Eine regulare invertierbare oder nichtsingulare Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix die eine Inverse besitzt Regulare Matrizen konnen auf mehrere aquivalente Weisen charakterisiert werden Zum Beispiel zeichnen sich regulare Matrizen dadurch aus dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regularen Koeffizientenmatrix stets eindeutig losbar Die Menge der regularen Matrizen fester Grosse mit Eintragen aus einem Ring oder Korper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknupfung die allgemeine lineare Gruppe Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse Eine quadratische Matrix die keine Inverse besitzt wird singulare Matrix genannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Aquivalente Charakterisierungen 3 1 Regulare Matrizen uber einem Korper 3 2 Regulare Matrizen uber einem unitaren kommutativen Ring 4 Weitere Beispiele 5 Eigenschaften 6 Blockmatrizen 7 Regulare Matrizen uber einem Restklassenkorper 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix A R n n displaystyle A in R n times n nbsp mit Eintragen aus einem unitaren Ring R displaystyle R nbsp in der Praxis meist dem Korper der reellen Zahlen heisst regular wenn eine weitere Matrix B R n n displaystyle B in R n times n nbsp existiert sodass A B B A I displaystyle A cdot B B cdot A I nbsp gilt wobei I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix bezeichnet Die Matrix B displaystyle B nbsp ist hierbei eindeutig bestimmt und heisst inverse Matrix zu A displaystyle A nbsp Die Inverse einer Matrix A displaystyle A nbsp wird ublicherweise mit A 1 displaystyle A 1 nbsp bezeichnet Bei einer singularen Matrix existiert keine solche Matrix B displaystyle B nbsp Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring Korper oder Schiefkorper so sind die beiden Bedingungen A B I displaystyle A cdot B I nbsp und B A I displaystyle B cdot A I nbsp aquivalent das heisst eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt sprich die obige Bedingung lasst sich durch B A I displaystyle B cdot A I nbsp beziehungsweise A B I displaystyle A cdot B I nbsp abschwachen Beispiele BearbeitenDie reelle Matrix A 2 3 1 2 displaystyle A begin pmatrix 2 amp 3 1 amp 2 end pmatrix nbsp ist regular denn sie besitzt die Inverse B 2 3 1 2 displaystyle B begin pmatrix 2 amp 3 1 amp 2 end pmatrix nbsp mit A B 2 3 1 2 2 3 1 2 1 0 0 1 I displaystyle A cdot B begin pmatrix 2 amp 3 1 amp 2 end pmatrix cdot begin pmatrix 2 amp 3 1 amp 2 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix I nbsp Die reelle Matrix A 2 3 0 0 displaystyle A begin pmatrix 2 amp 3 0 amp 0 end pmatrix nbsp ist singular denn fur eine beliebige Matrix B a b c d displaystyle B begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix nbsp gilt A B 2 3 0 0 a b c d 2 a 3 c 2 b 3 d 0 0 I displaystyle A cdot B begin pmatrix 2 amp 3 0 amp 0 end pmatrix cdot begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix begin pmatrix 2a 3c amp 2b 3d 0 amp 0 end pmatrix neq I nbsp Aquivalente Charakterisierungen BearbeitenRegulare Matrizen uber einem Korper Bearbeiten Eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Eintragen aus einem Korper K displaystyle K nbsp zum Beispiel die reellen oder komplexen Zahlen ist genau dann invertierbar wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist Es gibt eine Matrix B displaystyle B nbsp mit A B I B A displaystyle AB I BA nbsp Die Determinante von A displaystyle A nbsp ist ungleich null det A 0 displaystyle det A neq 0 nbsp Die Null ist kein Eigenwert von A displaystyle A nbsp Das lineare Gleichungssystem A x 0 displaystyle Ax 0 nbsp besitzt nur die triviale Losung x 0 displaystyle x 0 nbsp Fur jedes b K n displaystyle b in K n nbsp existiert mindestens eine Losung x K n displaystyle x in K n nbsp des linearen Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp Fur jedes b K n displaystyle b in K n nbsp existiert hochstens eine Losung x K n displaystyle x in K n nbsp des linearen Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp Die Zeilenvektoren sind linear unabhangig Die Zeilenvektoren erzeugen K n displaystyle K n nbsp Die Spaltenvektoren sind linear unabhangig Die Spaltenvektoren erzeugen K n displaystyle K n nbsp Die durch A displaystyle A nbsp beschriebene lineare Abbildung K n K n displaystyle K n to K n nbsp x A x displaystyle x mapsto Ax nbsp ist injektiv Die durch A displaystyle A nbsp beschriebene lineare Abbildung K n K n displaystyle K n to K n nbsp x A x displaystyle x mapsto Ax nbsp ist surjektiv Die transponierte Matrix A T displaystyle A T nbsp ist invertierbar Der Rang der Matrix A displaystyle A nbsp ist gleich n displaystyle n nbsp Bei einer singularen n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Eintragen aus einem Korper K displaystyle K nbsp ist keine der obigen Bedingungen erfullt Regulare Matrizen uber einem unitaren kommutativen Ring Bearbeiten Allgemeiner ist eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Eintragen aus einem kommutativen Ring mit Eins R displaystyle R nbsp genau dann invertierbar wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist Es gibt eine Matrix B displaystyle B nbsp mit A B I B A displaystyle AB I BA nbsp Die Determinante von A displaystyle A nbsp ist eine Einheit in R displaystyle R nbsp man spricht auch von einer unimodularen Matrix Fur alle b R n displaystyle b in R n nbsp existiert genau eine Losung x R n displaystyle x in R n nbsp des linearen Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp Fur alle b R n displaystyle b in R n nbsp existiert mindestens eine Losung x R n displaystyle x in R n nbsp des linearen Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp Die Zeilenvektoren bilden eine Basis von R n displaystyle R n nbsp Die Zeilenvektoren erzeugen R n displaystyle R n nbsp Die Spaltenvektoren bilden eine Basis von R n displaystyle R n nbsp Die Spaltenvektoren erzeugen R n displaystyle R n nbsp Die durch A displaystyle A nbsp beschriebene lineare Abbildung R n R n displaystyle R n to R n nbsp x A x displaystyle x mapsto Ax nbsp ist surjektiv oder gar bijektiv Die transponierte Matrix A T displaystyle A T nbsp ist invertierbar Bei einer singularen n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp mit Eintragen aus einem kommutativen Ring mit Eins R displaystyle R nbsp ist keine der obigen Bedingungen erfullt Der wesentliche Unterschied zum Fall eines Korpers ist hier also dass im Allgemeinen aus der Injektivitat einer linearen Abbildung nicht mehr ihre Surjektivitat und damit ihre Bijektivitat folgt wie bereits das einfache Beispiel Z Z displaystyle mathbb Z to mathbb Z nbsp x 2 x displaystyle x mapsto 2x nbsp zeigt Weitere Beispiele BearbeitenDie Matrix A 3 x 3 x 2 1 3 x 2 3 x displaystyle A begin pmatrix 3x 3 amp x 2 1 3x 2 3 amp x end pmatrix nbsp mit Eintragen aus dem Polynomring R R x displaystyle R mathbb R x nbsp hat die Determinante det A 3 x 3 x x 2 1 3 x 2 3 3 displaystyle det A 3x 3 cdot x x 2 1 cdot 3x 2 3 3 nbsp und 3 displaystyle 3 nbsp ist invertierbar in R displaystyle R nbsp Somit ist A displaystyle A nbsp regular in R 2 2 displaystyle R 2 times 2 nbsp Die inverse Matrix ist B 1 3 x 1 x 2 3 x 2 3 3 x 3 1 3 x 1 3 1 x 2 x 2 1 x 3 displaystyle B frac 1 3 begin pmatrix x amp 1 x 2 3x 2 3 amp 3x 3 end pmatrix begin pmatrix tfrac 1 3 cdot x amp tfrac 1 3 cdot 1 x 2 x 2 1 amp x 3 end pmatrix nbsp Die Matrix A 2 17 1 17 6 17 4 17 displaystyle A begin pmatrix 2 17 amp 1 17 6 17 amp 4 17 end pmatrix nbsp mit Eintragen aus dem Restklassenkorper R Z 17 Z displaystyle R mathbb Z 17 mathbb Z nbsp hat die Determinante det A 2 17 4 17 1 17 6 17 2 17 displaystyle det A 2 17 cdot 4 17 1 17 cdot 6 17 2 17 nbsp und 2 17 displaystyle 2 17 nbsp ist invertierbar in R displaystyle R nbsp Somit ist A displaystyle A nbsp regular in R 2 2 displaystyle R 2 times 2 nbsp Die inverse Matrix ist B 1 2 17 4 17 1 17 6 17 2 17 1 2 17 4 17 16 17 11 17 2 17 2 17 8 17 14 17 1 17 displaystyle B frac 1 2 17 begin pmatrix 4 17 amp 1 17 6 17 amp 2 17 end pmatrix frac 1 2 17 begin pmatrix 4 17 amp 16 17 11 17 amp 2 17 end pmatrix begin pmatrix 2 17 amp 8 17 14 17 amp 1 17 end pmatrix nbsp Die Matrix A 3 12 7 12 1 12 9 12 displaystyle A begin pmatrix 3 12 amp 7 12 1 12 amp 9 12 end pmatrix nbsp mit Eintragen aus dem Restklassenring Z 12 Z displaystyle mathbb Z 12 mathbb Z nbsp hat die Determinante det A 3 12 9 12 7 12 1 12 20 12 8 12 displaystyle det A 3 12 cdot 9 12 7 12 cdot 1 12 20 12 8 12 nbsp Da 8 displaystyle 8 nbsp und 12 displaystyle 12 nbsp nicht teilerfremd sind ist det A 8 12 displaystyle det A 8 12 nbsp in Z 12 Z displaystyle mathbb Z 12 mathbb Z nbsp nicht invertierbar Daher ist A displaystyle A nbsp nicht regular Eigenschaften BearbeitenIst die Matrix A displaystyle A nbsp regular so ist auch A 1 displaystyle A 1 nbsp regular mit der Inversen A 1 1 A displaystyle left A 1 right 1 A nbsp Sind die beiden Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp regular so ist auch ihr Produkt A B displaystyle A cdot B nbsp regular mit der Inversen A B 1 B 1 A 1 displaystyle left A cdot B right 1 B 1 cdot A 1 nbsp Die Menge der regularen Matrizen fester Grosse bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknupfung eine im Allgemeinen nichtkommutative Gruppe die allgemeine lineare Gruppe GL n R displaystyle operatorname GL n R nbsp In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element Fur eine regulare Matrix A displaystyle A nbsp gelten damit auch die Kurzungsregeln A B A C B C displaystyle A cdot B A cdot C Rightarrow B C nbsp und B A C A B C displaystyle B cdot A C cdot A Rightarrow B C nbsp wobei B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp beliebige Matrizen passender Grosse sind Eine singulare Matrix besitzt den Eigenwert null d h es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor der von der Matrix auf ersteren abgebildet wird Alle Vektoren die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden erzeugen den Eigenraum zum Eigenwert null Die Dimension dieses Eigenraumes ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null siehe Janich 2008 S 197 ff Blockmatrizen BearbeitenIst eine quadratische Blockmatrix M A B C D displaystyle M left begin matrix A amp B C amp D end matrix right nbsp gegeben wobei A displaystyle A nbsp und das Schur Komplement M A D C A 1 B displaystyle M A D CA 1 B nbsp von A displaystyle A nbsp in M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix ist dann ist auch M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix und es gilt M I 0 C A 1 I A 0 0 M A I A 1 B 0 I displaystyle M left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right left begin matrix A amp 0 0 amp M A end matrix right left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right nbsp Daraus folgt fur die inverse Matrix M 1 I A 1 B 0 I 1 A 0 0 M A 1 I 0 C A 1 I 1 I A 1 B 0 I A 1 0 0 M A 1 I 0 C A 1 I A 1 A 1 B M A 1 C A 1 A 1 B M A 1 M A 1 C A 1 M A 1 displaystyle begin aligned M 1 amp left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right 1 left begin matrix A amp 0 0 amp M A end matrix right 1 left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right 1 amp left begin matrix I amp A 1 B 0 amp I end matrix right left begin matrix A 1 amp 0 0 amp M A 1 end matrix right left begin matrix I amp 0 CA 1 amp I end matrix right amp left begin matrix A 1 A 1 B M A 1 CA 1 amp A 1 B M A 1 M A 1 CA 1 amp M A 1 end matrix right end aligned nbsp Wenn D displaystyle D nbsp und das Schur Komplement M D A B D 1 C displaystyle M D A BD 1 C nbsp von D displaystyle D nbsp in M displaystyle M nbsp eine regulare Matrix ist gilt entsprechend M I B D 1 0 I M D 0 0 D I 0 D 1 C I displaystyle M left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right left begin matrix M D amp 0 0 amp D end matrix right left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right nbsp und fur die inverse Matrix 1 M 1 I 0 D 1 C I 1 M D 0 0 D 1 I B D 1 0 I 1 I 0 D 1 C I M D 1 0 0 D 1 I B D 1 0 I M D 1 M D 1 B D 1 D 1 C M D 1 D 1 D 1 C M D 1 B D 1 displaystyle begin aligned M 1 amp left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right 1 left begin matrix M D amp 0 0 amp D end matrix right 1 left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right 1 amp left begin matrix I amp 0 D 1 C amp I end matrix right left begin matrix M D 1 amp 0 0 amp D 1 end matrix right left begin matrix I amp BD 1 0 amp I end matrix right amp left begin matrix M D 1 amp M D 1 BD 1 D 1 C M D 1 amp D 1 D 1 C M D 1 BD 1 end matrix right end aligned nbsp Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einer quadratischen k k displaystyle k times k nbsp Blockmatrix A R n n displaystyle A in R n times n nbsp mit Blocken der Dimension b b displaystyle b times b nbsp effizient berechnet werden Es ist also n k b displaystyle n k cdot b nbsp Die Laufzeit fur die Inversion betragt O k 2 b 3 4 k displaystyle O k 2 cdot b 3 cdot 4 k nbsp Im Vergleich dazu betragt die Laufzeit fur den Gauss Jordan Algorithmus O n 3 O k 3 b 3 displaystyle O n 3 O k 3 cdot b 3 nbsp 2 Regulare Matrizen uber einem Restklassenkorper BearbeitenEine Matrix mit Eintragen aus einem Restklassenkorper F p displaystyle mathbb F p nbsp mit einer Primzahl p displaystyle p nbsp ist genau dann regular wenn die Zeilenvektoren linear unabhangig sind Fur den Restklassenkorper F 2 displaystyle mathbb F 2 nbsp kann die Anzahl der regularen n n displaystyle n times n nbsp Matrixen wie folgt berechnet werden Jedes der n displaystyle n nbsp Elemente der 1 Zeile kann unabhangig voneinander 2 Werte annehmen Der Nullvektor ist ausgeschlossen Fur die 1 Zeile gibt es also 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp Moglichkeiten Fur die 2 Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen die eine Linearkombination der 1 Zeile sind also 2 displaystyle 2 nbsp Vektoren Fur die 2 Zeile gibt es also 2 n 2 displaystyle 2 n 2 nbsp Moglichkeiten Fur die 3 Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen die eine Linearkombination der 1 Zeile und 2 Zeile sind also 2 2 displaystyle 2 2 nbsp Vektoren Fur die 3 Zeile gibt es also 2 n 2 2 displaystyle 2 n 2 2 nbsp Moglichkeiten Allgemein gibt es fur die Zeile mit dem Index k displaystyle k nbsp also 2 n 2 k 1 displaystyle 2 n 2 k 1 nbsp mogliche Werte Fur alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt 2 n 2 0 2 n 2 1 2 n 2 2 2 n 2 n 1 displaystyle 2 n 2 0 cdot 2 n 2 1 cdot 2 n 2 2 cdot ldots cdot 2 n 2 n 1 nbsp Moglichkeiten Daraus lasst sich der Anteil der regularen n n displaystyle n times n nbsp Matrixen an allen n n displaystyle n times n nbsp Matrixen bestimmen Es gibt 2 n n 2 n 2 displaystyle 2 n cdot n 2 n 2 nbsp verschiedene n n displaystyle n times n nbsp Matrixen weil jedes der n n n 2 displaystyle n cdot n n 2 nbsp Elemente unabhangig voneinander 2 Werte annehmen kann Der Anteil der regularen n n displaystyle n times n nbsp Matrixen betragt daher 2 n 2 0 2 n 2 1 2 n 2 2 2 n 2 n 1 2 n n 2 n 2 0 2 n 2 n 2 1 2 n 2 n 2 2 2 n 2 n 2 n 1 2 n 1 1 2 n 1 1 2 n 1 1 1 2 n 2 1 1 2 1 k 1 n 1 1 2 k displaystyle begin aligned amp 2 n 2 0 cdot 2 n 2 1 cdot 2 n 2 2 cdot ldots cdot 2 n 2 n 1 2 n cdot n amp frac 2 n 2 0 2 n cdot frac 2 n 2 1 2 n cdot frac 2 n 2 2 2 n cdot ldots cdot frac 2 n 2 n 1 2 n amp left 1 frac 1 2 n right cdot left 1 frac 1 2 n 1 right cdot left 1 frac 1 2 n 2 right cdot ldots cdot left 1 frac 1 2 1 right amp prod k 1 n left 1 left frac 1 2 right k right end aligned nbsp Fur n displaystyle n nbsp gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen 1 2 lt 1 displaystyle tfrac 1 2 lt 1 nbsp gegen einen endlichen Grenzwert Dieser betragt etwa 0 289 Dieses Ergebnis lasst sich fur beliebige Primzahlen p displaystyle p nbsp auf den Restklassenkorper F p displaystyle mathbb F p nbsp verallgemeinern Es gibt p n n p n 2 displaystyle p n cdot n p n 2 nbsp verschiedene n n displaystyle n times n nbsp Matrixen von denen p n p 0 p n p 1 p n p 2 p n p n 1 displaystyle p n p 0 cdot p n p 1 cdot p n p 2 cdot ldots cdot p n p n 1 nbsp regulare n n displaystyle n times n nbsp Matrixen sind Der Anteil der regularen n n displaystyle n times n nbsp Matrixen betragt k 1 n 1 1 p k displaystyle prod k 1 n left 1 left frac 1 p right k right nbsp 3 Literatur BearbeitenPeter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 K Janich Lineare Algebra 11 Auflage Springer Lehrbuch Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 75502 9 doi 10 1007 978 3 540 75502 9 Weblinks BearbeitenNon singular matrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Nonsingular Matrix In MathWorld englisch CWoo Invertible matrix In PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Stephen M Watt University of Western Ontario Pivot Free Block Matrix Inversion Iria C S Cosme Isaac F Fernandes Joao L de Carvalho Samuel Xavier de Souza Memory Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse StackExchange Number of non singular matrices over a finite field of order 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Regulare Matrix amp oldid 232984910
