Die Adjunkte klassische Adjungierte nicht zu verwechseln mit der echten adjungierten Matrix oder komplementare Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Man bezeichnet damit die Transponierte der Kofaktormatrix also die Transponierte jener Matrix deren Eintrage die vorzeichenbehafteten Minoren Unterdeterminanten sind Mit Hilfe der Adjunkten kann man die Inverse einer regularen quadratischen Matrix berechnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 2 2 Matrix 2 2 3 3 Matrix 3 Eigenschaften 4 Berechnung der Inversen einer Matrix 5 LiteraturDefinition BearbeitenDie Adjunkte adj A displaystyle operatorname adj A nbsp einer quadratischen Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp mit Eintragen aus einem Korper oder allgemeiner aus einem kommutativen Ring K displaystyle K nbsp ist definiert als adj A Cof A T A T a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n T a 11 a 21 a n 1 a 12 a 22 a n 2 a 1 n a 2 n a n n displaystyle operatorname adj A operatorname Cof A T tilde A T begin pmatrix tilde a 11 amp tilde a 12 amp cdots amp tilde a 1n tilde a 21 amp tilde a 22 amp amp tilde a 2n vdots amp amp ddots amp vdots tilde a n1 amp tilde a n2 amp cdots amp tilde a nn end pmatrix T begin pmatrix tilde a 11 amp tilde a 21 amp cdots amp tilde a n1 tilde a 12 amp tilde a 22 amp amp tilde a n2 vdots amp amp ddots amp vdots tilde a 1n amp tilde a 2n amp cdots amp tilde a nn end pmatrix nbsp Es ist hierbei zu beachten dass an der Stelle j i displaystyle j i nbsp der Kofaktor a i j displaystyle tilde a ij nbsp steht Die Kofaktoren a i j displaystyle tilde a ij nbsp berechnen sich zu a i j 1 i j M i j 1 i j det a 1 1 a 1 j 1 a 1 j 1 a 1 n a i 1 1 a i 1 j 1 a i 1 j 1 a i 1 n a i 1 1 a i 1 j 1 a i 1 j 1 a i 1 n a n 1 a n j 1 a n j 1 a n n displaystyle tilde a ij 1 i j cdot M ij 1 i j cdot det begin pmatrix a 1 1 amp cdots amp a 1 j 1 amp a 1 j 1 amp cdots amp a 1 n vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a i 1 1 amp cdots amp a i 1 j 1 amp a i 1 j 1 amp cdots amp a i 1 n a i 1 1 amp cdots amp a i 1 j 1 amp a i 1 j 1 amp cdots amp a i 1 n vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp cdots amp a n j 1 amp a n j 1 amp cdots amp a n n end pmatrix nbsp Die Minoren M i j displaystyle M ij nbsp sind also die Werte der Unterdeterminanten der Matrix A displaystyle A nbsp die durch Streichen der i displaystyle i nbsp ten Zeile und der j displaystyle j nbsp ten Spalte entstehen Da die Adjunkte in heutigen Lehrbuchern selten auftaucht und in alteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist ist Vorsicht geboten Oft wird dieselbe Notation fur die Adjunkte und die Adjungierte also bei reellen Matrizen deren Transponierte bei komplexen Matrizen deren konjugiert transponierte verwendet Beispiele Bearbeiten 2 2 Matrix Bearbeiten Eine beliebige 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix hat die Form A a b c d displaystyle A begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix nbsp Die Adjunkte zu dieser Matrix ist adj A d c b a T d b c a displaystyle operatorname adj A begin pmatrix d amp c b amp a end pmatrix T begin pmatrix d amp b c amp a end pmatrix nbsp 3 3 Matrix Bearbeiten Eine beliebige 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp Matrix hat die Form A a b c d e f g h i displaystyle A begin pmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end pmatrix nbsp Die Adjunkte zu dieser Matrix ist adj A det e f h i det d f g i det d e g h det b c h i det a c g i det a b g h det b c e f det a c d f det a b d e T e i f h f g d i d h e g c h b i a i c g b g a h b f c e c d a f a e b d T e i f h c h b i b f c e f g d i a i c g c d a f d h e g b g a h a e b d displaystyle begin aligned operatorname adj A amp begin pmatrix quad det begin pmatrix e amp f h amp i end pmatrix amp det begin pmatrix d amp f g amp i end pmatrix amp quad det begin pmatrix d amp e g amp h end pmatrix det begin pmatrix b amp c h amp i end pmatrix amp quad det begin pmatrix a amp c g amp i end pmatrix amp det begin pmatrix a amp b g amp h end pmatrix quad det begin pmatrix b amp c e amp f end pmatrix amp det begin pmatrix a amp c d amp f end pmatrix amp quad det begin pmatrix a amp b d amp e end pmatrix end pmatrix T 7em amp begin pmatrix ei fh amp fg di amp dh eg ch bi amp ai cg amp bg ah bf ce amp cd af amp ae bd end pmatrix T 7em amp begin pmatrix ei fh amp ch bi amp bf ce fg di amp ai cg amp cd af dh eg amp bg ah amp ae bd end pmatrix end aligned nbsp Eigenschaften BearbeitenNachfolgende Beziehungen gelten fur alle Matrizen aus K n n displaystyle K n times n nbsp adj E E displaystyle operatorname adj E E nbsp wobei E displaystyle E nbsp eine Einheitsmatrix ist adj 0 0 displaystyle operatorname adj 0 0 nbsp fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp wobei 0 die Nullmatrix ist Fur 1 1 displaystyle 1 times 1 nbsp Matrizen A a 11 displaystyle A a 11 nbsp gilt jedoch immer auch fur die Nullmatrix adj a 11 1 displaystyle operatorname adj a 11 1 nbsp adj A B adj B adj A displaystyle operatorname adj AB operatorname adj B cdot operatorname adj A nbsp adj A T adj A T displaystyle operatorname adj A T operatorname adj A T nbsp A adj A adj A A det A E displaystyle A cdot operatorname adj A operatorname adj A cdot A det A cdot E nbsp adj l A l n 1 adj A displaystyle operatorname adj lambda A lambda n 1 operatorname adj A nbsp wobei l K displaystyle lambda in K nbsp det adj A det A n 1 displaystyle det operatorname adj A det A n 1 nbsp adj adj A det A n 2 A displaystyle operatorname adj operatorname adj A det A n 2 A nbsp insbesondere fur 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen gilt adj adj A A displaystyle operatorname adj operatorname adj A A nbsp Fur invertierbare Matrizen gilt zusatzlich adj A 1 1 det A A adj A 1 displaystyle operatorname adj A 1 frac 1 det A A operatorname adj A 1 nbsp Berechnung der Inversen einer Matrix BearbeitenDie einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix A displaystyle A nbsp werden jeweils von der Losung des Gleichungssystems A x e j displaystyle Ax e j nbsp mit dem j displaystyle j nbsp ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet Berechnet man diese mit der cramerschen Regel so erhalt man die Formel A 1 1 det A adj A displaystyle A 1 frac 1 det A operatorname adj A nbsp Eine invertierbare 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix lasst sich somit auf sehr einfache Weise invertieren A 1 1 det A adj A 1 a d b c d b c a displaystyle A 1 frac 1 det A operatorname adj A frac 1 ad bc begin pmatrix d amp b c amp a end pmatrix nbsp Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra 4 uberarbeitete Auflage Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 76437 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjunkte amp oldid 194824817
