Volumenform Eine ist ein mathematisches Objekt welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird insbesondere bei

Volumenform

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Berechnung in 3 Dimensionen Bearbeiten

Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach dem Transformationssatz mit Hilfe der Funktionaldeterminante berechnen. Die Jacobi-Matrix für die Transformation von den Koordinaten zu ist hierbei definiert durch

Das Volumenelement ist dann gegeben durch

Der Betrag der Funktionaldeterminante lässt sich anschaulich deuten als Spatprodukt der (lokalen) Basisvektoren. Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und werden aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet. Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante. Siehe: Herleitung des Volumenelementes für Kugelkoordinaten.

Beispiele in 3 Dimensionen Bearbeiten

Mathematische Definition Bearbeiten

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad . Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit Volumenformen Bearbeiten

Ist eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit und eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien lokale Koordinaten, so dass

positiv orientiert ist. Dann kann man im Kartengebiet als

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von . Für das Integral über ganz kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

Literatur Bearbeiten

Volume form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.

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Veröffentlichungsdatum: November 20, 2023, 14:31 pm

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt welches zur Integration uber Raumbereiche benotigt wird insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme also ein Spezialfall eines Volumens In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Massfaktor gebrauchlich Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung in 3 Dimensionen 2 Beispiele in 3 Dimensionen 3 Mathematische Definition 4 Integration mit Volumenformen 5 LiteraturBerechnung in 3 Dimensionen BearbeitenDas Volumenelement in drei Dimensionen lasst sich nach dem Transformationssatz mit Hilfe der Funktionaldeterminante det J displaystyle det J nbsp berechnen Die Jacobi Matrix fur die Transformation von den Koordinaten x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp zu x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp ist hierbei definiert durch J x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 displaystyle J frac partial x 1 x 2 x 3 partial x 1 x 2 x 3 nbsp Das Volumenelement ist dann gegeben durch d V det J d x 1 d x 2 d x 3 displaystyle mathrm d V det J mathrm d x 1 mathrm d x 2 mathrm d x 3 nbsp Der Betrag der Funktionaldeterminante lasst sich anschaulich deuten als Spatprodukt der lokalen Basisvektoren Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und werden aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante Siehe Herleitung des Volumenelementes fur Kugelkoordinaten Beispiele in 3 Dimensionen BearbeitenKartesische Koordinaten d V d x d y d z displaystyle mathrm d V mathrm d x cdot mathrm d y cdot mathrm d z nbsp Zylinderkoordinaten d V r d r d f d z displaystyle mathrm d V rho cdot mathrm d rho cdot mathrm d varphi cdot mathrm d z nbsp Kugelkoordinaten d V r 2 sin 8 d r d 8 d f displaystyle mathrm d V r 2 cdot sin theta cdot mathrm d r cdot mathrm d theta cdot mathrm d varphi nbsp Mathematische Definition BearbeitenAus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Mannigfaltigkeit eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad n displaystyle n nbsp Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt Diese wird Riemann sche Volumenform genannt Integration mit Volumenformen BearbeitenIst w displaystyle omega nbsp eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp und f displaystyle f nbsp eine integrierbare Funktion so ist das Integral M f w displaystyle int M f cdot omega nbsp uber lokale Karten wie folgt definiert Es seien x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp lokale Koordinaten so dass x 1 x n displaystyle frac partial partial x 1 ldots frac partial partial x n nbsp positiv orientiert ist Dann kann man f w displaystyle f cdot omega nbsp im Kartengebiet als g d x 1 d x n displaystyle g cdot mathrm d x 1 wedge ldots wedge mathrm d x n nbsp schreiben das Integral ist dann das gewohnliche Lebesgue Integral von g displaystyle g nbsp Fur das Integral uber ganz M displaystyle M nbsp kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden Aus dem Transformationssatz ergibt sich dass diese Definition kartenunabhangig ist Literatur BearbeitenVolume form In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org K Endl W Luh Analysis Band 1 Akademische Verlagsgesellschaft 1972 ISBN 3 400 00185 6 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Volumenform amp oldid 220482519