Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.
Definition Bearbeiten
Ein Punkt eines topologischen Raumes heißt generisch, wenn der Abschluss der Teilmenge ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.
Eigenschaften Bearbeiten
- Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
- Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T0, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
- In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
- Ist ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes , so ist der Abschluss von in eine irreduzible Teilmenge von , und ist ein generischer Punkt von .
Beispiel aus der algebraischen Geometrie Bearbeiten
Ist ein Integritätsring, so ist das Nullideal der (einzige) generische Punkt des Spektrums ; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von .
Bedeutung für die algebraische Geometrie Bearbeiten
Ist ein irreduzibles Schema und sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für . Ist beispielsweise eine kohärente Garbe auf , so ist äquivalent zu für alle in einer geeigneten offenen Teilmenge von .
Verwandte Begriffe Bearbeiten
Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.
Literatur Bearbeiten
- Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.