Das aussere Tensorprodukt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Dyaden die aus zwei mit dem dyadischen Produkt verknupften Vektoren bestehen Beim ausseren Tensorprodukt werden Kreuzprodukte der Vektoren gebildet so dass dieses Tensorprodukt auf drei dimensionale Raume eingeschrankt ist Weil im ausseren Tensorprodukt das Kreuzprodukt doppelt vorkommt wird es hier mit dem Symbol geschrieben Mit dem ausseren Tensorprodukt lassen sich die Hauptinvarianten der Kofaktor und die Adjunkte eines Tensors elegant ausdrucken und das Kreuzprodukt von mit einem Tensor transformierten Vektoren angeben Die Bezeichnung ausseres Tensorprodukt leitet sich aus dem Zweitnamen ausseres Produkt des Kreuzproduktes von Vektoren her Gelegentlich wird auch das dyadische Produkt von Tensoren als ausseres Tensorprodukt bezeichnet Die Benennung hier folgt W Ehlers 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Koordinatenfreie Darstellung 3 Eigenschaften 3 1 Assoziativitat 3 2 Kommutativitat 3 3 Distributivgesetz 3 4 Zusammenhang mit dem doppelten Kreuzprodukt von Tensoren 3 5 Isotropie 3 6 Skalarprodukt mit einem dritten Tensor 3 7 Zusammenhang mit den Hauptinvarianten 3 8 Berechnung des Kofaktors und der Adjunkten 3 9 Tensorprodukt zweier ausserer Produkte 4 Transformationseigenschaften 4 1 Kreuzprodukt 4 2 Spatprodukt 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben seien vier Vektoren a b g h V 3 displaystyle vec a vec b vec g vec h in mathbb V 3 nbsp aus dem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum V 3 displaystyle mathbb V 3 nbsp Dann ist das aussere Tensorprodukt mit dem dyadischen Produkt displaystyle otimes nbsp definiert uber a g b h a b g h displaystyle vec a otimes vec g vec b otimes vec h vec a times vec b otimes vec g times vec h nbsp Tensoren zweiter Stufe sind Summen von Dyaden Seien a 1 2 3 b 1 2 3 g 1 2 3 displaystyle vec a 1 2 3 vec b 1 2 3 vec g 1 2 3 nbsp und h 1 2 3 displaystyle vec h 1 2 3 nbsp Vektorraumbasen Dann kann jeder Tensor zweiter Stufe A als Summe A A i j a i g j A i j b i h j displaystyle mathbf A A ij vec a i otimes vec g j A ij vec b i otimes vec h j nbsp mit zu bestimmenden Komponenten Aij bzw A ij dargestellt werden In dieser Gleichung wie auch in den folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden der zufolge uber alle in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes hier i und j von eins bis drei zu summieren ist Das aussere Tensorprodukt zweier Tensoren zweiter Stufe lautet dann A B A i j a i g j B k l b k h l A i j B k l a i b k g j h l displaystyle mathbf A mathbf B left A ij vec a i otimes vec g j right left B kl vec b k otimes vec h l right A ij B kl left vec a i times vec b k right otimes left vec g j times vec h l right nbsp Koordinatenfreie Darstellung BearbeitenOhne Referenz auf Dyaden kann das aussere Tensorprodukt zweier Tensoren A und B symbolisch mit dem Einheitstensor 1 geschrieben werden als A B Sp A Sp B Sp A B 1 A B B A Sp A B Sp B A displaystyle begin aligned mathbf A mathbf B amp operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B operatorname Sp mathbf A cdot B mathbf 1 amp mathbf A cdot B mathbf B cdot A operatorname Sp mathbf A mathbf B operatorname Sp mathbf B mathbf A top end aligned nbsp Denn wenn diese Tensoren wie beispielsweise in A A i j e i e j displaystyle mathbf A A ij hat e i otimes hat e j nbsp bezuglich der Standardbasis e1 2 3 notiert werden dann gilt mit dem Levi Civita Symbol e i j k e i e j e k displaystyle varepsilon ijk hat e i times hat e j cdot hat e k nbsp A B A i j e i e j B k l e k e l A i j B k l e i e k e j e l e i k m e j l n A i j B k l e m e n displaystyle begin aligned mathbf A mathbf B amp A ij hat e i otimes hat e j B kl hat e k otimes hat e l amp A ij B kl hat e i times hat e k otimes hat e j times hat e l amp varepsilon ikm varepsilon jln A ij B kl hat e m otimes hat e n end aligned nbsp Das Produkt zweier Levi Civita Symbole hangt uber die Determinante e i k m e j l n d i j d i l d i n d k j d k l d k n d m j d m l d m n d i j d k l d m n d i l d k n d m j d i n d k j d m l d i j d k n d m l d i l d k j d m n d i n d k l d m j displaystyle begin aligned varepsilon ikm varepsilon jln amp begin vmatrix delta ij amp delta il amp delta in delta kj amp delta kl amp delta kn delta mj amp delta ml amp delta mn end vmatrix amp delta ij delta kl delta mn delta il delta kn delta mj delta in delta kj delta ml amp delta ij delta kn delta ml delta il delta kj delta mn delta in delta kl delta mj end aligned nbsp mit dem Kronecker Delta dij zusammen Daraus ergibt sich A B d i j d k l d m n d i l d k n d m j d i n d k j d m l d i j d k n d m l d i l d k j d m n d i n d k l d m j A i j B k l e m e n A i i B k k e m e m A i j B k i e j e k A i j B j l e l e i A i i B k l e l e k A i j B j i e m e m A i j B k k e j e i Sp A Sp B 1 A B B A Sp A B Sp A B 1 Sp B A displaystyle begin array rcl mathbf A mathbf B amp amp delta ij delta kl delta mn delta il delta kn delta mj delta in delta kj delta ml amp amp delta ij delta kn delta ml delta il delta kj delta mn delta in delta kl delta mj A ij B kl hat e m otimes hat e n amp amp A ii B kk hat e m otimes hat e m A ij B ki hat e j otimes hat e k A ij B jl hat e l otimes hat e i amp amp A ii B kl hat e l otimes hat e k A ij B ji hat e m otimes hat e m A ij B kk hat e j otimes hat e i amp amp operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B mathbf 1 mathbf A top cdot B top mathbf B top cdot A top amp amp operatorname Sp mathbf A mathbf B top operatorname Sp mathbf A cdot B mathbf 1 operatorname Sp mathbf B mathbf A top end array nbsp was der eingangs gegebenen Identitat entspricht Eigenschaften BearbeitenAus der koordinatenfreien Darstellung lasst sich ablesen 1 1 2 1 A 1 Sp A 1 A A B A B displaystyle begin array rcl mathbf 1 mathbf 1 amp amp 2 mathbf 1 mathbf A mathbf 1 amp amp operatorname Sp mathbf A mathbf 1 mathbf A top mathbf A mathbf B top amp amp mathbf A top mathbf B top end array nbsp Assoziativitat Bearbeiten Das aussere Tensorprodukt ist nicht assoziativ A B C A B C displaystyle mathbf A mathbf B mathbf C neq mathbf A mathbf B mathbf C nbsp wie das Beispiel B C 1 zeigt A 1 1 A 2 1 2 Sp A 1 2 A A 1 1 Sp A 1 A 1 2 Sp A 1 Sp A Sp 1 Sp A 1 1 A 1 1 A Sp A 1 Sp 1 A Sp A 1 A displaystyle begin aligned mathbf A mathbf 1 mathbf 1 amp mathbf A 2 mathbf 1 2 operatorname Sp mathbf A mathbf 1 2 mathbf A top mathbf A mathbf 1 mathbf 1 amp operatorname Sp mathbf A mathbf 1 mathbf A top mathbf 1 amp 2 operatorname Sp mathbf A mathbf 1 operatorname Sp mathbf A top operatorname Sp mathbf 1 operatorname Sp mathbf A top cdot 1 mathbf 1 amp mathbf A top cdot 1 mathbf 1 cdot A top operatorname Sp mathbf A top mathbf 1 operatorname Sp mathbf 1 mathbf A top top amp operatorname Sp mathbf A mathbf 1 mathbf A end aligned nbsp Kommutativitat Bearbeiten Das aussere Tensorprodukt ist kommutativ A B B A displaystyle mathbf A mathbf B mathbf B mathbf A nbsp wie aus der koordinatenfreien Darstellung ablesbar ist Distributivgesetz Bearbeiten Das aussere Tensorprodukt ist distributiv uber der Addition und Subtraktion A B C A B A C A B C A C B C displaystyle begin aligned mathbf A mathbf B C amp mathbf A mathbf B mathbf A mathbf C mathbf A B mathbf C amp mathbf A mathbf C mathbf B mathbf C end aligned nbsp was in der koordinatenfreien Darstellung nachweisbar ist Zusammenhang mit dem doppelten Kreuzprodukt von Tensoren Bearbeiten H Altenbach 2 definiert das doppelte Kreuzprodukt von Dyaden als a g b h g b a h g a b h displaystyle vec a otimes vec g times times vec b otimes vec h vec g times vec b otimes vec a times vec h vec g otimes vec a vec b otimes vec h nbsp das sich also nur durch die Transposition des ersten Faktors vom ausseren Tensorprodukt unterscheidet Isotropie Bearbeiten Das aussere Tensorprodukt zweier Tensoren kann als Funktion dieser Tensoren aufgefasst werden f A B A B displaystyle mathbf f mathbf A B mathbf A mathbf B nbsp Gegeben sei ein beliebiger orthogonaler Tensor Q bei dem also die Identitat Q Q 1 displaystyle mathbf Q top cdot Q mathbf 1 nbsp zutrifft Dann gilt f Q A Q Q B Q Q A Q Q B Q Sp Q A Q Sp Q B Q Sp Q A Q Q B Q 1 Q A Q Q B Q Q B Q Q A Q Sp Q A Q Q B Q Sp Q B Q Q A Q Q Sp A Sp B Sp A B 1 A B B A Sp A B Sp B A Q Q f A B Q displaystyle begin array rcl amp amp mathbf f mathbf Q cdot A cdot Q top Q cdot B cdot Q top amp amp mathbf Q cdot A cdot Q top mathbf Q cdot B cdot Q top amp amp operatorname Sp mathbf Q cdot A cdot Q top operatorname Sp mathbf Q cdot B cdot Q top operatorname Sp mathbf Q cdot A cdot Q top cdot mathbf Q cdot B cdot Q top mathbf 1 amp amp mathbf Q cdot A cdot Q top top cdot mathbf Q cdot B cdot Q top top mathbf Q cdot B cdot Q top top cdot mathbf Q cdot A cdot Q top top amp amp operatorname Sp mathbf Q cdot A cdot Q top mathbf Q cdot B cdot Q top top operatorname Sp mathbf Q cdot B cdot Q top mathbf Q cdot A cdot Q top top amp amp mathbf Q cdot bigl operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B operatorname Sp mathbf A cdot B mathbf 1 mathbf A top cdot B top mathbf B top cdot A top amp amp quad quad quad operatorname Sp mathbf A mathbf B top operatorname Sp mathbf B mathbf A top bigr cdot mathbf Q top amp amp mathbf Q cdot mathbf f mathbf A B cdot mathbf Q top end array nbsp Das aussere Tensorprodukt ist mithin eine isotrope Tensorfunktion Skalarprodukt mit einem dritten Tensor Bearbeiten Bildung des Frobenius Skalarproduktes des ausseren Tensorproduktes A B mit einem dritten Tensor C liefert A B C Sp A Sp B 1 A B B A Sp A B Sp A B 1 Sp B A C Sp A Sp B Sp C Sp B A C Sp A B C Sp A Sp B C Sp C Sp A B Sp B Sp C A displaystyle begin array rcl mathbf A mathbf B mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B mathbf 1 mathbf A top cdot B top mathbf B top cdot A top amp amp operatorname Sp mathbf A mathbf B top operatorname Sp mathbf A cdot B mathbf 1 operatorname Sp mathbf B mathbf A top mathbf C amp amp operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B operatorname Sp mathbf C operatorname Sp mathbf B cdot A cdot C operatorname Sp mathbf A cdot B cdot C amp amp operatorname Sp mathbf A operatorname Sp mathbf B cdot C operatorname Sp mathbf C operatorname Sp mathbf A cdot B operatorname Sp mathbf B operatorname Sp mathbf C cdot A end array nbsp Daraus ist die zyklische Vertauschbarkeit A B C B C A C A B displaystyle mathbf A mathbf B mathbf C mathbf B mathbf C mathbf A mathbf C mathbf A mathbf B nbsp ablesbar Zusammenhang mit den Hauptinvarianten Bearbeiten Hauptartikel Hauptinvariante Aus T 1 Sp T 1 T displaystyle mathbf T mathbf 1 operatorname Sp mathbf T mathbf 1 mathbf T top nbsp und der zyklischen Vertauschbarkeit der Faktoren im Produkt A B C displaystyle mathbf A mathbf B mathbf C nbsp folgt T 1 1 3 Sp T Sp T 2 I 1 T T T 1 T 1 T Sp T 2 Sp T T 2 I 2 T T T T Sp T 3 2 Sp T 3 3 Sp T Sp T 2 6 I 3 T displaystyle begin array rclcl mathbf T mathbf 1 mathbf 1 amp amp 3 operatorname Sp mathbf T operatorname Sp mathbf T amp amp 2 operatorname I 1 mathbf T mathbf T mathbf T mathbf 1 amp amp mathbf T mathbf 1 mathbf T operatorname Sp mathbf T 2 operatorname Sp mathbf T cdot T amp amp 2 operatorname I 2 mathbf T mathbf T mathbf T mathbf T amp amp operatorname Sp mathbf T 3 2 operatorname Sp mathbf T 3 3 operatorname Sp mathbf T operatorname Sp mathbf T 2 amp amp 6 operatorname I 3 mathbf T end array nbsp Die Funktionen I1 2 3 sind die drei Hauptinvarianten des Tensors T Berechnung des Kofaktors und der Adjunkten Bearbeiten Der Kofaktor eines invertierbaren Tensors ist der Tensor cof T det T T 1 displaystyle operatorname cof mathbf T operatorname det mathbf T mathbf T top 1 nbsp der nach dem Satz von Cayley Hamilton cof T T T Sp T T I 2 T 1 displaystyle operatorname cof mathbf T mathbf T top cdot T top operatorname Sp mathbf T mathbf T top operatorname I 2 mathbf T mathbf 1 nbsp lautet Letztere Identitat gilt auch fur nicht invertierbare Tensoren Das aussere Tensorprodukt eines Tensors mit sich selbst liefert den doppelten Kofaktor T T Sp T 2 Sp T T 1 2 T T Sp T T Sp T T 2 cof T displaystyle begin aligned mathbf T mathbf T amp operatorname Sp mathbf T 2 operatorname Sp mathbf T cdot T mathbf 1 2 mathbf T top cdot T top operatorname Sp mathbf T mathbf T top operatorname Sp mathbf T mathbf T top amp 2 operatorname cof mathbf T end aligned nbsp Die Adjunkte ist der transponierte Kofaktor adj T cof T 1 2 T T 1 2 T T displaystyle operatorname adj mathbf T operatorname cof mathbf T top frac 1 2 mathbf T mathbf T top frac 1 2 left mathbf T top right left mathbf T top right nbsp Tensorprodukt zweier ausserer Produkte Bearbeiten Mit e p q u e s t u e u p q e u s t d p s d q t d p t d q s displaystyle varepsilon pqu varepsilon stu varepsilon upq varepsilon ust delta ps delta qt delta pt delta qs nbsp kann A B C D e i k m e p q u A i p B k q e m e u e s t v e j l n C s j D t l e v e n e i k m e p q u e s t u e j l n A i p B k q C s j D t l e m e n e i k m d p s d q t d q s d p t e j l n A i p B k q C s j D t l e m e n e i k m e j l n A i p C p j B k q D q l e m e n e i k m e l j n A i p D p l B k q C q j e m e n A B C D A C B D A D B C displaystyle begin array rcl mathbf A mathbf B cdot mathbf C mathbf D amp amp varepsilon ikm varepsilon pqu A ip B kq hat e m otimes hat e u cdot varepsilon stv varepsilon jln C sj D tl hat e v otimes hat e n amp amp varepsilon ikm varepsilon pqu varepsilon stu varepsilon jln A ip B kq C sj D tl hat e m otimes hat e n amp amp varepsilon ikm delta ps delta qt delta qs delta pt varepsilon jln A ip B kq C sj D tl hat e m otimes hat e n amp amp varepsilon ikm varepsilon jln A ip C pj B kq D ql hat e m otimes hat e n varepsilon ikm varepsilon ljn A ip D pl B kq C qj hat e m otimes hat e n rightarrow mathbf A mathbf B cdot mathbf C mathbf D amp amp mathbf A cdot C mathbf B cdot D mathbf A cdot D mathbf B cdot C end array nbsp ausgerechnet werden Transformationseigenschaften BearbeitenKreuzprodukt Bearbeiten Mit Hilfe des ausseren Tensorprodukts lassen sich Tensoren aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren ausklammern A u A v 1 2 A A u v cof A u v displaystyle mathbf A cdot vec u times mathbf A cdot vec v frac 1 2 mathbf A mathbf A cdot vec u times vec v operatorname cof mathbf A cdot vec u times vec v nbsp Dieses Ergebnis wird bei der Berechnung der Inhalte verformter Flachen gebraucht Zum Nachweis wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren mit Komponenten bezuglich der Standardbasis mittels des Levi Civita Symbols dargestellt u v u p e p v q e q e p q r u p v q e r displaystyle vec u times vec v u p hat e p times v q hat e q varepsilon pqr u p v q hat e r nbsp Anwendung des ausseren Tensorprodukts zweier Tensoren auf dieses Produkt liefert A B u v e i k m e j l n A i j B k l e m e n e p q r u p v q e r e i k m e p q n e j l n A i j B k l u p v q e m displaystyle mathbf A mathbf B cdot vec u times vec v varepsilon ikm varepsilon jln A ij B kl hat e m otimes hat e n cdot varepsilon pqr u p v q hat e r varepsilon ikm varepsilon pqn varepsilon jln A ij B kl u p v q hat e m nbsp Nun ist A u B v A v B u A i j u j e i B k l v l e k A i j v j e i B k l u l e k e i k m A i j B k l u j v l e m e i k m A i j B k l u l v j e m e i k m d j p d l q d l p d j q A i j B k l u p v q e m e i k m e p q n e j l n A i j B k l u p v q e m A u B v A v B u A B u v displaystyle begin array rcl mathbf A cdot vec u times mathbf B cdot vec v mathbf A cdot vec v times mathbf B cdot vec u amp amp A ij u j hat e i times B kl v l hat e k A ij v j hat e i times B kl u l hat e k amp amp varepsilon ikm A ij B kl u j v l hat e m varepsilon ikm A ij B kl u l v j hat e m amp amp varepsilon ikm delta jp delta lq delta lp delta jq A ij B kl u p v q hat e m amp amp varepsilon ikm varepsilon pqn varepsilon jln A ij B kl u p v q hat e m rightarrow mathbf A cdot vec u times mathbf B cdot vec v mathbf A cdot vec v times mathbf B cdot vec u amp amp mathbf A mathbf B cdot vec u times vec v end array nbsp In der Gleichungskette wurde e p q n e j l n e n p q e n j l d j p d l q d l p d j q displaystyle varepsilon pqn varepsilon jln varepsilon npq varepsilon njl delta jp delta lq delta lp delta jq nbsp ausgenutzt Speziell berechnet sich mit B A der eingangs aufgefuhrte Zusammenhang Spatprodukt Bearbeiten In Komponenten bezuglich der Standardbasis berechnet sich A B C A i j e i e j B k l e k e l C p q e p e q e i k m e j l n A i j B k l C m n e j l n A i j e i B k l e k C m n e m e j l n A e j B e l C e n A B C A e 1 B e 2 C e 3 A e 2 B e 3 C e 1 A e 3 B e 1 C e 2 A e 2 B e 1 C e 3 A e 3 B e 2 C e 1 A e 1 B e 3 C e 2 displaystyle begin array rcl mathbf A mathbf B mathbf C amp amp A ij hat e i otimes hat e j B kl hat e k otimes hat e l C pq hat e p otimes hat e q varepsilon ikm varepsilon jln A ij B kl C mn amp amp varepsilon jln A ij hat e i times B kl hat e k cdot C mn hat e m varepsilon jln mathbf A cdot hat e j times mathbf B cdot hat e l cdot mathbf C cdot hat e n rightarrow mathbf A mathbf B mathbf C amp amp mathbf A cdot hat e 1 times mathbf B cdot hat e 2 cdot mathbf C cdot hat e 3 mathbf A cdot hat e 2 times mathbf B cdot hat e 3 cdot mathbf C cdot hat e 1 mathbf A cdot hat e 3 times mathbf B cdot hat e 1 cdot mathbf C cdot hat e 2 amp amp mathbf A cdot hat e 2 times mathbf B cdot hat e 1 cdot mathbf C cdot hat e 3 mathbf A cdot hat e 3 times mathbf B cdot hat e 2 cdot mathbf C cdot hat e 1 mathbf A cdot hat e 1 times mathbf B cdot hat e 3 cdot mathbf C cdot hat e 2 end array nbsp Anstatt der Standardbasis kann hier auch jede andere Orthonormalbasis eingesetzt werden Siehe auch BearbeitenFormelsammlung TensoralgebraEinzelnachweise Bearbeiten W Ehlers Erganzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Hohere Mechanik 2014 S 24 f uni stuttgart de PDF abgerufen am 28 Februar 2015 H Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 32 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ausseres Tensorprodukt amp oldid 233995830
