Der Satz von Cayley Hamilton nach Arthur Cayley und William Rowan Hamilton ist ein Satz aus der linearen Algebra Er besagt dass jede quadratische Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist Inhaltsverzeichnis 1 Hintergrund 2 Satz von Cayley Hamilton 3 Folgerungen 4 Verallgemeinerung 4 1 Aussage 4 2 Beispiel 5 Weblinks 6 Quelle 7 EinzelnachweiseHintergrund BearbeitenSei K displaystyle K nbsp ein Korper beispielsweise der Korper der reellen Zahlen oder der Korper der komplexen Zahlen Fur eine gegebene naturliche Zahl n displaystyle n nbsp lassen sich die quadratischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen aus K displaystyle K nbsp untereinander durch die Rechenoperationen Matrizenaddition Matrizenmultiplikation und Skalarmultiplikation elementweise Multiplikation mit Elementen des Korpers K displaystyle K nbsp miteinander verknupfen Unter diesen Rechenoperationen bilden diese Matrizen eine assoziative und unitare Algebra uber K displaystyle K nbsp mit der Einheitsmatrix als Einselement Sei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp mit der Dimension n displaystyle n nbsp Durch die Wahl einer Basis lassen sich die Endomorphismen von V displaystyle V nbsp die K displaystyle K nbsp linearen Abbildungen von V displaystyle V nbsp nach V displaystyle V nbsp mit den quadratischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen aus K displaystyle K nbsp identifizieren Die Endomorphismen werden dabei auf die jeweiligen Abbildungsmatrizen abgebildet Die Multiplikation zweier Matrizen entspricht dabei der Hintereinanderausfuhrung der entsprechenden Endomorphismen die Einheitsmatrix entspricht der identischen Abbildung und die Endomorphismen von V displaystyle V nbsp bilden somit wie die Abbildungsmatrizen ebenfalls eine assoziative und unitare Algebra Fur einen Korper K displaystyle K nbsp bezeichnet K t displaystyle K t nbsp den Ring der Polynome mit Koeffizienten aus K displaystyle K nbsp und der Variablen t displaystyle t nbsp Jedes solche Polynom p t a 0 t 0 a 1 t 1 a 2 t 2 a m 1 t m 1 a m t m displaystyle p t a 0 cdot t 0 a 1 cdot t 1 a 2 cdot t 2 ldots a m 1 cdot t m 1 a m cdot t m nbsp mit a 0 a 1 a 2 a m 1 a m K displaystyle a 0 a 1 a 2 dots a m 1 a m in K nbsp definiert zu einer gegebenen unitaren assoziativen Algebra uber K displaystyle K nbsp eine Abbildung der Algebra in sich selbst indem man jeweils ein gegebenes Algebraelement A displaystyle A nbsp in das Polynom einsetzt und dann die im Polynom erscheinenden Operationen durch die entsprechenden Operationen der Algebra ersetzt p A a 0 A 0 a 1 A 1 a 2 A 2 a m 1 A m 1 a m A m displaystyle p A a 0 cdot A 0 a 1 cdot A 1 a 2 cdot A 2 dots a m 1 cdot A m 1 a m cdot A m nbsp Im Falle der Algebra der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen aus K displaystyle K nbsp werden dabei insbesondere die in p t displaystyle p t nbsp erscheinenden Potenzen von t displaystyle t nbsp durch entsprechende Matrixpotenzen von A displaystyle A nbsp ersetzt mit A 0 displaystyle A 0 nbsp gleich der n n displaystyle n times n nbsp Einheitsmatrix Satz von Cayley Hamilton BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp sei F displaystyle F nbsp ein Endomorphismus von V displaystyle V nbsp und sei P F K t displaystyle P F in K t nbsp das charakteristische Polynom von F displaystyle F nbsp Der Satz von Cayley Hamilton besagt nun dass P F F displaystyle P F left F right nbsp also P F displaystyle P F nbsp angewendet auf F displaystyle F nbsp selbst die Nullabbildung auf V displaystyle V nbsp ist d h diejenige lineare Abbildung auf V displaystyle V nbsp die alle Elemente von V displaystyle V nbsp auf den Nullvektor von V displaystyle V nbsp abbildet Insbesondere gilt fur jede Matrix A K n n displaystyle A in K n times n nbsp P A A 0 displaystyle P A A 0 nbsp Hierbei ist 0 displaystyle 0 nbsp die Nullmatrix in K n n displaystyle K n times n nbsp Hintergrund Die Aussage des Satzes von Cayley Hamilton ist also keineswegs trivial wie es folgende fehlerhafte Gleichung suggerieren mochte hier nur fur Darstellungsmatrix A M a t n n K displaystyle A in mathop mathrm Mat n times n K nbsp formuliert aber genau so fehlerhaft auch fur Abbildung F E n d V displaystyle F in mathop mathrm End V nbsp notierbar P A A P A t t A det A t E n t A det A A E n det A A det 0 0 displaystyle P A A P A t vline t A det left A t cdot E n right vline t A stackrel det left A A cdot E n right stackrel det A A det 0 0 nbsp dd Beim Gleichheitszeichen displaystyle stackrel nbsp wird die Falle aufgestellt An die Stelle der Unbekannten t displaystyle t nbsp tritt die Matrix oder die lineare Abbildung selbst Wie ist aber die unmittelbar folgende Multiplikation mit der Einsmatrix bzw der identischen Abbildung zu verstehen Beim Gleichheitszeichen displaystyle stackrel nbsp schnappt die Falle zu Die Multiplikation wird als Matrizenmultiplikation bzw Komposition von Abbildungen verstanden so dass sich infolgedessen als Argument fur die Determinante insgesamt die Nullmatrix einstellt deren Determinante die Zahl 0 K displaystyle 0 in K nbsp liefert In der Aussage des Satzes hingegen ist das Argument der Determinante ein Polynom in der Unbekannten t displaystyle t nbsp vom Grade n dim V displaystyle n dim V nbsp ein nicht verschwindendes Polynom also Die Aussage ist Wenn in dieses Polynom die Matrix bzw die Abbildung an die Stelle der Unbekannten tritt so ergibt sich die Nullmatrix bzw Nullabbildung Gerechnet wird dabei im nicht kommutativen Ring der Matrizen bzw der Endomorphismen wie es der obige Hinweis andeutet Das charakteristische Polynom ist ein Polynom aus K t displaystyle K t nbsp und zwar die Determinante der charakteristischen Abbildung X F t F t i d V E n d V t displaystyle mathrm X F t F t cdot mathrm id V in mathop mathrm End V t nbsp lies X displaystyle mathrm X nbsp als grossen griechischen Buchstaben Chi von F E n d V displaystyle F in mathrm End V nbsp Fur eine Darstellungsmatrix A displaystyle A nbsp setzt man X A t A t E n M a t n n K t displaystyle mathrm X A t A t cdot E n in mathop mathrm Mat n times n K t nbsp Dieses Polynom uber dem nicht kommutativen Ring der quadratischen Matrizen mit Einselement hangt nicht von der Darstellungsmatrix A displaystyle A nbsp ab Zusammengefasst kann also gesagt werden Jede quadratische Matrix genugt ihrer charakteristischen Gleichung 1 Folgerungen BearbeitenEinfache Folgerungen aus diesem Satz sind Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum des Vektorraums aller quadratischen Matrizen auf der hochstens die Dimension der Zeilenzahl n displaystyle n nbsp hat Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix mit Exponenten kleiner als die Zeilenzahl darstellbar Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom Eine quadratische Matrix mit n fachem Eigenwert Null ist nilpotent da ihr charakteristisches Polynom von der Form l n displaystyle lambda n nbsp ist Zudem lassen sich mit dieser Formel besonders einfache Formeln fur hohere Potenzen von Matrizen finden Dazu ist das resultierende Polynom mit den Matrizen einfach nach der gesuchten Matrix freizustellen Verallgemeinerung BearbeitenIm Bereich der kommutativen Algebra gibt es unterschiedliche miteinander verwandte Verallgemeinerungen des Satzes von Cayley Hamilton fur Moduln uber kommutativen Ringen 2 Im Folgenden wird eine solche Verallgemeinerung mit Beispiel angegeben Aussage Bearbeiten Es seien R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement und M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Modul der von n displaystyle n nbsp Elementen erzeugt werden kann Weiter sei f displaystyle f nbsp ein Endomorphismus von M displaystyle M nbsp fur den f M I M displaystyle f M subseteq IM nbsp fur ein Ideal I R displaystyle I subseteq R nbsp gilt Dann gibt es ein normiertes Polynom p X X n a 1 X n 1 a n displaystyle p X X n a 1 X n 1 cdots a n nbsp mit a i I i displaystyle a i in I i nbsp so dass p f 0 displaystyle p left f right 0 nbsp gilt 3 Beispiel Bearbeiten Es seien R Z displaystyle R mathbb Z nbsp und M Z 3 displaystyle M mathbb Z 3 nbsp sowie I 2 Z displaystyle I 2 mathbb Z nbsp das Ideal bestehend aus allen geraden Zahlen Der Endomorphismus f displaystyle f nbsp sei definiert durch die Matrix A 2 2 6 2 6 2 4 2 2 displaystyle A begin pmatrix 2 amp 2 amp 6 2 amp 6 amp 2 4 amp 2 amp 2 end pmatrix nbsp Da alle Koeffizienten dieser Matrix gerade sind gilt f M 2 Z M displaystyle f M subseteq 2 mathbb Z cdot M nbsp Das charakteristische Polynom von f displaystyle f nbsp lautet P f t t 3 2 t 2 44 t 128 displaystyle P f t t 3 2t 2 44t 128 nbsp Dessen Koeffizienten 2 44 und 128 sind wie behauptet Vielfache von 2 4 bzw 8 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Beweis des Satzes auf Wikiversity Kursmaterialien Beweis des Satzes im BeweisarchivQuelle BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra 14 durchges Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03217 0 Einzelnachweise Bearbeiten Hans Jorg Dirschmid Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik 4 Auflage Springer Verlag 1990 ISBN 3 322 83228 7 S 545 Wolmer V Vasconcelos Integral closure Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 25540 0 S 66 ff David Eisenbud Commutative algebra with view toward algebraic geometry Springer New York 1997 ISBN 3 540 94269 6 S 120 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cayley Hamilton amp oldid 230594761
