Die Spin Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik Eine zentrale Eigenschaft der Spin Gruppe Spin n displaystyle operatorname Spin n ist dass sie eine 2 fache Uberlagerung der Drehgruppe SO n displaystyle operatorname SO n ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Spin n als 2 fache Uberlagerung der SO n 4 Lie Algebra von Spin n 5 Darstellungen von Spin n 6 LiteraturDefinition BearbeitenZu einem endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp und einer quadratischen Form Q V K displaystyle Q colon V to K nbsp auf V displaystyle V nbsp definiert man die Clifford Algebra C l V Q displaystyle Cl V Q nbsp als die Algebra uber K displaystyle K nbsp die von V displaystyle V nbsp und dem Einselement 1 C l displaystyle 1 Cl nbsp erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation v v Q v 1 C l displaystyle v cdot v Q v 1 Cl nbsp erfullt Durch diese Beziehung ist die Clifford Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt Die Spin Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren Spin V Q v 1 v 2 k C l V Q k N v 1 v 2 k V Q v 1 Q v 2 k 1 C l V Q displaystyle operatorname Spin V Q v 1 dots v 2k in Cl V Q k in mathbb N v 1 ldots v 2k in V Q v 1 ldots Q v 2k 1 subset Cl V Q nbsp Die Spin Gruppe zu der quadratischen Form Q x 1 2 x n 2 displaystyle Q x 1 2 cdots x n 2 nbsp auf dem R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum V R n displaystyle V mathbb R n nbsp wird kurz als Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp bezeichnet Fur p q n displaystyle p q n nbsp bezeichnet man mit Spin p q displaystyle operatorname Spin p q nbsp die Spin Gruppe zu der quadratischen Form Q x 1 2 x p 2 x p 1 2 x n 2 displaystyle Q x 1 2 cdots x p 2 x p 1 2 cdots x n 2 nbsp auf dem R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum V R n displaystyle V mathbb R n nbsp Beispiele BearbeitenFur n 6 displaystyle n leq 6 nbsp hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie Gruppen Spin 2 S 1 displaystyle operatorname Spin 2 cong S 1 nbsp Spin 3 SU 2 displaystyle operatorname Spin 3 cong operatorname SU 2 nbsp Spin 4 SU 2 SU 2 displaystyle operatorname Spin 4 cong operatorname SU 2 times operatorname SU 2 nbsp Spin 5 Sp 2 displaystyle operatorname Spin 5 cong operatorname Sp 2 nbsp Spin 6 SU 4 displaystyle operatorname Spin 6 cong operatorname SU 4 nbsp Spin n als 2 fache Uberlagerung der SO n BearbeitenSatz Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp ist eine zweifache Uberlagerung der SO n displaystyle operatorname SO n nbsp Beweisskizze In der Clifford Algebra C l n displaystyle Cl n nbsp gilt v 1 v displaystyle v 1 v nbsp fur alle v R n displaystyle v in mathbb R n nbsp mit q v v 1 displaystyle q v v 1 nbsp Die Abbildung x v x v 1 v x v x 2 q x v v displaystyle x mapsto vxv 1 vxv x 2q x v v nbsp ist eine Spiegelung des R n displaystyle mathbb R n nbsp und sie ist kompatibel mit Produkten definiert also eine Darstellung Spin n SO n displaystyle operatorname Spin n to operatorname SO n nbsp Weil jedes Element aus SO n displaystyle operatorname SO n nbsp Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist erhalt man eine surjektive Abbildung von der man zeigen kann dass sie eine Uberlagerung ist Der Kern besteht nur aus 1 C l displaystyle pm 1 Cl nbsp denn Elemente im Kern mussen mit allen x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp kommutieren also zum Zentrum der Clifford Algebra gehoren welches aber nur aus skalaren Vielfachen von 1 C l displaystyle 1 Cl nbsp besteht 1 C l displaystyle pm 1 Cl nbsp sind die einzigen zu Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp gehorenden skalaren Vielfachen von 1 C l displaystyle 1 Cl nbsp wie man mittels der in Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp gultigen Formel v 1 v 2 k 1 v 2 k v 1 displaystyle v 1 ldots v 2k 1 v 2k ldots v 1 nbsp sieht aus der fur Vielfache von 1 C l displaystyle 1 Cl nbsp folgt dass ihr Quadrat 1 displaystyle 1 nbsp ist Fur n 3 displaystyle n geq 3 nbsp ist Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp einfach zusammenhangend und die universelle Uberlagerung von SO n displaystyle operatorname SO n nbsp Analog ist Spin p q displaystyle operatorname Spin p q nbsp eine zweifache Uberlagerung von SO 0 p q displaystyle operatorname SO 0 p q nbsp der Zusammenhangskomponente der Eins von SO p q displaystyle operatorname SO p q nbsp Fur p q 3 displaystyle p q geq 3 nbsp ist Spin p q displaystyle operatorname Spin p q nbsp zusammenhangend dagegen hat Spin 1 1 displaystyle operatorname Spin 1 1 nbsp zwei Zusammenhangskomponenten Lie Algebra von Spin n BearbeitenDie Lie Algebra s p i n n displaystyle mathfrak spin n nbsp von Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp ist der von den Produkten e i e j displaystyle e i e j nbsp mit i j displaystyle i not j nbsp aufgespannte Unterraum von C l n displaystyle Cl n nbsp Die Uberlagerung Spin n SO n displaystyle operatorname Spin n to operatorname SO n nbsp induziert einen Isomorphismus zur Lie Algebra s o n displaystyle mathfrak so n nbsp der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur 0 displaystyle 0 nbsp Dabei entspricht 1 4 i j a i j e i e j displaystyle textstyle frac 1 4 sum i j a ij e i e j nbsp der schiefsymmetrischen Matrix mit Eintragen a i j displaystyle a ij nbsp Darstellungen von Spin n BearbeitenDurch den Homomorphismus Spin n SO n displaystyle operatorname Spin n to operatorname SO n nbsp werden alle Darstellungen von SO n displaystyle operatorname SO n nbsp auch zu Darstellungen von Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp Das sind zunachst die Standard Darstellung von SO n displaystyle operatorname SO n nbsp auf V R n displaystyle V mathbb R n nbsp und weiter die induzierten Darstellungen auf den ausseren Algebren L k V displaystyle Lambda k V nbsp fur k 2 3 displaystyle k 2 3 ldots nbsp Daruber hinaus gibt es noch fur ungerade n displaystyle n nbsp die Spinor Darstellung und gerade n displaystyle n nbsp die beiden Halbspinor Darstellungen von Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp welche sich nicht als Darstellungen von SO n displaystyle operatorname SO n nbsp faktorisieren lassen Zusammen mit den zuvorgenannten erhalt man so alle Fundamentaldarstellungen von Spin n displaystyle operatorname Spin n nbsp Literatur BearbeitenBlaine Lawson Marie Louise Michelsohn Spin Geometry Princeton University Press ISBN 978 0 691 08542 5 John Roe Elliptic Operators Topology and Asymptotic Methods Second Edition Chapman amp Hall CRC Research Notes in Mathematics Series ISBN 978 0 582 32502 9 Thomas Friedrich Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie Vieweg Verlag ISBN 978 3 528 06926 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spin Gruppe amp oldid 218416985
