 0 displaystyle J hat n sum i left hat n times hat e i right otimes hat e i begin pmatrix 0 amp n z amp n y n z amp 0 amp n x n y amp n x amp 0 end pmatrix nbsp Hieran sieht man dass eine beliebige Erzeugende stets eine schiefsymmetrische Matrix ist Eine endliche Drehung um eine beliebige Achse n displaystyle hat n nbsp mit n n 1 displaystyle hat n cdot hat n 1 nbsp um den Winkel a displaystyle alpha nbsp lasst sich so darstellen R n a exp a J n exp a n J exp a n x J x n y J y n z J z displaystyle R hat n alpha exp Big alpha J hat n Big exp Big alpha hat n cdot vec J Big exp Big alpha n x J x n y J y n z J z Big nbsp Die Erzeugenden J x displaystyle J x nbsp J y displaystyle J y nbsp J z displaystyle J z nbsp bilden die sog Lie Algebra s o 3 displaystyle mathfrak so 3 nbsp d h der Kommutator Lie Produkt zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden J x J y J z J x J z J y displaystyle J x J y J z quad J x J z J y nbsp und ebenso fur alle zyklischen Permutationen der Indizes Kommutativitat infinitesimaler Drehungen Bearbeiten Siehe auch Winkelgeschwindigkeit Kommutativitat Zwei infinitesimale Drehungen sind in ihrer Reihenfolge vertauschbar was bei grossen Drehungen im Allgemeinen nicht der Fall ist siehe Eigenschaften Ersichtlich ist das am Produkt zweier infinitesimaler Drehungen R n I d a J n displaystyle R n I mathrm d alpha J n nbsp und R m I d b J m displaystyle R m I mathrm d beta J m nbsp R n R m I d a J n I d b J m I d a J n d b J m d a d b J n J m I d a J n d b J m I d a J n d b J m d a d b J m J n I d b J m I d a J n R m R n displaystyle begin aligned R n R m amp I mathrm d alpha J n I mathrm d beta J m amp I mathrm d alpha J n mathrm d beta J m mathrm d alpha mathrm d beta J n J m approx amp I mathrm d alpha J n mathrm d beta J m approx I mathrm d alpha J n mathrm d beta J m mathrm d alpha mathrm d beta J m J n amp I mathrm d beta J m I mathrm d alpha J n R m R n end aligned nbsp denn die Terme die proportional zum Produkt d a d b displaystyle mathrm d alpha mathrm d beta nbsp zweier infinitesimaler Grossen sind konnen gegenuber den anderen vernachlassigt werden Bestimmung der Drehung zwischen zwei Lagen BearbeitenGegeben sei die Lage eines Korpers in zwei Positionen Ausserdem sei die Positionsanderung durch Drehung um den Ursprung erfolgt Gesucht ist die oder eine Drehmatrix die diese Drehung beschreibt Im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum wird die Lage des Korpers durch n displaystyle n nbsp Punkte x i i 1 n displaystyle vec x i i 1 ldots n nbsp beschrieben welche die Matrix X x 1 x n displaystyle X Big vec x 1 ldots vec x n Big nbsp bilden Die Ausgangslage werde durch X 0 displaystyle X 0 nbsp die verdrehte Lage durch X displaystyle X nbsp beschreiben Dann gilt fur die Drehung R X 0 X displaystyle R X 0 X nbsp Ist X 0 displaystyle X 0 nbsp regular dann kann die Drehmatrix einfach durch Rechtsmultiplikation mit X 0 1 displaystyle X 0 1 nbsp bestimmt werden R X X 0 1 displaystyle R X X 0 1 nbsp Ist X 0 displaystyle X 0 nbsp nicht regular weil zum Beispiel einer der Punkte des Korpers im Ursprung liegt dann kann die Inverse nicht gebildet werden Auch die Pseudoinverse fuhrt hier nicht zum Ziel Allerdings kann eine Singularwertzerlegung durchgefuhrt werden Diese liefert fur eine Matrix X displaystyle X nbsp die unitaren Matrizen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp sowie die Diagonalmatrix S displaystyle Sigma nbsp der Singularwerte U S V svd X X U S V displaystyle begin aligned U Sigma V amp text svd X X amp U Sigma V end aligned nbsp Man kann zeigen dass die Singularwerte gegenuber einer Rotation invariant sind Es gilt also S S 0 displaystyle Sigma Sigma 0 nbsp und damit R X 0 X R U 0 S 0 V 0 U S V R U V V 0 U 0 displaystyle begin aligned R X 0 amp X R U 0 Sigma 0 V 0 amp U Sigma V R amp U V V 0 U 0 end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenOrthogonaler Tensor Orthogonale AbbildungLiteratur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 17 aktualisierte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 0996 4 Studium Grundkurs Mathematik Karlheinz Goldhorn Moderne mathematische Methoden der Physik Band 2 Springer Berlin u a 2010 ISBN 978 3 642 05184 5 Springer Lehrbuch Max Koecher Lineare Algebra und analytische Geometrie 4 erganzte und aktualisierte Auflage Springer Berlin u a 1997 ISBN 3 540 62903 3 Grundwissen Mathematik Springer Lehrbuch Florian Scheck Theoretische Physik Band 1 Mechanik von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos 8 Auflage Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 71377 7 J Hanson Rotations in three four and five dimensions arxiv 1103 5263 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Rotation Matrix In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Drehmatrix amp oldid 232891874
