www.wikidata.de-de.nina.az

Schauderbasis In der Funktionalanalysis wird eine Folge b n n N displaystyle b n n in mathbb N eines Banachraums als bez

Schauderbasis

In der Funktionalanalysis wird eine Folge eines Banachraums als Schauderbasis bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe hat. Sie ist zu unterscheiden von der Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt.

Benannt sind die Schauderbasen nach dem polnischen Mathematiker Juliusz Schauder (1899–1943), der sie 1927 beschrieb.

Definition Bearbeiten

Sei ein Banachraum über dem Grundkörper oder . Eine Folge in heißt Schauderbasis, falls jedes eindeutig als konvergente Reihe , dargestellt werden kann.

Beispiele Bearbeiten

  • Setze für alle , und für , definiere durch
Bis auf einen konstanten Faktor ist jedes eine auf eingeschränkte Haar-Wavelet-Funktion. Die Folge , die man nach Alfréd Haar auch das Haar-System nennt, ist eine Schauderbasis für den Raum Lp([0,1]) für .
  • Zur Konstruktion einer Schauderbasis des Raums sei eine dichte Folge in ohne Wiederholungen und es sei . Man nehme dazu zum Beispiel eine bijektive Abzählung der rationalen Punkte des Einheitsintervalls oder eine Folge der Art und so weiter mittels fortgesetzter Halbierung der bisher von der gebildeten Folge gelassenen Lücken.

Eigenschaften Bearbeiten

Allgemeine Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein Banachraum mit Schauderbasis ist separabel, denn die Menge der endlichen Linearkombinationen mit Koeffizienten aus bzw. ist eine dichte, abzählbare Menge.
  • Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.
  • Banachräume mit Schauderbasis haben die Approximationseigenschaft.
  • In unendlichdimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie Hamelbasis des Vektorraums, da eine solche in unendlichdimensionalen Banachräumen stets überabzählbar sein muss (siehe Satz von Baire).

Koeffizientenfunktionale Bearbeiten

Die Darstellung eines Elements bezüglich einer Schauderbasis ist nach Definition eindeutig. Die Zuordnungen werden als Koeffizientenfunktionale bezeichnet; sie sind linear und stetig und daher Elemente des Dualraums von .

Eigenschaften der Basis Bearbeiten

Schauderbasen können weitergehende Eigenschaften haben. Die Existenz von Schauderbasen mit solchen Eigenschaften hat dann weitere Konsequenzen für den Banachraum.

Ist eine Schauderbasis des Banachraums , so gibt es eine Konstante , so dass für und jede Wahl von Skalaren die Ungleichung gilt. Das Infimum über die , die zu vorgegebener Basis diese Ungleichung erfüllen, nennt man die Basiskonstante. Man spricht von einer monotonen Basis, wenn die Basiskonstante gleich 1 ist.

Man nennt eine Basis beschränkt vollständig (englisch: boundedly complete), wenn es zu jeder Folge von Skalaren mit ein gibt mit .

Weiter sei der von erzeugte abgeschlossene Untervektorraum, und für sei die Norm des eingeschränkten Funktionals . Die Basis heißt schrumpfend (englisch: shrinking), wenn für alle .

Schließlich spricht man von einer unbedingten Basis (englisch: unconditional), wenn alle Reihen in den Entwicklungen bezüglich der Basis unbedingt konvergieren. Die Standard-Basen der -Räume sind offenbar unbedingt. Der Raum hat keine unbedingte Basis. Mittels der Eigenschaft (u) von Pelczynski kann man sogar zeigen, dass er nicht einmal Unterraum eines Banachraums mit unbedingter Basis ist. Weiter kann man zeigen, dass das Haar-System in für eine unbedingte Basis ist, nicht aber für . Der Raum besitzt keine unbedingte Basis.

Zwei Sätze von R. C. James Bearbeiten

Die folgenden beiden Sätze von Robert C. James zeigen die Bedeutung der Basisbegriffe.

  • R. C. James: Sei ein Banachraum mit Schauderbasis. ist genau dann reflexiv, wenn die Basis beschränkt vollständig und schrumpfend ist.

Für unbedingte Schauderbasen kann man das Vorhandensein gewisser Unterräume charakterisieren. Sei ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. Dann gilt:

  • enthält keinen zu c0 isomorphen Unterraum. Die Basis ist beschränkt vollständig.
  • enthält keinen zu isomorphen Unterraum. Die Basis ist schrumpfend.

Als Konsequenz ergibt sich daraus:

  • R. C. James: Sei ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. ist genau dann reflexiv, wenn keinen zu oder isomorphen Unterraum enthält.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry, Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0-444-87878-5
  • Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: An introduction to nonlinear analysis. Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
  • Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: Functional analysis. An introduction. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3646-3
  • Ivan Singer: Bases in Banach spaces I (1970) und Bases in Banach spaces II (1981), Springer Verlag

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 9f
  2. Per Enflo: A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Mathematica, Band 130, Nr. 1, Juli 1973, S. 309–317
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Funktionalanalysis wird eine Folge b n n N displaystyle b n n in mathbb N eines Banachraums als Schauderbasis bezeichnet falls jeder Vektor bezuglich ihr eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe n 1 3 n b n 3 n K displaystyle sum n 1 infty xi n cdot b n xi n in mathbb K hat Sie ist zu unterscheiden von der Hamelbasis von der verlangt wird dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lasst Benannt sind die Schauderbasen nach dem polnischen Mathematiker Juliusz Schauder 1899 1943 der sie 1927 beschrieb Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Allgemeine Eigenschaften 3 2 Koeffizientenfunktionale 3 3 Eigenschaften der Basis 3 4 Zwei Satze von R C James 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei X displaystyle X left cdot right nbsp ein Banachraum uber dem Grundkorper K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp Eine Folge b n n N displaystyle b n n in mathbb N nbsp in X displaystyle X nbsp heisst Schauderbasis falls jedes x X displaystyle x in X nbsp eindeutig als konvergente Reihe x n 1 3 n b n 3 n K displaystyle textstyle x sum n 1 infty xi n cdot b n xi n in mathbb K nbsp dargestellt werden kann Beispiele BearbeitenIm Folgenraum ℓ p x j j 1 x j R j 1 x j p lt displaystyle textstyle ell p left x j j 1 infty x j in mathbb R sum j 1 infty x j p lt infty right nbsp mit der ℓp Norm x ℓ p j 1 x j p p displaystyle textstyle left x right ell p sqrt p sum j 1 infty x j p nbsp bilden fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp die Einheitsvektoren 1 0 0 0 1 0 0 displaystyle 1 0 0 dotsc 0 1 0 0 dotsc dotsc nbsp eine Schauderbasis Setze h 1 x 1 displaystyle h 1 x 1 nbsp fur alle x 0 1 displaystyle x in 0 1 nbsp und fur 1 i 2 n displaystyle 1 leq i leq 2 n nbsp n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp definiere h 2 n i 0 1 R displaystyle h 2 n i colon 0 1 rightarrow mathbb R nbsp durchh 2 n i x 1 2 i 2 2 n 1 x lt 2 i 1 2 n 1 1 2 i 1 2 n 1 x lt 2 i 2 n 1 0 sonst displaystyle h 2 n i x begin cases 1 amp 2i 2 2 n 1 leq x lt 2i 1 2 n 1 1 amp 2i 1 2 n 1 leq x lt 2i 2 n 1 0 amp mbox sonst end cases nbsp dd Bis auf einen konstanten Faktor ist jedes h k displaystyle h k nbsp eine auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp eingeschrankte Haar Wavelet Funktion Die Folge h k k N displaystyle h k k in mathbb N nbsp die man nach Alfred Haar auch das Haar System nennt ist eine Schauderbasis fur den Raum Lp 0 1 fur 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp Zur Konstruktion einer Schauderbasis des Raums C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp sei q n n N displaystyle q n n in mathbb N nbsp eine dichte Folge in 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ohne Wiederholungen und es sei q 1 0 q 2 1 displaystyle q 1 0 q 2 1 nbsp Man nehme dazu zum Beispiel eine bijektive Abzahlung der rationalen Punkte des Einheitsintervalls oder eine Folge der Art 0 1 1 2 1 4 3 4 1 8 3 8 5 8 7 8 2 k 1 2 n displaystyle 0 1 tfrac 1 2 tfrac 1 4 tfrac 3 4 tfrac 1 8 tfrac 3 8 tfrac 5 8 tfrac 7 8 ldots tfrac 2k 1 2 n ldots nbsp und so weiter mittels fortgesetzter Halbierung der bisher von der gebildeten Folge gelassenen Lucken Fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp sei e n C 0 1 displaystyle e n in C 0 1 nbsp definiert durch e 1 displaystyle e 1 nbsp konstant 1 und fur alle weiteren n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp sei e n q n 1 displaystyle e n q n 1 nbsp e n q k 0 displaystyle e n q k 0 nbsp fur alle k 1 n 1 displaystyle k 1 ldots n 1 nbsp und e n displaystyle e n nbsp sei affin linear auf 0 1 q 1 q n displaystyle 0 1 setminus q 1 ldots q n nbsp Dann ist die Folge e n n N displaystyle e n n in mathbb N nbsp eine Schauderbasis von C 0 1 1 Die Idee zur Konstruktion dieser Schauderbasis geht auf Juliusz Schauder zuruck und man nennt eine solche Basis daher auch die Schauderbasis Eigenschaften BearbeitenAllgemeine Eigenschaften Bearbeiten Ein Banachraum mit Schauderbasis ist separabel denn die Menge der endlichen Linearkombinationen mit Koeffizienten aus Q displaystyle mathbb Q nbsp bzw Q i Q displaystyle mathbb Q i mathbb Q nbsp ist eine dichte abzahlbare Menge Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis 2 Banachraume mit Schauderbasis haben die Approximationseigenschaft In unendlichdimensionalen Banachraumen ist eine Schauderbasis nie Hamelbasis des Vektorraums da eine solche in unendlichdimensionalen Banachraumen stets uberabzahlbar sein muss siehe Satz von Baire Koeffizientenfunktionale Bearbeiten Die Darstellung eines Elements x X displaystyle x in X nbsp bezuglich einer Schauderbasis ist nach Definition eindeutig Die Zuordnungen b n x 3 n displaystyle b n ast colon x mapsto xi n nbsp werden als Koeffizientenfunktionale bezeichnet sie sind linear und stetig und daher Elemente des Dualraums von X displaystyle X nbsp Eigenschaften der Basis Bearbeiten Schauderbasen konnen weitergehende Eigenschaften haben Die Existenz von Schauderbasen mit solchen Eigenschaften hat dann weitere Konsequenzen fur den Banachraum Ist b n n N displaystyle b n n in mathbb N nbsp eine Schauderbasis des Banachraums X displaystyle X nbsp so gibt es eine Konstante K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp so dass fur p lt q displaystyle p lt q nbsp und jede Wahl von Skalaren 3 n K displaystyle xi n in mathbb K nbsp die Ungleichung n 1 p 3 n b n K n 1 q 3 n b n displaystyle textstyle left sum n 1 p xi n b n right leq K cdot left sum n 1 q xi n b n right nbsp gilt Das Infimum uber die K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp die zu vorgegebener Basis diese Ungleichung erfullen nennt man die Basiskonstante Man spricht von einer monotonen Basis wenn die Basiskonstante gleich 1 ist Man nennt eine Basis b n n N displaystyle b n n in mathbb N nbsp beschrankt vollstandig englisch boundedly complete wenn es zu jeder Folge 3 n n N displaystyle xi n n in mathbb N nbsp von Skalaren mit sup m N n 1 m 3 n b n lt displaystyle textstyle sup m in mathbb N left sum n 1 m xi n b n right lt infty nbsp ein x X displaystyle x in X nbsp gibt mit x n 1 3 n b n displaystyle textstyle x sum n 1 infty xi n b n nbsp Weiter sei X n X displaystyle X n subset X nbsp der von b j j n displaystyle b j j geq n nbsp erzeugte abgeschlossene Untervektorraum und fur f X displaystyle f in X nbsp sei f X n displaystyle f X n nbsp die Norm des eingeschrankten Funktionals f X n X n displaystyle f X n in X n nbsp Die Basis heisst schrumpfend englisch shrinking wenn lim n f X n 0 displaystyle lim n to infty f X n 0 nbsp fur alle f X displaystyle f in X nbsp Schliesslich spricht man von einer unbedingten Basis englisch unconditional wenn alle Reihen x n 1 3 n b n displaystyle textstyle x sum n 1 infty xi n b n nbsp in den Entwicklungen bezuglich der Basis unbedingt konvergieren Die Standard Basen der ℓ p displaystyle ell p nbsp Raume sind offenbar unbedingt Der Raum C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp hat keine unbedingte Basis Mittels der Eigenschaft u von Pelczynski kann man sogar zeigen dass er nicht einmal Unterraum eines Banachraums mit unbedingter Basis ist Weiter kann man zeigen dass das Haar System in L p 0 1 displaystyle L p 0 1 nbsp fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp eine unbedingte Basis ist nicht aber fur p 1 displaystyle p 1 nbsp Der Raum L 1 0 1 displaystyle L 1 0 1 nbsp besitzt keine unbedingte Basis Zwei Satze von R C James Bearbeiten Die folgenden beiden Satze von Robert C James zeigen die Bedeutung der Basisbegriffe R C James Sei X displaystyle X nbsp ein Banachraum mit Schauderbasis X displaystyle X nbsp ist genau dann reflexiv wenn die Basis beschrankt vollstandig und schrumpfend ist Fur unbedingte Schauderbasen kann man das Vorhandensein gewisser Unterraume charakterisieren Sei X displaystyle X nbsp ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis Dann gilt X displaystyle X nbsp enthalt keinen zu c0 isomorphen Unterraum displaystyle Leftrightarrow nbsp Die Basis ist beschrankt vollstandig X displaystyle X nbsp enthalt keinen zu ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp isomorphen Unterraum displaystyle Leftrightarrow nbsp Die Basis ist schrumpfend Als Konsequenz ergibt sich daraus R C James Sei X displaystyle X nbsp ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis X displaystyle X nbsp ist genau dann reflexiv wenn X displaystyle X nbsp keinen zu c 0 displaystyle c 0 nbsp oder ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp isomorphen Unterraum enthalt Siehe auch BearbeitenBasisfolgeLiteratur BearbeitenBernard Beauzamy Introduction to Banach Spaces and their Geometry Elesevier Science Publishers 1985 ISBN 0 444 87878 5 Zdzislaw Denkowski Stanislaw Migorski Nikolas S Papageorgiou An introduction to nonlinear analysis Kluwer Boston 2003 ISBN 0 306 47392 5 Joseph Diestel Sequences and Series in Banach Spaces 1984 ISBN 0 387 90859 5 Yuli Eidelman Vitali Milman Antonis Tsolomitis Functional analysis An introduction American Mathematical Society Providence 2004 ISBN 0 8218 3646 3 Ivan Singer Bases in Banach spaces I 1970 und Bases in Banach spaces II 1981 Springer VerlagEinzelnachweise Bearbeiten F Albiac N J Kalton Topics in Banach Space Theory Springer Verlag 2006 ISBN 978 0 387 28142 1 Seite 9f Per Enflo A counterexample to the approximation problem in Banach spaces Acta Mathematica Band 130 Nr 1 Juli 1973 S 309 317 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schauderbasis amp oldid 211431307