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Schiefhermitesche Matrix Eine schiefhermitesche Matrix oder antihermitesche Matrix ist ein mathematisches Objekt aus der

Schiefhermitesche Matrix

Eine schiefhermitesche Matrix oder antihermitesche Matrix ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra. Diese spezielle Art quadratischer Matrizen mit komplexen Koeffizienten wird bei einer Spiegelung der Koeffizienten an der Hauptdiagonalen in ihre adjungierte Matrix bezüglich des komplexen Standardskalarproduktes überführt. Benannt sind diese Matrizen nach dem Mathematiker Charles Hermite.

Definition Bearbeiten

Eine quadratische Matrix heißt schiefhermitesch, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist, das bedeutet

Für die Einträge einer schiefhermiteschen Matrix gilt also

Beispiele Bearbeiten

  • Die Matrix
mit als der imaginären Einheit ist schiefhermitesch.
  • Die -Matrizen
die sich wie angezeigt auf die quaternionischen Erzeugenden abbilden lassen, sind schiefhermitesch und spurfrei.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist schiefhermitesch, dann ist hermitesch bei geradem und schiefhermitesch bei ungeradem .
  • Ist schiefhermitesch, dann ist unitär.
  • Eine beliebige quadratische Matrix kann eindeutig als die Summe einer hermiteschen Matrix und einer schiefhermiteschen Matrix geschrieben werden:
mit und .

Die Lie-Algebra der schiefhermiteschen Matrizen Bearbeiten

Der Kommutator schiefhermitescher Matrizen ist wieder schiefhermitesch. Die schiefhermiteschen -Matrizen bilden also eine Lie-Algebra, diese wird mit bezeichnet.

ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der unitären Matrizen

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, 2003, S. 182.
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Eine schiefhermitesche Matrix oder antihermitesche Matrix ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra Diese spezielle Art quadratischer Matrizen mit komplexen Koeffizienten wird bei einer Spiegelung der Koeffizienten an der Hauptdiagonalen in ihre adjungierte Matrix bezuglich des komplexen Standardskalarproduktes uberfuhrt Benannt sind diese Matrizen nach dem Mathematiker Charles Hermite Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Die Lie Algebra der schiefhermiteschen Matrizen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine quadratische Matrix B C n n displaystyle B in mathbb C n times n nbsp heisst schiefhermitesch wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist 1 das bedeutet B B H B T displaystyle B B H overline B T nbsp Fur die Eintrage einer schiefhermiteschen Matrix gilt also b j k b k j displaystyle b jk overline b kj nbsp Beispiele BearbeitenDie Matrix 3 i 2 i 2 i i displaystyle begin pmatrix 3i amp 2 i 2 i amp i end pmatrix nbsp dd mit i 2 1 displaystyle i 2 1 nbsp als der imaginaren Einheit ist schiefhermitesch Die 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen i 0 0 i i 0 1 1 0 j 0 i i 0 k displaystyle begin pmatrix i amp 0 0 amp i end pmatrix mapsto mathrm i quad begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix mapsto mathrm j quad begin pmatrix 0 amp i i amp 0 end pmatrix mapsto mathrm k nbsp dd die sich wie angezeigt auf die quaternionischen Erzeugenden abbilden lassen sind schiefhermitesch und spurfrei Eigenschaften BearbeitenDie Hauptdiagonalelemente sind rein imaginar Der Realteil ist schiefsymmetrisch der Imaginarteil ist symmetrisch Ist B displaystyle B nbsp schiefhermitesch dann ist i B displaystyle iB nbsp hermitesch Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginar die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem fur die hermitesche Standardform Schiefhermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Blocken 0 r r 0 r R displaystyle begin pmatrix 0 amp r r amp 0 end pmatrix r in mathbb R nbsp dd Ist B displaystyle B nbsp schiefhermitesch dann ist B k displaystyle B k nbsp hermitesch bei geradem k displaystyle k nbsp und schiefhermitesch bei ungeradem k displaystyle k nbsp Ist B displaystyle B nbsp schiefhermitesch dann ist e B displaystyle e B nbsp unitar Eine beliebige quadratische Matrix C displaystyle C nbsp kann eindeutig als die Summe einer hermiteschen Matrix A displaystyle A nbsp und einer schiefhermiteschen Matrix B displaystyle B nbsp geschrieben werden C A B displaystyle C A B nbsp dd mit A C C H 2 displaystyle A C C H 2 nbsp und B C C H 2 displaystyle B C C H 2 nbsp Die Lie Algebra der schiefhermiteschen Matrizen BearbeitenDer Kommutator schiefhermitescher Matrizen ist wieder schiefhermitesch Die schiefhermiteschen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen bilden also eine Lie Algebra diese wird mit u n displaystyle mathfrak u n nbsp bezeichnet u n X M a t n C X X T 0 displaystyle mathfrak u n left X in mathrm Mat n mathbb C colon X overline X mathrm T 0 right nbsp ist die Lie Algebra der Lie Gruppe der unitaren Matrizen U n A G L n C A A T E n displaystyle U n left A in mathrm GL n mathbb C colon A overline A mathrm T E n right nbsp Literatur BearbeitenHans Joachim Kowalsky Gerhard O Michler Lineare Algebra de Gruyter Berlin u a 2003 ISBN 3 11 017963 6 Einzelnachweise Bearbeiten Hans Joachim Kowalsky Gerhard O Michler Lineare Algebra de Gruyter 2003 S 182 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schiefhermitesche Matrix amp oldid 214546247