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Orthogonalsystem In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis Teilgebieten der Mathematik ist ein eine Menge von V

Orthogonalsystem

In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d. h., sie haben die Norm 1), so spricht man von einem Orthonormalsystem.

Definition Bearbeiten

Eine Teilmenge eines Prähilbertraums heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

  1. Je zwei verschiedene Vektoren aus sind zueinander orthogonal:
  2. Der Nullvektor ist in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet das Skalarprodukt des Raums , im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

so nennt man ein Orthonormalsystem.

Eigenschaften Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

  • Im mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
  • In bilden die Funktionen ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
  • In mit dem Skalarprodukt bilden die Folgen ein Orthogonalsystem
  • In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, , versehen mit dem -Skalarprodukt , bilden die Funktionen
ein Orthogonalsystem.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)
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In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis Teilgebieten der Mathematik ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt Prahilbertraum die paarweise aufeinander senkrecht stehen Sind die Vektoren zusatzlich noch normiert d h sie haben die Norm 1 so spricht man von einem Orthonormalsystem Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Teilmenge M displaystyle M nbsp eines Prahilbertraums V displaystyle V nbsp heisst Orthogonalsystem wenn gilt Je zwei verschiedene Vektoren aus M displaystyle M nbsp sind zueinander orthogonal v w M v w v w 0 displaystyle forall v w in M v neq w Rightarrow langle v w rangle 0 nbsp Der Nullvektor ist in der Menge enthalten Hier bezeichnet v w displaystyle langle v w rangle nbsp das Skalarprodukt des Raums V displaystyle V nbsp im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt Gilt zusatzlich Jeder Vektor aus M displaystyle M nbsp ist normiert d h v M v v 1 displaystyle forall v in M langle v v rangle 1 nbsp so nennt man M displaystyle M nbsp ein Orthonormalsystem Eigenschaften BearbeitenOrthogonalsysteme sind linear unabhangig In separablen Hilbertraumen insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilbertraumen lasst sich mit dem Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhangigen System ein Orthogonalsystem bzw Orthonormalsystem bzw aus jeder Schauder Basis eine orthogonale bzw orthonormale Basis konstruieren Fur ein Orthonormalsystem M displaystyle M nbsp gilt die Besselsche Ungleichung e M x e 2 x 2 x V displaystyle sum e in M langle x e rangle 2 leq x 2 quad forall x in V nbsp Fur jeden Vektor x V displaystyle x in V nbsp ist die Menge der e M displaystyle e in M nbsp fur die x e 0 displaystyle langle x e rangle neq 0 nbsp gilt hochstens abzahlbar Beispiele BearbeitenIm R n displaystyle mathbb R n nbsp mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem In L 2 0 2 p displaystyle L 2 0 2 pi nbsp bilden die Funktionen cos k x displaystyle cos kx nbsp ein Orthogonalsystem Siehe auch trigonometrisches Polynom In ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp mit dem Skalarprodukt a b a n b n displaystyle a b mapsto sum a n b n nbsp bilden die Folgen 0 0 1 0 displaystyle 0 cdots 0 1 0 cdots nbsp ein Orthogonalsystem In dem Prahilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5 P 5 0 1 displaystyle mathcal P 5 0 1 nbsp versehen mit dem L 2 displaystyle L 2 nbsp Skalarprodukt a b 0 1 a b displaystyle a b mapsto int 0 1 ab nbsp bilden die Funktionenx 1 displaystyle x mapsto 1 nbsp und x x 1 2 displaystyle x mapsto x frac 1 2 nbsp dd ein Orthogonalsystem Siehe auch BearbeitenVollstandiges OrthonormalsystemLiteratur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis 6 korrigierte Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Kapitel V 3 Fur den unendlichdimensionalen Fall dort finden sich auch Beweise fur die Beispiele Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger 13 Auflage Vieweg 2002 ISBN 3 528 97217 3 Fur den endlichdimensionalen Fall dort unter Erzeugendensystem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Orthogonalsystem amp oldid 238924866