In der Mathematik und Mechanik dient die Euler Rodrigues Formel nach Leonhard Euler und Olinde Rodrigues der Beschreibung einer Drehung in drei Dimensionen Mit vier Euler Parametern a b c d displaystyle a b c d fur die a 2 b 2 c 2 d 2 1 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 1 gilt definiert Q a 2 b 2 c 2 d 2 2 b c a d 2 b d a c 2 b c a d a 2 c 2 b 2 d 2 2 c d a b 2 b d a c 2 c d a b a 2 d 2 b 2 c 2 displaystyle Q begin pmatrix a 2 b 2 c 2 d 2 amp 2 bc ad amp 2 bd ac 2 bc ad amp a 2 c 2 b 2 d 2 amp 2 cd ab 2 bd ac amp 2 cd ab amp a 2 d 2 b 2 c 2 end pmatrix eine Drehmatrix Diese Formel basiert auf der Rodrigues Formel benutzt aber eine andere Parametrisierung Benutzt wird die Formel in Flugsimulatoren und Computerspielen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Symmetrie 1 2 Vektorformulierung 1 3 Drehwinkel und Drehachse 1 4 Parameter einer Drehmatrix 1 5 Verknupfung zweier Rotationen 2 Verbindung mit anderen Konstrukten 2 1 Quaternionen 2 2 Pauli Matrizen 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenSymmetrie Bearbeiten Die Parameter a b c d displaystyle a b c d nbsp und a b c d displaystyle a b c d nbsp beschreiben dieselbe Rotation was daran liegt dass sie in der Q Matrix immer paarweise miteinander multipliziert werden und so die Minus Zeichen neutralisiert werden Von dieser Symmetrie abgesehen definieren vier Parameter die Drehmatrix in eindeutiger Weise Vektorformulierung Bearbeiten Aus den Parametern b c d displaystyle b c d nbsp kann ein Vektor f b c d displaystyle vec varphi b c d top nbsp gebildet werden Darin bezeichnet das hochgestellte displaystyle top nbsp die transponierte Matrix sodass f displaystyle vec varphi nbsp ein Spaltenvektor ist Dann gilt fur alle x displaystyle vec x nbsp Q x x 2 a f x 2 f f x displaystyle Q vec x vec x 2a vec varphi times vec x 2 vec varphi times vec varphi times vec x nbsp So motiviert sich die Bezeichnung fur a displaystyle a nbsp als skalarer Parameter und b c d displaystyle b c d nbsp als Vektorparameter Mit der Kreuzproduktmatrix f 0 d c d 0 b c b 0 displaystyle vec varphi times begin pmatrix 0 amp d amp c d amp 0 amp b c amp b amp 0 end pmatrix nbsp zeigt sich Q E 3 2 a f 2 f f 2 a 2 1 E 3 2 a f 2 f f displaystyle Q E 3 2a vec varphi times 2 vec varphi times vec varphi times 2a 2 1 E 3 2a vec varphi times 2 vec varphi vec varphi top nbsp Darin ist E 3 displaystyle E 3 nbsp die Einheitsmatrix Diese entsteht bei f 0 displaystyle vec varphi vec 0 nbsp mit den Euler Parametern a b c d 1 0 0 0 displaystyle a b c d pm 1 0 0 0 nbsp Bei 180 Drehungen ist a 0 displaystyle a 0 nbsp und f 1 displaystyle vec varphi 1 nbsp Drehwinkel und Drehachse Bearbeiten Jede Drehung in drei Dimensionen ist eindeutig bestimmt durch einen Drehwinkel ϕ displaystyle phi nbsp und eine Drehachse die durch einen Einheitsvektor e e x e y e z displaystyle vec e e x e y e z top nbsp mit e x 2 e y 2 e z 2 1 displaystyle e x 2 e y 2 e z 2 1 nbsp definiert wird Dann lauten die Euler Parameter der Drehung a cos ϕ 2 displaystyle a cos phi 2 nbsp b sin ϕ 2 e x displaystyle b sin phi 2 e x nbsp c sin ϕ 2 e y displaystyle c sin phi 2 e y nbsp d sin ϕ 2 e z displaystyle d sin phi 2 e z nbsp Wenn ϕ displaystyle phi nbsp um eine volle 360 Drehung zunimmt entstehen die Euler Parameter a b c d displaystyle a b c d nbsp die wie oben bereits bemerkt dieselbe Drehung reprasentieren Der Vektorparameter lautet hier also f sin f 2 e displaystyle vec varphi sin varphi 2 hat e nbsp Mit diesen Parametern und den Doppelwinkelfunktionen entsteht die Rodrigues Formel fur die Drehmatrix Q E 3 sin f e 1 cos ϕ e e displaystyle Q E 3 sin varphi hat e times 1 cos phi hat e times hat e times nbsp Parameter einer Drehmatrix Bearbeiten Ist die Drehmatrix Q displaystyle Q nbsp gegeben und sind die Euler Parameter gesucht dann werden sie wie folgt gewonnen 1 Hat Q displaystyle Q nbsp nur positive Diagonalelemente dann ist Sp Q 3 a 2 b 2 c 2 d 2 4 a 2 1 a 1 2 Sp Q 1 displaystyle operatorname Sp Q 3a 2 b 2 c 2 d 2 4a 2 1 quad rightarrow quad a pm frac 1 2 sqrt operatorname Sp Q 1 nbsp Die restlichen Parameter entstehen aus q i Q k j Q j k 4 a displaystyle q i frac Q kj Q jk 4a nbsp mit i 1 2 3qi b c dj 2 3 1k 3 1 2Sind teilweise negative Diagonalelemente vorhanden dann sei Q i i displaystyle Q ii nbsp das grosste Diagonalelement und q i 1 2 1 2 Q i i Sp Q displaystyle q i frac 1 2 sqrt 1 2Q ii operatorname Sp Q nbsp Mit diesem Wert und j k displaystyle j k nbsp aus obiger Tabelle ermittelt sich a Q k j Q j k 4 q i q j Q j i Q i j 4 q i q k Q k i Q i k 4 q i displaystyle a pm frac Q kj Q jk 4q i quad q j frac Q ji Q ij 4q i quad q k frac Q ki Q ik 4q i nbsp Berechnung der Drehmatrix einmal mit a displaystyle a nbsp und einmal mit a displaystyle a nbsp und Vergleich mit der gegebenen Drehmatrix liefert schliesslich das Vorzeichen von a displaystyle a nbsp Verknupfung zweier Rotationen Bearbeiten Die Verknupfung zweier Rotationen ergibt wieder eine Rotation Aus Euler Parametern a 1 b 1 c 1 d 1 displaystyle a 1 b 1 c 1 d 1 nbsp fur die erste Drehung Q 1 displaystyle Q 1 nbsp und a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 nbsp fur die zweite Drehung Q 2 displaystyle Q 2 nbsp ergibt sich die kombinierte Drehung Q 2 Q 1 displaystyle Q 2 Q 1 nbsp aus erster Drehung und anschliessender zweiter Drehung aus den Euler Parametern a a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 displaystyle a a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 nbsp b a 1 b 2 b 1 a 2 c 1 d 2 d 1 c 2 displaystyle b a 1 b 2 b 1 a 2 c 1 d 2 d 1 c 2 nbsp c a 1 c 2 c 1 a 2 d 1 b 2 b 1 d 2 displaystyle c a 1 c 2 c 1 a 2 d 1 b 2 b 1 d 2 nbsp d a 1 d 2 d 1 a 2 b 1 c 2 c 1 b 2 displaystyle d a 1 d 2 d 1 a 2 b 1 c 2 c 1 b 2 nbsp Auch hier gilt wieder a 2 b 2 c 2 d 2 1 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 1 nbsp was durch Einsetzen bestatigt werden kann Letztere Identitat hat uber a 2 b 2 c 2 d 2 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 nbsp einen direkten Bezug zum Euler schen Vier Quadrate Satz und den Quaternionen Verbindung mit anderen Konstrukten BearbeitenQuaternionen Bearbeiten Hauptartikel Drehungen im dreidimensionalen Raum im Artikel Quaternion Die Euler Parameter konnen als Komponenten einer Einheitsquaternion angesehen werden Der Parameter a displaystyle a nbsp ist ihr reeller Anteil und b c d displaystyle b c d nbsp ihr imaginarer Mit den Einheitsquaternionen q 1 2 a 1 2 i b 1 2 j c 1 2 k d 1 2 displaystyle q 1 2 a 1 2 ib 1 2 jc 1 2 kd 1 2 nbsp die aus den Euler Parametern zweier Drehungen Q 1 2 displaystyle Q 1 2 nbsp bestehen konnen die Euler Parameter der kombinierten Drehung Q 2 Q 1 displaystyle Q 2 Q 1 nbsp elegant mit dem Produkt der Quaternionen berechnet werden a i b j c k d q 1 q 2 displaystyle a ib jc kd q 1 q 2 nbsp Hier sind i j displaystyle i j nbsp und k displaystyle k nbsp die komplex imaginaren Einheiten die sich mit den Hamilton Regeln i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle i 2 j 2 k 2 ijk 1 nbsp nicht kommutativ verknupfen Beispielsweise ist j k k j i displaystyle jk kj i nbsp Pauli Matrizen Bearbeiten Die unitaren 2 2 Matrizen E 2 1 0 0 1 s 0 s x 0 1 1 0 i s 2 s y 0 i i 0 i s 1 s z i 0 0 i i s 3 displaystyle begin aligned E 2 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix sigma 0 amp quad sigma x begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix mathrm i sigma 2 sigma y begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix mathrm i sigma 1 amp quad sigma z begin pmatrix mathrm i amp 0 0 amp mathrm i end pmatrix mathrm i sigma 3 end aligned nbsp mit der imaginaren Einheit i 2 1 displaystyle mathrm i 2 1 nbsp der komplexen Zahlen hangen mit den Pauli Matrizen s 0 1 2 3 displaystyle sigma 0 1 2 3 nbsp zusammen die im Standardmodell der Elementarteilchenphysik und in der Quantenmechanik verwendet werden Die Matrizen s x y z displaystyle sigma x y z nbsp transformieren sich ahnlich obiger Hamilton Regeln der komplex imaginaren Einheiten der Quaternionen s x 2 s y 2 s z 2 s x s y s z E 2 displaystyle sigma x 2 sigma y 2 sigma z 2 sigma x sigma y sigma z E 2 nbsp Entsprechend konnen diese unitaren 2 2 Matrizen ebenfalls zur Beschreibung von Rotationen herangezogen werden Details dazu findet sich bei Quaternion SU 2 und Spin Gruppe Die zu einer Rotation korrespondierende unitare 2 2 Matrix lautet unter Verwendung der Euler Parameter U a i d b i c b i c a i d a E 2 b s x c s y d s z a s 0 i b s 2 i c s 1 i d s 3 displaystyle U begin pmatrix a mathrm i d amp b mathrm i c b mathrm i c amp a mathrm i d end pmatrix a E 2 b sigma x c sigma y d sigma z a sigma 0 mathrm i b sigma 2 mathrm i c sigma 1 mathrm i d sigma 3 nbsp Siehe auch BearbeitenSpinor Orthogonaler TensorEinzelnachweise Bearbeiten Axel Volkwein Numerische Simulation von flexiblen Steinschlagschutzsystemen Hrsg Institut fur Baustatik und Konstruktion Eidgenossische Technische Hochschule Zurich vdf Hochschulverlag AG 2004 ISBN 978 3 7281 2986 4 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 30 Juni 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Euler Rodrigues Formel amp oldid 231305171
