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Frobeniusnorm Die oder Schurnorm benannt nach Ferdinand Georg Frobenius bzw Issai Schur ist in der Mathematik eine auf d

Frobeniusnorm

Die Frobeniusnorm oder Schurnorm (benannt nach Ferdinand Georg Frobenius bzw. Issai Schur) ist in der Mathematik eine auf der euklidischen Norm basierende Matrixnorm. Sie ist definiert als die Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate aller Matrixelemente. Für die Frobeniusnorm gibt es noch eine Reihe weiterer Darstellungen, beispielsweise über eine Spur, über ein Skalarprodukt, über eine Singulärwertzerlegung oder über eine Schur-Zerlegung. Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ, mit der euklidischen Vektornorm verträglich und invariant unter unitären Transformationen, sie ist aber keine Operatornorm. Sie wird beispielsweise in der numerischen linearen Algebra aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit zur Abschätzung der Spektralnorm verwendet und bei der Lösung linearer Ausgleichsprobleme mittels der Moore-Penrose-Inverse eingesetzt.

Definition Bearbeiten

Die Frobeniusnorm einer reellen oder komplexen (m × n)-Matrix mit aus dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als

also die Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate aller Matrixelemente . Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm eines Vektors der Länge , in dem alle Einträge der Matrix untereinander notiert sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche in der Definition auch weggelassen werden, im komplexen Fall jedoch nicht.

Die Frobeniusnorm ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt. Sie heißt nach seinem Schüler Issai Schur auch Schurnorm und wird manchmal auch Hilbert-Schmidt-Norm genannt (nach David Hilbert und Erhard Schmidt), wobei letzterer Name meist bei der Untersuchung bestimmter linearer Abbildungen auf (möglicherweise unendlichdimensionalen) Hilberträumen verwendet wird, siehe Hilbert-Schmidt-Operator.

Beispiele Bearbeiten

Reelle Matrix

Die Frobeniusnorm der reellen (3 × 3)-Matrix

ist gegeben als

Komplexe Matrix

Die Frobeniusnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

ist gegeben als

Weitere Darstellungen Bearbeiten

Darstellung über eine Spur Bearbeiten

Ist die adjungierte Matrix (im reellen Fall transponierte Matrix) von , dann gilt für die Spur (die Summe der Diagonaleinträge) des Matrizenprodukts

Somit besitzt die Frobeniusnorm die Darstellung

wobei die mittlere Gleichung daraus folgt, dass unter der Spur Matrizen zyklisch vertauscht werden dürfen. Die Frobeniusnorm ist damit selbstadjungiert.

Darstellung über ein Skalarprodukt Bearbeiten

Auf dem Matrizenraum der reellen oder komplexen (m × n)-Matrizen definiert für

ein Skalarprodukt, das auch Frobenius-Skalarprodukt genannt wird. Somit ist die Frobeniusnorm die von dem Frobenius-Skalarprodukt induzierte Norm

Der Raum der reellen oder komplexen Matrizen ist mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und mit der Frobeniusnorm ein Banachraum.

Darstellung über eine Singulärwertzerlegung Bearbeiten

Betrachtet man eine Singulärwertzerlegung der Matrix

in eine unitäre Matrix , eine reelle Diagonalmatrix und eine adjungierte unitäre Matrix , dann gilt

wobei mit die positiven Einträge der Diagonalmatrix sind. Diese Einträge sind die Singulärwerte von und gleich den Quadratwurzeln der Eigenwerte von . Somit hat die Frobeniusnorm die Darstellung

womit sie der euklidischen Norm des Vektors der Singulärwerte und damit der Schatten-2-Norm entspricht.

Darstellung über eine Schur-Zerlegung Bearbeiten

Betrachtet man weiterhin eine Schur-Zerlegung einer quadratischen Matrix

in eine unitäre Matrix , eine obere Dreiecksmatrix und die zu adjungierte Matrix , dann gilt

Zerlegt man nun die Matrix in ihre Hauptdiagonale bestehend aus den Eigenwerten von und eine strikt obere Dreiecksmatrix , dann gilt für die Frobeniusnorm von

wobei die Frobeniusnorm von genau dann Null ist, wenn eine normale Matrix ist. Ist nicht normal, dann stellt ein Maß für die Abweichung von der Normalität dar.

Eigenschaften Bearbeiten

Normeigenschaften Bearbeiten

Da die Summe zweier Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der euklidischen Norm. Insbesondere folgt die Gültigkeit der Dreiecksungleichung

aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung über

wobei obiges Skalarprodukt auf Matrizen ist und den Realteil der komplexen Zahl angibt.

Submultiplikativität Bearbeiten

Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ, das heißt für Matrizen und gilt

wie ebenfalls mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung durch

gezeigt werden kann. Hierbei ist die -te Zeile von , die -te Spalte von , das Standardskalarprodukt auf Vektoren und die euklidische Vektornorm.

Verträglichkeit mit der euklidischen Norm Bearbeiten

Die Frobeniusnorm ist mit der euklidischen Norm verträglich, das heißt für eine Matrix und einen Vektor gilt die Ungleichung

was wiederum über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung aus

folgt und was lediglich den Spezialfall der Submultiplikativität für darstellt.

Unitäre Invarianz Bearbeiten

Die Frobeniusnorm ist invariant unter unitären Transformationen (im reellen Fall orthogonalen Transformationen), das heißt

für alle unitären Matrizen und . Dies folgt direkt über die Spurdarstellung aus

Durch diese Invarianz ändert sich auch die Kondition einer Matrix bezüglich der Frobeniusnorm nach einer Multiplikation mit einer unitären Matrix von links oder rechts nicht.

Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm Bearbeiten

Die Frobeniusnorm ist keine Operatornorm und damit keine natürliche Matrixnorm, das heißt, es gibt keine Vektornorm , sodass

gilt, da jede Operatornorm für die Einheitsmatrix den Wert Eins besitzen muss, jedoch für einen Wert größer als Eins ergibt. Selbst eine entsprechend skalierte Version der Frobeniusnorm ist keine Operatornorm, da diese Norm dann nicht submultiplikativ ist, was eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist.

Spezialfälle Bearbeiten

Normale Matrizen Bearbeiten

Ist die Matrix normal mit Eigenwerten , dann gilt

Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm des Vektors der Eigenwerte der Matrix.

Unitäre Matrizen Bearbeiten

Ist die Matrix unitär (im reellen Fall orthogonal), dann gilt

Die Frobeniusnorm hängt in diesem Fall also nur von der Größe der Matrix ab.

Rang-Eins-Matrizen Bearbeiten

Besitzt die Matrix den Rang null oder eins, das heißt mit und , dann gilt

wobei wieder die euklidische Vektornorm ist.

Anwendungen Bearbeiten

Abschätzung der Spektralnorm Bearbeiten

Die Frobeniusnorm wird in der numerischen linearen Algebra aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit häufig zur Abschätzung der Spektralnorm eingesetzt, denn es gilt

Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn der Rang der Matrix null oder eins ist. Diese beiden Abschätzungen folgen aus der Darstellung der Frobeniusnorm über die Singulärwertzerlegung aus

wobei mit die Singulärwerte von sind und der maximale Singulärwert von ist, der gerade der Spektralnorm entspricht. Die Summe der Quadrate der Singulärwerte wird dabei durch das Quadrat des größten Singulärwerts nach unten und durch das r-fache des Quadrats des größten Singulärwerts nach oben abgeschätzt.

Lineare Ausgleichsprobleme Bearbeiten

Ist eine singuläre oder nichtquadratische Matrix, so stellt sich oft die Frage nach ihrer näherungsweisen Inversen, also einer Matrix , sodass

mit als der Einheitsmatrix gilt. Die Moore-Penrose-Inverse ist eine wichtige solche Pseudoinverse und definiert als diejenige Matrix, für die die Abweichung in der Frobeniusnorm

minimal wird. Sie hat mittels einer Singulärwertzerlegung von die Darstellung

wobei aus der Diagonalmatrix dadurch entsteht, dass die von Null verschiedenen Elemente invertiert werden. Über eine Pseudoinverse lassen sich beispielsweise Matrixgleichungen

durch

näherungsweise lösen, wobei die Näherungslösung über die Moore-Penrose-Inverse dann den Fehler

in der Frobeniusnorm im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate minimiert.

Literatur Bearbeiten

  • Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9.
  • Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.
  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Frobeniusnorm oder Schurnorm benannt nach Ferdinand Georg Frobenius bzw Issai Schur ist in der Mathematik eine auf der euklidischen Norm basierende Matrixnorm Sie ist definiert als die Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate aller Matrixelemente Fur die Frobeniusnorm gibt es noch eine Reihe weiterer Darstellungen beispielsweise uber eine Spur uber ein Skalarprodukt uber eine Singularwertzerlegung oder uber eine Schur Zerlegung Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ mit der euklidischen Vektornorm vertraglich und invariant unter unitaren Transformationen sie ist aber keine Operatornorm Sie wird beispielsweise in der numerischen linearen Algebra aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit zur Abschatzung der Spektralnorm verwendet und bei der Losung linearer Ausgleichsprobleme mittels der Moore Penrose Inverse eingesetzt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Weitere Darstellungen 3 1 Darstellung uber eine Spur 3 2 Darstellung uber ein Skalarprodukt 3 3 Darstellung uber eine Singularwertzerlegung 3 4 Darstellung uber eine Schur Zerlegung 4 Eigenschaften 4 1 Normeigenschaften 4 2 Submultiplikativitat 4 3 Vertraglichkeit mit der euklidischen Norm 4 4 Unitare Invarianz 4 5 Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm 5 Spezialfalle 5 1 Normale Matrizen 5 2 Unitare Matrizen 5 3 Rang Eins Matrizen 6 Anwendungen 6 1 Abschatzung der Spektralnorm 6 2 Lineare Ausgleichsprobleme 7 Literatur 8 WeblinksDefinition BearbeitenDie Frobeniusnorm F displaystyle cdot F nbsp einer reellen oder komplexen m n Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp mit K displaystyle mathbb K nbsp aus dem Korper der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als A F i 1 m j 1 n a i j 2 displaystyle A F sqrt sum i 1 m sum j 1 n a ij 2 nbsp also die Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate aller Matrixelemente a i j displaystyle a ij nbsp Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm eines Vektors der Lange m n displaystyle m cdot n nbsp in dem alle Eintrage der Matrix untereinander notiert sind Im reellen Fall konnen die Betragsstriche in der Definition auch weggelassen werden im komplexen Fall jedoch nicht Die Frobeniusnorm ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt Sie heisst nach seinem Schuler Issai Schur auch Schurnorm und wird manchmal auch Hilbert Schmidt Norm genannt nach David Hilbert und Erhard Schmidt wobei letzterer Name meist bei der Untersuchung bestimmter linearer Abbildungen auf moglicherweise unendlichdimensionalen Hilbertraumen verwendet wird siehe Hilbert Schmidt Operator Beispiele BearbeitenReelle MatrixDie Frobeniusnorm der reellen 3 3 Matrix A 1 2 1 1 2 3 0 1 2 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 1 1 amp 2 amp 3 0 amp 1 amp 2 end pmatrix nbsp ist gegeben als A F i 1 3 j 1 3 a i j 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 0 2 1 2 2 2 25 5 displaystyle A F sqrt sum i 1 3 sum j 1 3 a ij 2 sqrt 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 0 2 1 2 2 2 sqrt 25 5 nbsp Komplexe MatrixDie Frobeniusnorm der komplexen 2 2 Matrix A 1 i 2 i 3 i displaystyle A begin pmatrix 1 amp i 2i amp 3 i end pmatrix nbsp ist gegeben als A F i 1 2 j 1 2 a i j 2 1 2 i 2 2 i 2 3 i 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 16 4 displaystyle A F sqrt sum i 1 2 sum j 1 2 a ij 2 sqrt 1 2 i 2 2i 2 3 i 2 sqrt 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 sqrt 16 4 nbsp Weitere Darstellungen BearbeitenDarstellung uber eine Spur Bearbeiten Ist A H K n m displaystyle A H in mathbb K n times m nbsp die adjungierte Matrix im reellen Fall transponierte Matrix von A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp dann gilt fur die Spur die Summe der Diagonaleintrage des Matrizenprodukts A H A displaystyle A H A nbsp spur A H A i 1 m k 1 n a i k a i k i 1 m k 1 n a i k 2 A F 2 displaystyle operatorname spur A H A sum i 1 m sum k 1 n bar a ik cdot a ik sum i 1 m sum k 1 n a ik 2 A F 2 nbsp Somit besitzt die Frobeniusnorm die Darstellung A F spur A H A spur A A H A H F displaystyle A F sqrt operatorname spur left A H A right sqrt operatorname spur left AA H right A H F nbsp wobei die mittlere Gleichung daraus folgt dass unter der Spur Matrizen zyklisch vertauscht werden durfen Die Frobeniusnorm ist damit selbstadjungiert Darstellung uber ein Skalarprodukt Bearbeiten Auf dem Matrizenraum der reellen oder komplexen m n Matrizen definiert fur A B K m n displaystyle A B in mathbb K m times n nbsp A B spur A H B displaystyle langle A B rangle operatorname spur left A H B right nbsp ein Skalarprodukt das auch Frobenius Skalarprodukt genannt wird Somit ist die Frobeniusnorm die von dem Frobenius Skalarprodukt induzierte Norm A F A A displaystyle A F sqrt langle A A rangle nbsp Der Raum der reellen oder komplexen Matrizen ist mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und mit der Frobeniusnorm ein Banachraum Darstellung uber eine Singularwertzerlegung Bearbeiten Betrachtet man eine Singularwertzerlegung der Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp A U S V H displaystyle A U Sigma V H nbsp in eine unitare Matrix U K m m displaystyle U in mathbb K m times m nbsp eine reelle Diagonalmatrix S R m n displaystyle Sigma in mathbb R m times n nbsp und eine adjungierte unitare Matrix V H K n n displaystyle V H in mathbb K n times n nbsp dann gilt spur A H A spur V S H U H U S V H spur V S H S V H spur S H S i 1 r s i 2 displaystyle operatorname spur left A H A right operatorname spur left left V Sigma H U H right left U Sigma V H right right operatorname spur left V Sigma H Sigma V H right operatorname spur left Sigma H Sigma right sum i 1 r sigma i 2 nbsp wobei s 1 s r displaystyle sigma 1 ldots sigma r nbsp mit r rang A displaystyle r operatorname rang A nbsp die positiven Eintrage der Diagonalmatrix S displaystyle Sigma nbsp sind Diese Eintrage sind die Singularwerte von A displaystyle A nbsp und gleich den Quadratwurzeln der Eigenwerte von A H A displaystyle A H A nbsp Somit hat die Frobeniusnorm die Darstellung A F s 1 2 s r 2 displaystyle A F sqrt sigma 1 2 ldots sigma r 2 nbsp womit sie der euklidischen Norm des Vektors der Singularwerte und damit der Schatten 2 Norm entspricht Darstellung uber eine Schur Zerlegung Bearbeiten Betrachtet man weiterhin eine Schur Zerlegung einer quadratischen Matrix A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp A U R U H displaystyle A URU H nbsp in eine unitare Matrix U K n n displaystyle U in mathbb K n times n nbsp eine obere Dreiecksmatrix R K n n displaystyle R in mathbb K n times n nbsp und die zu U displaystyle U nbsp adjungierte Matrix U H displaystyle U H nbsp dann gilt spur A H A spur U R H U H U R U H spur U R H R U H spur R H R R F 2 displaystyle operatorname spur left A H A right operatorname spur left left UR H U H right left URU H right right operatorname spur left UR H RU H right operatorname spur left R H R right R F 2 nbsp Zerlegt man nun die Matrix R displaystyle R nbsp in ihre Hauptdiagonale L K n n displaystyle Lambda in mathbb K n times n nbsp bestehend aus den Eigenwerten l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp von A displaystyle A nbsp und eine strikt obere Dreiecksmatrix N K n n displaystyle N in mathbb K n times n nbsp dann gilt fur die Frobeniusnorm von A displaystyle A nbsp A F R F L F 2 N F 2 l 1 2 l n 2 N F 2 displaystyle A F R F sqrt Lambda F 2 N F 2 sqrt lambda 1 2 ldots lambda n 2 N F 2 nbsp wobei die Frobeniusnorm von N displaystyle N nbsp genau dann Null ist wenn A displaystyle A nbsp eine normale Matrix ist Ist A displaystyle A nbsp nicht normal dann stellt N F displaystyle N F nbsp ein Mass fur die Abweichung von der Normalitat dar Eigenschaften BearbeitenNormeigenschaften Bearbeiten Da die Summe zweier Matrizen A B K m n displaystyle A B in mathbb K m times n nbsp und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar komponentenweise definiert sind folgen die Normeigenschaften Definitheit absolute Homogenitat und Subadditivitat direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der euklidischen Norm Insbesondere folgt die Gultigkeit der Dreiecksungleichung A B F A F B F displaystyle A B F leq A F B F nbsp aus der Cauchy Schwarz Ungleichung uber A B F 2 A F 2 2 Re A B B F 2 A F 2 2 A F B F B F 2 A F B F 2 displaystyle A B F 2 A F 2 2 operatorname Re langle A B rangle B F 2 leq A F 2 2 A F B F B F 2 left A F B F right 2 nbsp wobei displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp obiges Skalarprodukt auf Matrizen ist und Re displaystyle operatorname Re nbsp den Realteil der komplexen Zahl angibt Submultiplikativitat Bearbeiten Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ das heisst fur Matrizen A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp und B K n l displaystyle B in mathbb K n times l nbsp gilt A B F A F B F displaystyle A B F leq A F B F nbsp wie ebenfalls mit Hilfe der Cauchy Schwarz Ungleichung durch A B F 2 i 1 m k 1 l j 1 n a i j b j k 2 i 1 m k 1 l a i H b k 2 i 1 m k 1 l a i H 2 2 b k 2 2 i 1 m a i H 2 2 k 1 l b k 2 2 A F 2 B F 2 displaystyle begin aligned A B F 2 amp sum i 1 m sum k 1 l left sum j 1 n a ij b jk right 2 sum i 1 m sum k 1 l left langle a i ast H b ast k rangle right 2 leq sum i 1 m sum k 1 l a i ast H 2 2 b ast k 2 2 amp sum i 1 m a i ast H 2 2 sum k 1 l b ast k 2 2 A F 2 B F 2 end aligned nbsp gezeigt werden kann Hierbei ist a i displaystyle a i ast nbsp die i displaystyle i nbsp te Zeile von A displaystyle A nbsp b k displaystyle b ast k nbsp die k displaystyle k nbsp te Spalte von B displaystyle B nbsp displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Standardskalarprodukt auf Vektoren und 2 displaystyle cdot 2 nbsp die euklidische Vektornorm Vertraglichkeit mit der euklidischen Norm Bearbeiten Die Frobeniusnorm ist mit der euklidischen Norm vertraglich das heisst fur eine Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp und einen Vektor x K n displaystyle x in mathbb K n nbsp gilt die Ungleichung A x 2 A F x 2 displaystyle A x 2 leq A F x 2 nbsp was wiederum uber die Cauchy Schwarz Ungleichung aus A x 2 2 i 1 m j 1 n a i j x j 2 i 1 m a i H x 2 i 1 m a i H 2 2 x 2 2 A F 2 x 2 2 displaystyle A x 2 2 sum i 1 m left sum j 1 n a ij x j right 2 sum i 1 m left langle a i ast H x rangle right 2 leq sum i 1 m a i ast H 2 2 x 2 2 A F 2 x 2 2 nbsp folgt und was lediglich den Spezialfall der Submultiplikativitat fur l 1 displaystyle l 1 nbsp darstellt Unitare Invarianz Bearbeiten Die Frobeniusnorm ist invariant unter unitaren Transformationen im reellen Fall orthogonalen Transformationen das heisst U A V F A F displaystyle UAV F A F nbsp fur alle unitaren Matrizen U K m m displaystyle U in mathbb K m times m nbsp und V K n n displaystyle V in mathbb K n times n nbsp Dies folgt direkt uber die Spurdarstellung aus U A V F 2 spur V H A H U H U A V spur A H A A F 2 displaystyle UAV F 2 operatorname spur left left V H A H U H right left UAV right right operatorname spur left A H A right A F 2 nbsp Durch diese Invarianz andert sich auch die Kondition einer Matrix bezuglich der Frobeniusnorm nach einer Multiplikation mit einer unitaren Matrix von links oder rechts nicht Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm Bearbeiten Die Frobeniusnorm ist keine Operatornorm und damit keine naturliche Matrixnorm das heisst es gibt keine Vektornorm displaystyle cdot nbsp sodass max x 0 A x x A F displaystyle max x neq 0 frac Ax x A F nbsp gilt da jede Operatornorm fur die Einheitsmatrix I displaystyle I nbsp den Wert Eins besitzen muss jedoch I F min m n displaystyle I F sqrt min m n nbsp fur m n 2 displaystyle m n geq 2 nbsp einen Wert grosser als Eins ergibt Selbst eine entsprechend skalierte Version der Frobeniusnorm ist keine Operatornorm da diese Norm dann nicht submultiplikativ ist was eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist Spezialfalle BearbeitenNormale Matrizen Bearbeiten Ist die Matrix A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp normal mit Eigenwerten l 1 l n displaystyle lambda 1 ldots lambda n nbsp dann gilt A F l 1 2 l n 2 displaystyle A F sqrt lambda 1 2 ldots lambda n 2 nbsp Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm des Vektors der Eigenwerte der Matrix Unitare Matrizen Bearbeiten Ist die Matrix A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp unitar im reellen Fall orthogonal dann gilt A F spur A H A spur I n displaystyle A F sqrt operatorname spur left A H A right sqrt operatorname spur left I right sqrt n nbsp Die Frobeniusnorm hangt in diesem Fall also nur von der Grosse der Matrix ab Rang Eins Matrizen Bearbeiten Besitzt die Matrix A K m n displaystyle A in mathbb K m times n nbsp den Rang null oder eins das heisst A x y T displaystyle A xy T nbsp mit x K m displaystyle x in mathbb K m nbsp und y K n displaystyle y in mathbb K n nbsp dann gilt A F x 2 y 2 displaystyle A F x 2 cdot y 2 nbsp wobei 2 displaystyle cdot 2 nbsp wieder die euklidische Vektornorm ist Anwendungen BearbeitenAbschatzung der Spektralnorm Bearbeiten Die Frobeniusnorm wird in der numerischen linearen Algebra aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit haufig zur Abschatzung der Spektralnorm eingesetzt denn es gilt A 2 A F min m n A 2 displaystyle A 2 leq A F leq sqrt min m n cdot A 2 nbsp Gleichheit gilt dabei genau dann wenn der Rang der Matrix null oder eins ist Diese beiden Abschatzungen folgen aus der Darstellung der Frobeniusnorm uber die Singularwertzerlegung aus A 2 2 s max 2 s 1 2 s r 2 A F 2 s 1 2 s r 2 r s max 2 r A 2 2 displaystyle A 2 2 sigma max 2 leq sigma 1 2 ldots sigma r 2 A F 2 sigma 1 2 ldots sigma r 2 leq r cdot sigma max 2 r cdot A 2 2 nbsp wobei s 1 s r displaystyle sigma 1 ldots sigma r nbsp mit r min m n displaystyle r leq min m n nbsp die Singularwerte von A displaystyle A nbsp sind und s max displaystyle sigma max nbsp der maximale Singularwert von A displaystyle A nbsp ist der gerade der Spektralnorm entspricht Die Summe der Quadrate der Singularwerte wird dabei durch das Quadrat des grossten Singularwerts nach unten und durch das r fache des Quadrats des grossten Singularwerts nach oben abgeschatzt Lineare Ausgleichsprobleme Bearbeiten Ist A displaystyle A nbsp eine singulare oder nichtquadratische Matrix so stellt sich oft die Frage nach ihrer naherungsweisen Inversen also einer Matrix Z displaystyle Z nbsp sodass A Z I displaystyle A cdot Z approx I nbsp mit I displaystyle I nbsp als der Einheitsmatrix gilt Die Moore Penrose Inverse A displaystyle A nbsp ist eine wichtige solche Pseudoinverse und definiert als diejenige Matrix fur die die Abweichung in der Frobeniusnorm I A Z F displaystyle I A cdot Z F nbsp minimal wird Sie hat mittels einer Singularwertzerlegung von A displaystyle A nbsp die Darstellung A V S U H displaystyle A V Sigma U H nbsp wobei S displaystyle Sigma nbsp aus der Diagonalmatrix S displaystyle Sigma nbsp dadurch entsteht dass die von Null verschiedenen Elemente invertiert werden Uber eine Pseudoinverse lassen sich beispielsweise Matrixgleichungen A X B displaystyle A cdot X B nbsp durch X A B displaystyle X approx A B nbsp naherungsweise losen wobei die Naherungslosung uber die Moore Penrose Inverse dann den Fehler B A X F displaystyle B A cdot X F nbsp in der Frobeniusnorm im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate minimiert Literatur BearbeitenGene Golub Charles van Loan Matrix Computations 3 Auflage Johns Hopkins University Press 1996 ISBN 978 0 8018 5414 9 Roger Horn Charles R Johnson Matrix Analysis Cambridge University Press 1990 ISBN 978 0 521 38632 6 Hans Rudolf Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 8 Auflage Vieweg amp Teubner 2011 ISBN 978 3 8348 1551 4 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Frobenius Norm In MathWorld englisch Cam McLeman Logan Hanks Frobenius matrix norm In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Frobeniusnorm amp oldid 227483798