Die Funktionaldeterminante oder Jacobi Determinante ist eine mathematische Grosse die in der mehrdimensionalen Integralrechnung also der Berechnung von Oberflachen und Volumenintegralen eine Rolle spielt Insbesondere findet sie in der Flachenformel und dem aus dieser hervorgehenden Transformationssatz Verwendung Inhaltsverzeichnis 1 Lokales Verhalten einer Funktion 2 Definition 3 Anschauliche Deutung in drei Dimensionen 4 Beispiele 4 1 Polarkoordinaten 4 2 Kugelkoordinaten 4 3 Zylinderkoordinaten 5 LiteraturLokales Verhalten einer Funktion Bearbeiten Eine nichtlineare Abbildung f R 2 R 2 displaystyle vec f colon mathbb R 2 to mathbb R 2 transformiert ein Rechteck links in rot zu einer verzerrten Flache rechts in rot Die Jacobi Matrix in einem Punkt ist die beste lineare Approximation der Funktion um diesen Punkt herum f x f x 0 D f x 0 x x 0 displaystyle vec f vec x approx vec f vec x 0 Df vec x 0 vec x vec x 0 Das originale Rechteck wurde durch die Jacobi Matrix in das weisse durchsichtige Parallelogramm uberfuhrt Die Funktionaldeterminante ist das Verhaltnis der Flachen des approximierenden Parallelogramms und dem originalen Rechteck Die Funktionaldeterminante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen uber das Verhalten der Funktion f displaystyle f in der Nahe dieses Punktes Wenn beispielsweise die Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt p displaystyle p ungleich null ist so ist die Funktion in einer Umgebung von p displaystyle p invertierbar Weiterhin gilt dass bei positiver Determinante in p displaystyle p die Funktion ihre Orientierung beibehalt und bei negativer Funktionaldeterminante die Orientierung umkehrt Der absolute Wert der Determinante im Punkt p displaystyle p gibt den Wert an mit dem die Funktion in der Nahe von p displaystyle p expandiert oder schrumpft Definition BearbeitenFur eine differenzierbare Funktion f R n R n displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R n ist die Funktionaldeterminante definiert als die Determinante der Jacobi Matrix von f displaystyle f also als det D f x displaystyle det Df x mit D f x f i x j x i j 1 n displaystyle Df x left frac partial f i partial x j x right i j 1 dotsc n Fur die Transformation von Volumenelementen einen wichtigen Anwendungsfall in der Physik reicht diese Definition aus Die Flachenformel der Mass und Integrationstheorie beschreibt dagegen auch wie sich Integrale uber Funktionen die Raume unterschiedlicher Dimension ineinander abbilden transformieren In diesem Anwendungsfall ist D f displaystyle Df keine quadratische Matrix mehr sodass der Ausdruck oben nicht mehr definiert ist Man verwendet dann die folgende Definition Die verallgemeinerte Funktionaldeterminante einer Funktion f R n R m displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R m ist definiert als J f x det D f x T D f x displaystyle mathcal J f x sqrt det left left Df x right T cdot Df x right Dabei bezeichnet D f x R m n displaystyle Df x in mathbb R m times n die Jacobi Matrix und D f x T displaystyle Df x T ihre Transponierte Der Ausdruck det D f x T D f x displaystyle det left left Df x right T cdot Df x right wird gramsche Determinante von D f displaystyle Df genannt Solange die betrachtete Abbildung keine Selbstabbildung ist ist es ublich das Prafix verallgemeinerte wegzulassen Bei Selbstabbildungen kann dies allerdings zu Missverstandnissen fuhren da beide Definitionen im Allgemeinen unterschiedliche Werte annehmen Es gilt ja J f x det D f 2 det D f det D f displaystyle mathcal J f x sqrt det Df 2 det Df neq det Df Im Kontext der Flachen bzw Transformationsformel wird allerdings ohnehin immer der Betrag verwendet Anschauliche Deutung in drei Dimensionen Bearbeiten Volumenelement in Kugelkoordinaten d V d r d ϕ d 8 r 2 sin 8 displaystyle dV dr d phi d theta r 2 sin theta Der Betrag der Funktionaldeterminante lasst sich anschaulich deuten als Spatprodukt der lokalen Basisvektoren Diese Basisvektoren sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und werden aus der Koordinatentransformation durch partielle Ableitung nach den neuen Koordinaten berechnet Somit bilden die Komponenten eines Basisvektors jeweils eine Spalte der Funktionaldeterminante Mit der Funktionaldeterminante kann das Volumenelement der Integralrechnung bestimmt werden Fur Kugelkoordinaten bedeutet dies det D f b r b 8 b f r 2 sin 8 displaystyle det Df vec b r vec b theta vec b varphi r 2 sin theta Ausfuhrliche Rechnung siehe unten Beispiele BearbeitenBei der Integration uber geometrische Objekte ist es oft unpraktisch uber kartesische Koordinaten zu integrieren So lasst sich in der Physik das Integral uber ein radialsymmetrisches Potentialfeld dessen Wert nur von einem Radius r displaystyle r abhangt wesentlich leichter in Kugelkoordinaten berechnen Um dies zu tun wendet man eine Koordinatentransformation F displaystyle Phi an Nach dem Transformationssatz gilt dann in diesem Beispiel W U r d V F 1 W U F r 8 f det D F r 8 f d r d 8 d f displaystyle int Omega U vec r dV int Phi 1 Omega U Phi r theta varphi cdot left det D Phi r theta varphi right mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi Im Folgenden sind Rechnungen zu drei Koordinatensystemen aufgefuhrt Polarkoordinaten Bearbeiten Die Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten x r cos f displaystyle x r cos varphi y r sin f displaystyle y r sin varphi Die Funktionaldeterminante lautet also det x y r f det x r x f y r y f det cos f r sin f sin f r cos f r cos f 2 r sin f 2 r displaystyle det frac partial x y partial r varphi det begin pmatrix frac partial x partial r amp frac partial x partial varphi frac partial y partial r amp frac partial y partial varphi end pmatrix det begin pmatrix cos varphi amp r sin varphi sin varphi amp r cos varphi end pmatrix r cdot cos varphi 2 r cdot sin varphi 2 r Folglich ergibt sich fur das Flachenelement d A displaystyle mathrm d A d A det x y r f d r d f r d r d f displaystyle mathrm d A left det frac partial x y partial r varphi right mathrm d r mathrm d varphi r mathrm d r mathrm d varphi Kugelkoordinaten Bearbeiten Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi in kartesische Koordinaten lauten x r sin 8 cos f displaystyle x r sin theta cos varphi y r sin 8 sin f displaystyle y r sin theta sin varphi und z r cos 8 displaystyle z r cos theta quad Die Funktionaldeterminante lautet also det x y z r 8 f det sin 8 cos f r cos 8 cos f r sin 8 sin f sin 8 sin f r cos 8 sin f r sin 8 cos f cos 8 r sin 8 0 r 2 sin 8 displaystyle det frac partial x y z partial r theta varphi det begin pmatrix sin theta cos varphi amp r cos theta cos varphi amp r sin theta sin varphi sin theta sin varphi amp r cos theta sin varphi amp r sin theta cos varphi cos theta amp r sin theta amp 0 end pmatrix r 2 sin theta Folglich ergibt sich fur das Volumenelement d V displaystyle mathrm d V d V det x y z r 8 f d r d 8 d f r 2 sin 8 d r d 8 d f displaystyle mathrm d V left det frac partial x y z partial r theta varphi right mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi Manchmal ist es praktischer mit folgender Konvention zu arbeiten x r cos 8 cos f displaystyle x r cos theta cos varphi y r cos 8 sin f displaystyle y r cos theta sin varphi und z r sin 8 displaystyle z r sin theta quad Die Funktionaldeterminante lautet somit det x y z r 8 f det cos 8 cos f r sin 8 cos f r cos 8 sin f cos 8 sin f r sin 8 sin f r cos 8 cos f sin 8 r cos 8 0 r 2 cos 8 displaystyle det frac partial x y z partial r theta varphi det begin pmatrix cos theta cos varphi amp r sin theta cos varphi amp r cos theta sin varphi cos theta sin varphi amp r sin theta sin varphi amp r cos theta cos varphi sin theta amp r cos theta amp 0 end pmatrix r 2 cos theta Also ergibt sich fur das Volumenelement d V displaystyle mathrm d V d V det x y z r 8 f d r d 8 d f r 2 cos 8 d r d 8 d f displaystyle mathrm d V left det frac partial x y z partial r theta varphi right mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi r 2 cos theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi Zylinderkoordinaten Bearbeiten Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten r displaystyle rho f displaystyle varphi z displaystyle z in kartesische Koordinaten lauten x r cos f y r sin f z z displaystyle begin aligned x amp rho cos varphi y amp rho sin varphi z amp z end aligned Die Funktionaldeterminante lautet also det x y z r f z det cos f r sin f 0 sin f r cos f 0 0 0 1 r displaystyle det frac partial x y z partial rho varphi z det begin pmatrix cos varphi amp rho sin varphi amp 0 sin varphi amp rho cos varphi amp 0 0 amp 0 amp 1 end pmatrix rho Folglich ergibt sich fur das Volumenelement d V displaystyle mathrm d V d V det x y z r f z d r d f d z r d r d f d z displaystyle mathrm d V left det frac partial x y z partial rho varphi z right mathrm d rho mathrm d varphi mathrm d z rho mathrm d rho mathrm d varphi mathrm d z Genauso gut hatte man eine andere Reihenfolge der Zylinderkoordinaten wahlen konnen Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise det x y z r z f det cos f 0 r sin f sin f 0 r cos f 0 1 0 r displaystyle det frac partial x y z partial rho z varphi det begin pmatrix cos varphi amp 0 amp rho sin varphi sin varphi amp 0 amp rho cos varphi 0 amp 1 amp 0 end pmatrix rho In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein also ist das Ergebnis dann unabhangig von der gewahlten Reihenfolge der Variablen nach denen abgeleitet wird Literatur BearbeitenHerbert Federer Geometric measure theory 1 Auflage Springer Berlin 1996 ISBN 3 540 60656 4 englisch fur die Definition Wolfgang Nolting Klassische Mechanik In Grundkurs theoretische Physik 8 Auflage Band 1 Springer Berlin 2006 ISBN 3 540 34832 8 Fur die Beispiele und den Spezialfall des R 3 displaystyle mathbb R 3 K Endl W Luh Analysis Band 1 Akademische Verlagsgesellschaft 1972 ISBN 3 400 00185 6 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktionaldeterminante amp oldid 228149742
