Der Deformationsgradient Formelzeichen F displaystyle mathbf F ist in der Kontinuumsmechanik ein Mittel zur Beschreibung der lokalen Verformung an einem materiellen Punkt eines Korpers Zur Veranschaulichung kann man sich einen Korper in Abbildung 1 gelb vorstellen auf den eine kurze Linie weil nur lokale Anderungen beschrieben werden im Bild fett rot eingeritzt wird Wird der Korper deformiert rechts im Bild wird die eingeritzte Linie nicht nur ihre Lage im Raum andern sondern auch gedehnt oder gestaucht und verdreht werden Die Dehnung und Verdrehung beschreibt der Deformationsgradient und ist so ein Mass fur die Deformation daher der Name Der Anhang Gradient verweist auf die Tatsache dass lokale Anderungen beschrieben werden Aus dem Deformationsgradient lassen sich Masse fur die lokale Streckung Verzerrung Flachen und Volumenanderung ableiten Im allgemeinen Fall ist der Deformationsgradient sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhangig Die zeitliche Anderung des Deformationsgradienten gibt Masse fur die Anderungsraten der Streckung Verdrehung Verzerrung Flachen und Volumenanderung Der Deformationsgradient ist einheitenfrei Abbildung 1 Ein Korper links und seine verschobene und deformierte Lage rechts Bei der Deformation werden materielle Linien schwarz verschoben verbogen und gedehnt Abbildung 2 Transformation eines Vektors v displaystyle vec v durch einen Tensor T displaystyle mathbf T Bei den angesprochenen kurzen Linien handelt es sich mathematisch um Vektoren die vom Deformationsgradient transformiert werden wobei die Vektoren im Allgemeinen gedreht und gestreckt werden Abbildungen von Vektoren leisten Tensoren siehe Abbildung 2 weswegen der Deformationsgradient ein Tensor ist Wenn es klar ist auf welches Koordinatensystem sich der Deformationsgradient bezieht berechnet er sich wie eine Jacobimatrix und kann dann auch als Matrix notiert werden Oft bildet der Deformationsgradient die infinitesimal kleinen materiellen Linienelemente in der Ausgangs oder Referenzkonfiguration in die aktuelle oder Momentankonfiguration ab Ganz allgemein kann eine solche Abbildung aber auch zwischen beliebig anderen zu definierenden Konfigurationen stattfinden Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Darstellungsweisen 1 1 Definition 1 2 Definitions und Wertebereich 1 3 Darstellung in konvektiven Koordinaten 1 4 Der raumliche Deformationsgradient 1 5 Geometrische Linearisierung 2 Transformationseigenschaften 2 1 Polare Zerlegung 2 2 Linien Flachen und Volumenelemente 2 3 Volumenverhaltnis 2 4 Transformation von Tensoren 2 5 Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten 3 Deformationsraten 4 Beispiel 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition und Darstellungsweisen BearbeitenDefinition Bearbeiten Die Bewegung eines materiellen Punktes wird mit der Bewegungsfunktion x x X t displaystyle vec x vec chi vec X t nbsp beschrieben Der Vektor x displaystyle vec x nbsp ist die aktuelle Position des materiellen Punktes X displaystyle vec X nbsp zur Zeit t displaystyle t nbsp in der Momentankonfiguration Genauer ist X displaystyle vec X nbsp die Position des betrachteten materiellen Punktes in der undeformierten Ausgangs oder Referenzkonfiguration des Korpers zu einer Zeit t 0 t displaystyle t 0 leq t nbsp Bei festgehaltenem materiellen Punkt X displaystyle vec X nbsp beschreibt die Bewegungsfunktion dessen Bahnlinie durch den Raum Im kartesischen Koordinatensystem mit der Standardbasis e 1 e 2 e 3 displaystyle vec e 1 vec e 2 vec e 3 nbsp hat der Punkt x displaystyle vec x nbsp die komponentenweise Darstellung x i 1 3 x i e i i 1 3 x i X t e i displaystyle vec x sum i 1 3 x i vec e i sum i 1 3 chi i vec X t vec e i nbsp und entsprechend gilt X i 1 3 X i e i displaystyle vec X sum i 1 3 X i vec e i nbsp Um zu untersuchen wie sich die aktuelle Position andert wenn die Position in der undeformierten Ausgangslage variiert wird die Ableitung gebildet F i j x i X t X j displaystyle F ij frac partial chi i vec X t partial X j nbsp fur i j 1 2 3 displaystyle i j 1 2 3 nbsp Die Funktionen F i j displaystyle F ij nbsp sind die Komponenten des Deformationsgradienten bezuglich des Basissystems e i displaystyle vec e i nbsp Um zu einer koordinatenfreien Darstellung zu gelangen wird das dyadische Produkt displaystyle otimes nbsp benutzt F G R A D x X t x i X j e i e j F 11 F 12 F 13 F 21 F 22 F 23 F 31 F 32 F 33 e i e j displaystyle mathbf F mathrm GRAD vec chi vec X t frac partial chi i partial X j vec e i otimes vec e j begin pmatrix F 11 amp F 12 amp F 13 F 21 amp F 22 amp F 23 F 31 amp F 32 amp F 33 end pmatrix vec e i otimes vec e j nbsp Darin ist F displaystyle mathbf F nbsp der Deformationsgradient und G R A D displaystyle mathrm GRAD nbsp ist der Operator fur den materiellen Gradienten denn es wird nach den materiellen Koordinaten X j displaystyle X j nbsp differenziert nbsp Abbildung 3 Transformation von Linienelementen durch den DeformationsgradientDer Deformationsgradient kann auch mit der Richtungsableitung F X t d X d d s x X s d X t s 0 d x displaystyle mathbf F vec X t cdot mathrm d vec X left frac mathrm d mathrm d s vec chi vec X s mathrm d vec X t right s 0 mathrm d vec x nbsp dargestellt werden was seine Transformationseigenschaften der Linienelemente d X displaystyle mathrm d vec X nbsp verdeutlicht siehe Abbildung 3 Definitions und Wertebereich Bearbeiten nbsp Abbildung 4 Tangentenvektoren schwarz an materielle Linien 8 i displaystyle Theta i nbsp spannen Tangentialraume auf gelb Die zu den Tangentenvektoren dualen Gradientenvektoren sind blau dargestellt Mathematisch ist das Differential d X displaystyle mathrm d vec X nbsp in d x F d X displaystyle mathrm d vec x mathbf F cdot mathrm d vec X nbsp Element des Tangentialraumes T X V displaystyle mathrm T vec X V nbsp im Punkt X displaystyle vec X nbsp des Raumes V displaystyle V nbsp den der undeformierte Korper in der Ausgangskonfiguration einnimmt in Abbildung 4 oben Das Differential d x d x displaystyle mathrm d vec x mathrm d vec chi nbsp ist entsprechend ein Element des Tangentialraumes T x v displaystyle mathrm T vec x v nbsp im Punkt x displaystyle vec x nbsp des Raumes v displaystyle v nbsp den der deformierte Korper in der Momentankonfiguration einnimmt im Bild unten Damit wird der Deformationsgradient zur Abbildung F T X V T x v d X d x F X t d X displaystyle begin array llll mathbf F amp mathrm T vec X V amp mapsto amp mathrm T vec x v amp mathrm d vec X amp rightarrow amp mathrm d vec x mathbf F vec X t cdot mathrm d vec X end array nbsp Darstellung in konvektiven Koordinaten Bearbeiten Werden jedem materiellen Punkt X displaystyle vec X nbsp uber eine Referenzkonfiguration konvektive Koordinaten 8 8 1 8 2 8 3 displaystyle vec Theta Theta 1 Theta 2 Theta 3 nbsp zugeordnet bilden die Tangentenvektoren G i X 8 8 i displaystyle vec G i dfrac partial vec X vec Theta partial Theta i nbsp bzw g i x X 8 8 i displaystyle vec g i dfrac partial vec chi left vec X vec Theta right partial Theta i nbsp kovariante Basen der Tangentialraume T X V displaystyle mathrm T vec X V nbsp im Punkt X displaystyle vec X nbsp bzw T x v displaystyle mathrm T vec x v nbsp im Punkt x displaystyle vec x nbsp in Abbildung 4 schwarz dargestellt Die Gradienten der konvektiven Koordinaten G i j 1 3 8 i X j e j displaystyle vec G i displaystyle sum j 1 3 dfrac partial Theta i partial X j vec e j nbsp bzw g i j 1 3 8 i x j e j displaystyle vec g i displaystyle sum j 1 3 frac partial Theta i partial x j vec e j nbsp bilden kontravariante Basen die zu den kovarianten dual sind in Abbildung 4 blau dargestellt In diesen Basissystemen ausgedruckt bekommt der Deformationsgradient die besonders einfache Form F i 1 3 g i G i displaystyle mathbf F sum i 1 3 vec g i otimes vec G i nbsp In dieser Darstellung lasst sich auch sofort mit F 1 i 1 3 G i g i g i F G i displaystyle mathbf F 1 sum i 1 3 vec G i otimes vec g i quad Leftrightarrow quad vec g i mathbf F cdot vec G i nbsp die Inverse des Deformationsgradienten angeben Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab F T 1 i 1 3 g i G i g i F T 1 G i displaystyle mathbf F mathrm T 1 sum i 1 3 vec g i otimes vec G i quad Leftrightarrow quad vec g i mathbf F mathrm T 1 cdot vec G i nbsp Der raumliche Deformationsgradient Bearbeiten Zumeist wird der Deformationsgradient wie oben in seiner materiellen Darstellung formuliert Gelegentlich wird aber auch der raumliche Deformationsgradient benutzt Wegen d e t F gt 0 displaystyle mathrm det mathbf F gt 0 nbsp kann der Deformationsgradient invertiert und das Ergebnis uber X x 1 x t displaystyle vec X vec chi 1 vec x t nbsp als Funktion der raumlichen Koordinaten x displaystyle vec x nbsp ausgedruckt werden f x t F 1 x 1 x t t grad X t d x 1 i d x j e i e j displaystyle mathbf f vec x t mathbf F 1 vec chi 1 vec x t t operatorname grad vec X t frac mathrm d vec chi 1 i mathrm d x j vec e i otimes vec e j nbsp Der raumliche Deformationsgradient f x t displaystyle mathbf f vec x t nbsp bildet dann das Linienelement d x displaystyle mathrm d vec x nbsp auf das Linienelement d X displaystyle mathrm d vec X nbsp ab f T x v T X V d x d X f x t d x displaystyle begin array llll mathbf f amp mathrm T vec x v amp mapsto amp mathrm T vec X V amp mathrm d vec x amp rightarrow amp mathrm d vec X mathbf f vec x t cdot mathrm d vec x end array nbsp Entsprechend hat der raumliche Deformationsgradient in konvektiven Koordinaten die Form f i 1 3 G i g i displaystyle mathbf f sum i 1 3 vec G i otimes vec g i nbsp Geometrische Linearisierung Bearbeiten Hauptartikel Verschiebungsgradient In der Festkorpermechanik treten in vielen Anwendungsbereichen nur kleine Deformationen auf In diesem Fall erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik eine erhebliche Vereinfachung durch geometrische Linearisierung Dazu werden die Verschiebungen u X t displaystyle vec u vec X t nbsp betrachtet die ein materieller Punkt X displaystyle vec X nbsp im Laufe seiner Bewegung erfahrt Weil x x X t displaystyle vec x vec chi vec X t nbsp die aktuelle Position des Punktes ist der in der Ausgangskonfiguration die Position X displaystyle vec X nbsp hatte ist die Verschiebung die Differenz u x X t X displaystyle vec u vec chi vec X t vec X nbsp Der materielle Gradient der Verschiebungen ist der Tensor H G R A D u G R A D x G R A D X F I displaystyle mathbf H mathrm GRAD vec u mathrm GRAD vec chi mathrm GRAD vec X mathbf F mathbf I nbsp und wird Verschiebungsgradient genannt Wenn L 0 displaystyle L 0 nbsp eine charakteristische Abmessung des Korpers ist dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl u L 0 displaystyle vec u ll L 0 nbsp als auch H 1 displaystyle parallel mathbf H parallel ll 1 nbsp gefordert so dass alle Terme die hohere Potenzen von u displaystyle vec u nbsp oder H displaystyle mathbf H nbsp beinhalten vernachlassigt werden konnen In diesem Fall ergeben sich die folgenden Zusammenhange F I H F 1 I H d e t F 1 S p H U I 1 2 H H T v I 1 2 H H T R I 1 2 H H T displaystyle begin array lcl mathbf F amp amp mathbf I mathbf H mathbf F 1 amp approx amp mathbf I mathbf H mathrm det mathbf F amp approx amp 1 mathrm Sp mathbf H mathbf U amp approx amp mathbf I frac 1 2 mathbf H mathbf H mathrm T mathbf v amp approx amp mathbf I frac 1 2 mathbf H mathbf H mathrm T mathbf R amp approx amp mathbf I frac 1 2 mathbf H mathbf H mathrm T end array nbsp Die Tensoren U v displaystyle mathbf U mathbf v nbsp und R displaystyle mathbf R nbsp kommen in der polaren Zerlegung vor siehe unten Transformationseigenschaften BearbeitenPolare Zerlegung Bearbeiten nbsp Abbildung 5 Polare Zerlegung des DeformationsgradientenDer Deformationsgradient F displaystyle mathbf F nbsp lasst sich eindeutig polar in eine Rotation und eine reine Streckung zerlegen Durch Anwendung der Polarzerlegung resultiert die Darstellung F R U v R displaystyle mathbf F mathbf R cdot U mathbf v cdot R nbsp Dabei ist R displaystyle mathbf R nbsp ein eigentlich orthogonaler Tensor Der materielle rechte Strecktensor U displaystyle mathbf U nbsp und der raumliche linke Strecktensor v displaystyle mathbf v nbsp sind symmetrisch und positiv definit Eselsbrucke U displaystyle mathbf U nbsp steht rechts von R displaystyle mathbf R nbsp und v displaystyle mathbf v nbsp links davon in der polaren Darstellung Anschaulich bedeutet die polare Zerlegung eine Hintereinanderschaltung zweier Transformationen Im einen Fall eine rotationsfreie Streckung U displaystyle mathbf U nbsp mit anschliessender Drehung R displaystyle mathbf R nbsp und im anderen Fall eine Drehung R displaystyle mathbf R nbsp mit anschliessender rotationsfreier Streckung v displaystyle mathbf v nbsp so wie sie in Abbildung 5 dargestellt sind Der rechte Strecktensor berechnet sich gemass U F T F displaystyle mathbf U sqrt mathbf F mathrm T cdot mathbf F nbsp aus der Hauptachsentransformation von F T F displaystyle mathbf F mathrm T cdot mathbf F nbsp ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rucktransformation siehe auch das Beispiel unten Entsprechend gilt fur den linken Strecktensor v F F T displaystyle mathbf v sqrt mathbf F cdot F mathrm T nbsp Der Rotationstensor R displaystyle mathbf R nbsp ergibt sich dann aus R F U 1 v 1 F displaystyle mathbf R mathbf F cdot U 1 mathbf v 1 cdot mathbf F nbsp Linien Flachen und Volumenelemente Bearbeiten Mit Hilfe des Deformationsgradienten konnen Integrale in der materiellen Darstellung in die raumliche umgerechnet werden Die zu integrierende Grosse sei ein Feld q displaystyle q nbsp das skalar vektor oder tensorwertig sein kann und in der materiellen Darstellung q 0 X t displaystyle q 0 vec X t nbsp und der raumlichen q x t q 0 x 1 x t t displaystyle q vec x t q 0 left vec chi 1 vec x t t right nbsp vorliege Dann gelten die Identitaten l q x t d x L q 0 X t F d X a q x t n d a A q 0 X t d e t F F T 1 N d A v q x t d v V q 0 X t d e t F d V displaystyle begin array ll int l q vec x t mathrm d vec x amp int L q 0 vec X t mathbf F cdot mathrm d vec X int a q vec x t vec n mathrm d a amp int A q 0 vec X t mathrm det mathbf F mathbf F mathrm T 1 cdot vec N mathrm d A int v q vec x t mathrm d v amp int V q 0 vec X t mathrm det mathbf F mathrm d V end array nbsp Der Operator d e t displaystyle mathrm det cdot nbsp bildet die Determinante und T 1 displaystyle cdot mathrm T 1 nbsp die transponiert Inverse L displaystyle L nbsp ist eine materielle Linie in der Ausgangskonfiguration und l displaystyle l nbsp die zugehorige raumliche in der Momentankonfiguration Die Oberflache A displaystyle A nbsp des Korpers in der Ausgangskonfiguration hat das Oberflachenelement N d A displaystyle vec N mathrm d A nbsp d h die mit dem Flachenstuck d A displaystyle mathrm d A nbsp multiplizierte Normale N displaystyle vec N nbsp des Flachenstucks Gleiches gilt fur das raumliche Flachenelement n d a displaystyle vec n mathrm d a nbsp auf der Oberflache a displaystyle a nbsp des Korpers in der Momentankonfiguration Diese Transformationen sind bei der Zeitableitung der Integrale auf den linken Seiten der Gleichungen nutzlich weil die Gebiete auf den linken Seiten von der Zeit abhangen nicht so aber auf den rechten Seiten Volumenverhaltnis Bearbeiten Die Determinante von F displaystyle mathbf F nbsp gibt das lokale Volumenverhaltnis J d e t F d v d V gt 0 displaystyle J mathrm det mathbf F frac mathrm d v mathrm d V gt 0 nbsp im betrachteten materiellen Punkt bei der Deformation an Damit ergibt sich u a dass J d e t F displaystyle J mathrm det mathbf F nbsp positiv sein muss sonst ware die Deformation physikalisch nicht moglich Inversion des materiellen Punktes Bleibt bei einer Deformation das Volumen erhalten also J 1 displaystyle J 1 nbsp liegt Inkompressibilitat vor Bei Gummi oder Elastomer Werkstoffen ist dies eine ubliche Annahme in der kontinuumsmechanischen Beschreibung und durch das Verhalten dieser Werkstoffklasse annahernd der Fall Gleiches gilt fur die inkompressiblen Flussigkeiten Transformation von Tensoren Bearbeiten Der Deformationsgradient transformiert neben den Linien Flachen und Volumenelementen auch Tensoren von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration Diese Transformationen sind fur kovariante Tensoren oftmals Verzerrungstensoren und kontravariante Tensoren oftmals Spannungstensoren unterschiedlich z B e F T 1 E F 1 S F T F T displaystyle begin array lcl mathbf e amp amp mathbf F mathrm T 1 cdot mathbf E cdot mathbf F 1 mathbf S amp amp mathbf F cdot tilde mathbf T cdot mathbf F mathrm T end array nbsp Der Tensor e 1 2 I F T 1 F 1 displaystyle mathbf e tfrac 1 2 mathbf I mathbf F mathrm T 1 cdot mathbf F 1 nbsp ist der Euler Almansi Verzerrungstensor in der Momentankonfiguration E 1 2 F T F I displaystyle mathbf E tfrac 1 2 mathbf F mathrm T cdot mathbf F mathbf I nbsp der Green Lagrange sche Verzerrungstensor in der Ausgangskonfiguration S d e t F T displaystyle mathbf S mathrm det mathbf F mathbf T nbsp der gewichtete Cauchy sche Spannungstensor T displaystyle mathbf T nbsp der Cauchy sche Spannungstensor beide in der Momentankonfiguration und T det F F 1 T F T 1 displaystyle tilde mathbf T det mathbf F mathbf F 1 cdot mathbf T cdot mathbf F mathrm T 1 nbsp der zweite Piola Kirchhoff sche Spannungstensor in der Ausgangskonfiguration Das Skalarprodukt der so einander zugeordneten Tensoren wird von der Transformation nicht verandert z B S e F T F T F T 1 E F 1 T E displaystyle mathbf S mathbf e mathbf F cdot tilde mathbf T cdot mathbf F mathrm T mathbf F mathrm T 1 cdot mathbf E cdot mathbf F 1 tilde mathbf T mathbf E nbsp Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten Bearbeiten Die Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten wird in Materialtheorie angewendet um die Deformation eines Korpers auf Grund verschiedener Einflusse zu modellieren So kann sich ein Korper deformieren weil er erwarmt wird oder einer ausseren Kraft ausgesetzt wird Die Deformation kann zusatzlich davon abhangen wie schnell die Temperatur oder Kraft aufgebracht wird Die Reaktionen des Materials lassen sich einfacher modellieren wenn die Phanomene voneinander getrennt betrachtet werden So kann ein Modell den Einfluss der Temperatur nachbilden und ein anderes Modell die isotherme Verformung durch Krafte Die Deformationen aufgrund des einen oder anderen Phanomens konnen dann anschliessend wieder zusammengefuhrt werden In der Materialtheorie hat es sich durchgesetzt bei kleinen Verformungen eine additive Zerlegung der Dehnungen und bei grossen Verformungen eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten zu benutzen Seien also a und b zwei Verformungsanteile eines Materials Fur die Modellbildung wird der Deformationsgradient multiplikativ zerlegt F F a F b displaystyle mathbf F mathbf F a cdot mathbf F b nbsp Ein Modell beschreibt dann die Entwicklung des Anteils F a displaystyle mathbf F a nbsp auf Grund des Einflusses a und ein anderes Modell die Entwicklung des Anteils F b displaystyle mathbf F b nbsp auf Grund des Einflusses b Die Deformationsgradienten F a displaystyle mathbf F a nbsp und F b displaystyle mathbf F b nbsp erfullen im Allgemeinen nicht die Kompatibilitatsbedingungen weswegen es im Allgemeinen kein Bewegungsfeld gibt aus dem die beiden Anteile per Gradientenbildung abgeleitet werden konnen Weil der Deformationsgradient wie im vorigen Abschnitt erlautert Tensoren von einer Konfiguration in die andere transformiert entspricht die multiplikative Zerlegung der Einfuhrung einer Zwischenkonfiguration Die Tensoren der Referenzkonfiguration werden mit dem Anteil F b displaystyle mathbf F b nbsp und die der Momentankonfiguration mit F a displaystyle mathbf F a nbsp in die Zwischenkonfiguration transformiert Transformation des Green Lagrange schen Verzerrungstensors von der Referenzkonfiguration in die Zwischenkonfiguration liefert G F b T 1 E F b 1 F b T 1 1 2 F a F b T F a F b I F b 1 G a G b G a 1 2 F a T F a I G b 1 2 I F b T 1 F b 1 displaystyle begin array lcl boldsymbol Gamma amp amp mathbf F b mathrm T 1 cdot mathbf E cdot mathbf F b 1 mathbf F b mathrm T 1 cdot frac 1 2 left mathbf F a cdot mathbf F b mathrm T cdot mathbf F a cdot mathbf F b mathbf I right cdot mathbf F b 1 boldsymbol Gamma a boldsymbol Gamma b boldsymbol Gamma a amp amp frac 1 2 left mathbf F a mathrm T cdot mathbf F a mathbf I right boldsymbol Gamma b amp amp frac 1 2 left mathbf I mathbf F b mathrm T 1 cdot mathbf F b 1 right end array nbsp Der in die Zwischenkonfiguration transformierte Green Lagrange sche Verzerrungstensor zerfallt also in zwei Anteile Ein Anteil G a displaystyle boldsymbol Gamma a nbsp ist vom Green Lagrange Typ und wird mit F a displaystyle mathbf F a nbsp gebildet Der andere Anteil ist vom Euler Almansi Typ und wird mit F b displaystyle mathbf F b nbsp gebildet Gleiches gilt wenn der Euler Almansi Tensor e displaystyle mathbf e nbsp mit F a displaystyle mathbf F a nbsp auf die Zwischenkonfiguration transformiert wird F a T e F a F a T 1 2 I F a F b T 1 F a F b 1 F a G a G b displaystyle mathbf F a mathrm T cdot mathbf e cdot mathbf F a mathbf F a mathrm T cdot frac 1 2 left mathbf I mathbf F a cdot mathbf F b mathrm T 1 cdot mathbf F a cdot mathbf F b 1 right cdot mathbf F a boldsymbol Gamma a boldsymbol Gamma b nbsp In der Zwischenkonfiguration konnen nun die beiden Phanomene mit den Verzerrungstensoren G a displaystyle boldsymbol Gamma a nbsp und G b displaystyle boldsymbol Gamma b nbsp getrennt modelliert werden Der sich im Modell in der Zwischenkonfiguration ergebende Spannungstensor wird anschliessend mit F a displaystyle mathbf F a nbsp in die Momentankonfiguration oder mit F b displaystyle mathbf F b nbsp in die Referenzkonfiguration transformiert Deformationsraten Bearbeiten Hauptartikel Geschwindigkeitsgradient Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten F G R A D x X t d x i d X j e i e j displaystyle dot mathbf F mathrm GRAD dot vec chi vec X t frac mathrm d dot chi i mathrm d X j vec e i otimes vec e j nbsp ist ein Mass fur die Deformationsgeschwindigkeit Sie hangt uber l g r a d v x t d v i d x j e i e j i j k 1 3 d v i d X k e i e k d X l d x j e l e j F F 1 displaystyle mathbf l mathrm grad vec v vec x t frac mathrm d v i mathrm d x j vec e i otimes vec e j sum i j k 1 3 frac mathrm d v i mathrm d X k vec e i otimes vec e k cdot frac mathrm d X l mathrm d x j vec e l otimes vec e j dot mathbf F cdot mathbf F 1 nbsp mit dem raumlichen Geschwindigkeitsgradient l displaystyle mathbf l nbsp des raumlichen Geschwindigkeitsfeldes v x t displaystyle vec v vec x t nbsp zusammen In konvektiven Koordinaten lautet das F i 1 3 g i G i l i 1 3 g i g i i 1 3 g i g i displaystyle begin array lcl dot mathbf F amp amp displaystyle sum i 1 3 dot vec g i otimes vec G i mathbf l amp amp displaystyle sum i 1 3 dot vec g i otimes vec g i sum i 1 3 vec g i otimes dot vec g i end array nbsp Beispiel Bearbeiten nbsp Abbildung 6 Scherung eines Quadrates lila in ein Parallelogramm rot Die Scherung ist eine reine Streckung konigsblau mit anschliessender Drehung oder eine Drehung hellblau mit anschliessender StreckungDie Berechnung des Deformationsgradienten und seiner polare Zerlegung wird anhand der Scherung eines Quadrates vorgefuhrt Ein Quadrat der Kantenlange eins wird zu einem flachengleichen Parallelogramm mit Grundseite und Hohe eins verformt siehe Abbildung 6 Die Punkte des Quadrates haben in der Ausgangskonfiguration die Koordinaten X Y 0 1 2 R 2 displaystyle begin pmatrix X Y end pmatrix in 0 1 2 subset mathbb R 2 nbsp Die Neigung des Parallelogramms sei tan a 5 6 a 0 694 7 r a d 39 805 5 displaystyle tan alpha frac 5 6 quad rightarrow quad alpha approx 0 6947 mathrm rad approx 39 8055 circ nbsp Dann sind die raumlichen Koordinaten der Punkte gegeben durch x y x X Y t X tan a Y Y X 5 6 Y Y displaystyle begin pmatrix x y end pmatrix vec chi left begin pmatrix X Y end pmatrix t right begin pmatrix X tan alpha Y Y end pmatrix begin pmatrix X frac 5 6 Y Y end pmatrix nbsp Wie ublich wird X displaystyle X nbsp mit X 1 displaystyle X 1 nbsp und Y displaystyle Y nbsp mit X 2 displaystyle X 2 nbsp identifiziert Dann bekommt man den Deformationsgradient durch Ableitung F i j 1 2 x i X j e i e j 1 5 6 0 1 displaystyle mathbf F sum i j 1 2 frac partial x i partial X j vec e i otimes vec e j begin pmatrix 1 amp frac 5 6 0 amp 1 end pmatrix nbsp Die Richtungsableitung liefert uber F d X d Y s x X Y s d X d Y t s 0 s X s d X 5 6 Y s d Y Y s d Y s 0 d X 5 6 d Y d Y 1 5 6 0 1 d X d Y displaystyle begin array lcl mathbf F cdot begin pmatrix mathrm d X mathrm d Y end pmatrix amp amp dfrac partial partial s vec chi left left begin pmatrix X Y end pmatrix s begin pmatrix mathrm d X mathrm d Y end pmatrix t right right s 0 left dfrac partial partial s begin pmatrix X s mathrm d X frac 5 6 Y s mathrm d Y Y s mathrm d Y end pmatrix right s 0 3ex amp amp begin pmatrix mathrm d X frac 5 6 mathrm d Y mathrm d Y end pmatrix begin pmatrix 1 amp frac 5 6 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix mathrm d X mathrm d Y end pmatrix end array nbsp dasselbe Ergebnis Der Deformationsgradient ist hier vom Ort und der Zeit unabhangig und hat die Determinante eins was den Erhalt des Flacheninhalts bestatigt Der rechte Strecktensor U displaystyle mathbf U nbsp berechnet sich aus dem rechten Cauchy Green Tensor C F T F 1 0 5 6 1 1 5 6 0 1 1 5 6 5 6 61 36 displaystyle mathbf C mathbf F mathrm T cdot mathbf F begin pmatrix 1 amp 0 frac 5 6 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp frac 5 6 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp frac 5 6 frac 5 6 amp frac 61 36 end pmatrix nbsp uber Hauptachsentransformation ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rucktransformation Fur die Hauptachsentransformation braucht man die Eigenwerte l 1 2 displaystyle lambda 1 2 nbsp und vektoren v 1 2 displaystyle vec v 1 2 nbsp von C displaystyle mathbf C nbsp Man findet l 1 9 4 v 1 1 13 2 3 l 2 4 9 v 2 1 13 3 2 displaystyle begin array lclclcl lambda 1 amp amp dfrac 9 4 amp quad amp vec v 1 amp amp dfrac 1 sqrt 13 begin pmatrix 2 3 end pmatrix 3ex lambda 2 amp amp dfrac 4 9 amp quad amp vec v 2 amp amp dfrac 1 sqrt 13 begin pmatrix 3 2 end pmatrix end array nbsp Mit diesen Eigenwerten und vektoren erhalt man die Hauptachsentransformation C i 1 2 l i v i v i j 1 2 v j e j i 1 2 l i e i e i k 1 2 e k v k 1 13 2 3 3 2 9 4 0 0 4 9 1 13 2 3 3 2 displaystyle begin array lcl mathbf C amp amp displaystyle sum i 1 2 lambda i vec v i otimes vec v i left sum j 1 2 vec v j otimes vec e j right cdot left sum i 1 2 lambda i vec e i otimes vec e i right cdot left sum k 1 2 vec e k otimes vec v k right 3ex amp amp dfrac 1 sqrt 13 begin pmatrix 2 amp 3 3 amp 2 end pmatrix begin pmatrix frac 9 4 amp 0 0 amp frac 4 9 end pmatrix dfrac 1 sqrt 13 begin pmatrix 2 amp 3 3 amp 2 end pmatrix end array nbsp und damit den rechten Strecktensor U C 1 13 2 3 3 2 9 4 0 0 4 9 2 3 3 2 1 13 12 5 5 97 6 displaystyle mathbf U sqrt mathbf C frac 1 13 begin pmatrix 2 amp 3 3 amp 2 end pmatrix begin pmatrix sqrt frac 9 4 amp 0 0 amp sqrt frac 4 9 end pmatrix begin pmatrix 2 amp 3 3 amp 2 end pmatrix frac 1 13 begin pmatrix 12 amp 5 5 amp frac 97 6 end pmatrix nbsp Mit seiner Inversen U 1 1 13 97 6 5 5 12 displaystyle mathbf U 1 frac 1 13 begin pmatrix frac 97 6 amp 5 5 amp 12 end pmatrix nbsp ergibt sich der Rotationstensor R F U 1 1 13 12 5 5 12 cos b sin b sin b cos b displaystyle mathbf R mathbf F cdot U 1 frac 1 13 begin pmatrix 12 amp 5 5 amp 12 end pmatrix begin pmatrix cos beta amp sin beta sin beta amp cos beta end pmatrix nbsp siehe Drehmatrix Der Rotationstensor dreht das im Bild konigsblaue Parallelogramm oder hellblaue Quadrat um den Winkel b arcsin 5 13 0 394 8 r a d 22 619 9 displaystyle beta left arcsin left frac 5 13 right right approx 0 3948 mathrm rad approx 22 6199 circ nbsp Den linken Strecktensor kann man nun einfacher aus v F R T 1 5 6 0 1 1 13 12 5 5 12 1 13 97 6 5 5 12 displaystyle mathbf v mathbf F cdot R mathrm T begin pmatrix 1 amp frac 5 6 0 amp 1 end pmatrix frac 1 13 begin pmatrix 12 amp 5 5 amp 12 end pmatrix frac 1 13 begin pmatrix frac 97 6 amp 5 5 amp 12 end pmatrix nbsp ermitteln Siehe auch BearbeitenMathematik Differentialgeometrie JacobimatrixFormelsammlungen Formelsammlung Tensoralgebra Formelsammlung TensoranalysisLiteratur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer Verlag 2000 ISBN 3 540 66114 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Deformationsgradient amp oldid 216753790
